三角形棒束內(nèi)鉛鉍湍流普朗特?cái)?shù)模型研究

劉書勇 余大利 梅華平 汪 振 張世超 李桃生

1（中國科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院核能安全技術(shù)研究所 合肥 230031）

2（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 合肥 230026）

3（清華大學(xué)先進(jìn)反應(yīng)堆工程與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100084）

鉛冷快堆采用液態(tài)鉛或液態(tài)鉛鉍作為冷卻劑，被第四代核能系統(tǒng)國際論壇選為6 種候選堆型之一［1］。準(zhǔn)確預(yù)測燃料組件棒束通道內(nèi)的傳熱特性和熱點(diǎn)溫度對于燃料芯塊與包殼的安全運(yùn)行限值設(shè)計(jì)至關(guān)重要。常規(guī)介質(zhì)（如空氣或水）的普朗特?cái)?shù)約為1，計(jì)算流體動力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）商業(yè)軟件代碼中默認(rèn)的雷諾比擬可以獲得準(zhǔn)確結(jié)果，而液態(tài)鉛鉍的普朗特?cái)?shù)極小，為10?2量級，溫度邊界層相比速度邊界層厚很多，雷諾比擬則不再適用［2］。

常用湍流普朗特?cái)?shù)的解析解表征液態(tài)鉛鉍湍流模式下近壁面溫度邊界層與速度邊界層的關(guān)系。對于湍流普朗特?cái)?shù)模型的研究最初是基于圓管結(jié)構(gòu)，Kays［3］和Jischa［4］等學(xué)者推導(dǎo)出圓管內(nèi)湍流普朗特?cái)?shù)關(guān)系式。Vodret 等［5］采用雷諾平均數(shù)值模擬方法研究圓管內(nèi)低普朗特?cái)?shù)流體的湍流傳熱特性，發(fā)現(xiàn)Kays 模型的計(jì)算結(jié)果與直接數(shù)值模擬以及大渦模擬結(jié)果較為吻合。陳飛［6］采用數(shù)值模擬方法對圓管內(nèi)液態(tài)鉛鉍4種湍流普朗特?cái)?shù)模型的適用性進(jìn)行分析，恒熱流條件下Cheng 模型分析結(jié)果與換熱關(guān)聯(lián)式吻合較好。王?。?］開展了圓管內(nèi)液態(tài)鉛鉍合金的傳熱特性實(shí)驗(yàn)與CFD數(shù)值模擬，探討了不同湍流普朗特?cái)?shù)模型對計(jì)算結(jié)果的影響，研究表明湍流普朗特?cái)?shù)模型采用Cheng-Tak 模型時(shí)模擬與實(shí)驗(yàn)偏差較小。

對于棒束子通道結(jié)構(gòu)的研究相對較少，Cheng等［8］結(jié)合節(jié)徑比為1.75的液態(tài)汞冷卻三角形棒束實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到棒束子通道內(nèi)液態(tài)鉛鉍的湍流普朗特?cái)?shù)關(guān)系式，適用于節(jié)徑比P/D≥1.3的方形與三角形棒束結(jié)構(gòu)。葛志浩等［9］分析節(jié)徑比為1.2與1.4兩種分析模型的棒束子通道內(nèi)液態(tài)鉛鉍湍流換熱，對比Graber 學(xué)者提出的換熱關(guān)聯(lián)式結(jié)果，發(fā)現(xiàn)采用Kays 和Aoki 兩位學(xué)者提出的湍流普朗特?cái)?shù)模型以及恒定湍流普朗特?cái)?shù)為1.5 都是可以接受的。但針對三角形棒束子通道結(jié)構(gòu)的研究均沒有考慮節(jié)徑比對湍流普朗特?cái)?shù)的影響，作為對比的液態(tài)汞冷卻實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)僅考慮節(jié)徑比為1.75 工況，并且Graber 學(xué)者提出的換熱關(guān)聯(lián)式與液態(tài)鉛鉍環(huán)境的適用性也有待實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

因此本文歸納整理液態(tài)鉛鉍實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的三角形棒束換熱關(guān)聯(lián)式，對棒束子通道內(nèi)各湍流普朗特?cái)?shù)模型的適用性進(jìn)行了分析，研究不同棒徑與節(jié)徑比對湍流普朗特?cái)?shù)的影響。本研究結(jié)論可為不同節(jié)徑比條件下三角形棒束子通道內(nèi)鉛鉍傳熱特性的預(yù)測提供參考。

1 湍流普朗特?cái)?shù)模型的選取

與分子普朗特?cái)?shù)類似，湍流普朗特?cái)?shù)Prt定義為動量渦流擴(kuò)散率εM與傳熱渦流擴(kuò)散率εH的比值。由于液態(tài)金屬的分子普朗特?cái)?shù)很小，雷諾比擬不再適用，Aoki［10］、Reynolds［11］和Jischa［4］等學(xué)者分別提出適用于液態(tài)金屬的整體Prt，他們都認(rèn)為與雷諾數(shù)Re和分子普朗特?cái)?shù)Pr有關(guān)，其表達(dá)式為：

Cheng 等［8］結(jié)合1964 年Maresca 與Dwyer 學(xué)者開展的液態(tài)汞冷卻三角形棒束實(shí)驗(yàn)（棒徑為12.7 mm、節(jié)徑比為1.75、加熱段長度1.37 m），通過CFX程序驗(yàn)證提出節(jié)徑比P/D≥1.3方形子通道與三角形子通道中液態(tài)金屬的湍流普朗特?cái)?shù)模型：

式中：Pe為貝克萊數(shù)。

Kays［3］提出漸進(jìn)曲線形式的湍流普朗特?cái)?shù)解析解：

式中：Pet為湍流貝克萊數(shù)；εM為動量渦流擴(kuò)散率；v為流體運(yùn)動黏度系數(shù)。該關(guān)系式與Reynolds提出的方程形式（2）類似，但是Kays定義中Prt表示局部特征，Reynolds的定義中Prt是整個(gè)邊界層的平均值。

作為對比，本文也列出CFD商業(yè)軟件代碼中默認(rèn)經(jīng)典雷諾比擬的Prt模型關(guān)系式：

2 數(shù)值分析模型及驗(yàn)證

液態(tài)鉛鉍環(huán)境下棒徑為D、棒間距為P的三角形棒束子通道如圖1 所示，由于子通道內(nèi)流體流動與傳熱的對稱性，以1/6子通道模型（圖中陰影區(qū)域）作為計(jì)算區(qū)域［5，8?9］。5 種不同分析模型參數(shù)如表1所示，分別包含7組分析算例，對比研究不同棒徑與節(jié)徑比下湍流普朗特?cái)?shù)模型分析液態(tài)鉛鉍傳熱特性的準(zhǔn)確性，計(jì)算流速滿足鉛鉍腐蝕限值要求。子通道長度與水力直徑的比值均超過67，則認(rèn)為子通道出口截面流體充分發(fā)展［8］。

圖1 分析模型示意圖Fig.1 Diagram of analysis model

模擬采用Ansys Fluent流體力學(xué)分析程序［12］，模型采用三維結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，模型邊界條件設(shè)置如圖2所示，加熱棒壁面為恒定熱流密度與無滑移壁面，進(jìn)口采用573 K 恒定溫度與均勻流速進(jìn)口邊界條件，出口為自由流出口，冷卻劑由進(jìn)口流入、出口流出，其中流速及對應(yīng)的熱流密度參數(shù)設(shè)置見表1。

圖2 計(jì)算模型的邊界條件Fig.2 Boundary condition for the calculation model

圖3為D12_PD1.5分析模型的網(wǎng)格無關(guān)性分析結(jié)果，模型中選取冷卻劑進(jìn)口流速0.9 m·s?1，對應(yīng)加熱棒壁面熱流密度272 kW·m?2，選取4 萬、14 萬、30萬、115 萬、312 萬和784 萬網(wǎng)格量進(jìn)行分析，網(wǎng)格量超過14 萬后子通道出口位置的加熱棒壁面溫度分布變化不大，本文選取網(wǎng)格量115萬。其余4組分析模型經(jīng)過網(wǎng)格無關(guān)性分析確定的網(wǎng)格量如表1所示。

圖3 網(wǎng)格無關(guān)性分析Fig.3 Analysis of grid independence

表1 分析模型參數(shù)Table 1 Parameters used for analysis model

選取SSTk-ω湍流模型，該模型雖不能捕捉液態(tài)鉛鉍子通道間的二次流特性，但是可以精確預(yù)測低普朗特?cái)?shù)流體的整體傳熱特性［8，13］。對于壓力-速度耦合計(jì)算是采用壓力耦合方程組的半隱式方法（Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations，SIMPLE）算法，梯度采用最小二乘法，壓力采用標(biāo)準(zhǔn)單元法，對于動量、湍動能、耗散率、能量等方程中其他每一個(gè)量均采用二階迎風(fēng)單元法進(jìn)行空間離散［5］。模擬采用的液態(tài)鉛鉍物性包括密度、定壓熱容、熱導(dǎo)率和動力黏度等都隨溫度的變化而變化，參照液態(tài)鉛鉍手冊推薦的熱物性關(guān)系式［2］。

為了驗(yàn)證分析程序的準(zhǔn)確性，如表2所示，本文對Vodret 學(xué)者開展的先進(jìn)鉛冷快堆歐洲示范堆ALFRED堆芯組件傳熱計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較［5］。湍流普朗特?cái)?shù)模型采用Kays 提出的關(guān)系式（5），本文程序預(yù)測努塞爾數(shù)Nu值與Ushakov 推薦關(guān)聯(lián)式具有較好的一致性，與Mikityuk 推薦關(guān)聯(lián)式對比絕對誤差優(yōu)于增強(qiáng)壁面函數(shù)法計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了本分析程序的準(zhǔn)確性。

表2 程序驗(yàn)證的子通道參數(shù)設(shè)置及結(jié)果對比Table 2 Sub-channel parameters for program verification and comparison of results

基于三角形棒束子通道內(nèi)汞和鈉鉀合金等液態(tài)金屬的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Mikityuk、Ushakov、Borishanskii和Kazimi 等學(xué)者分別提出液態(tài)金屬的努塞爾數(shù)Nu換熱關(guān)聯(lián)式，如表3所示。

表3 液態(tài)金屬換熱關(guān)聯(lián)式Table 3 Heat transfer correlation equations for liquid metal

由于液態(tài)鉛鉍具有高密度、低熱導(dǎo)率和較強(qiáng)的自然循環(huán)特性，使得其與鈉鉀合金等堿金屬的湍流傳熱與浮升力特性具有很大的不同，液態(tài)鉛鉍的傳熱性能也低于液態(tài)堿金屬［18］。基于液態(tài)汞和鈉鉀合金獲得的液態(tài)金屬努塞爾數(shù)Nu換熱關(guān)聯(lián)式需通過液態(tài)鉛鉍實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

為探究三角形棒束子通道內(nèi)液態(tài)鉛鉍的流動傳熱特性，德國KIT 和意大利ENEA 等多家單位搭建液態(tài)鉛鉍組件實(shí)驗(yàn)裝置開展研究，獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對換熱關(guān)聯(lián)式進(jìn)行了驗(yàn)證，組件結(jié)構(gòu)參數(shù)與驗(yàn)證的關(guān)聯(lián)式如表4 所示。Mikityuk 提出關(guān)聯(lián)式（7）具有更廣泛的適用性，與三個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置的測試結(jié)果吻合，在節(jié)徑比1.282~1.8范圍內(nèi)驗(yàn)證準(zhǔn)確，因此本文以該關(guān)系式作為對比，在表1 分析模型中節(jié)徑比P/D與貝克萊數(shù)Pe均在Mikityuk 提出的Nu換熱關(guān)聯(lián)式（7）適用范圍內(nèi)。

表4 液態(tài)鉛鉍換熱關(guān)聯(lián)式實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Table 4 Experimental verification of heat transfer correlation equations for liquid lead-bismuth

3 計(jì)算結(jié)果與換熱關(guān)聯(lián)式的對比

努塞爾數(shù)Nu是反映對流傳熱特性的無量綱量，基于當(dāng)?shù)嘏麪枖?shù)NuL定義，其公式表達(dá)為［24］：

式中：q為熱流密度；λlbe為冷卻劑熱導(dǎo)率；θ為角度；Tcθ為當(dāng)?shù)匕鼩囟?；Tlbe為冷卻劑平均溫度，后文分析的努塞爾數(shù)Nu均指分析子通道出口截面位置的當(dāng)?shù)嘏麪枖?shù)NuL。

對于表1 節(jié)徑比為1.3 的3 種分析模型，在不同貝克萊數(shù)Pe下分別采用§1 中5 種湍流普朗特?cái)?shù)模型，對努塞爾數(shù)Nu進(jìn)行預(yù)測，其結(jié)果如圖4 所示。為了便于對比，圖4 中也給出了Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算值、恒定湍流普朗特?cái)?shù)Prt=1.5的預(yù)測值以及采用雷諾比擬（Prt=0.85）的預(yù)測值等曲線。

圖4 不同湍流普朗特?cái)?shù)模型預(yù)測結(jié)果與Mikityuk換熱關(guān)聯(lián)式對比（P/D=1.3）Fig.4 Comparison of prediction results of various Prt models with that of Mikityuk heat transfer correlation(P/D=1.3)

由圖4 可見，各種Prt模型預(yù)測值的總體趨勢與Mikityuk關(guān)系式計(jì)算值是一致的，隨貝克萊數(shù)Pe增加而線性增加。經(jīng)典雷諾比擬不適用于低普朗特?cái)?shù)流體，在78≤Pe≤4 700 范圍內(nèi)均高于其他Prt模型預(yù)測值，與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算值最大偏差為35%。當(dāng)恒定Prt=1.5 時(shí)，僅在Pe高于3 000 時(shí)與Mikityuk關(guān)系式計(jì)算曲線較為吻合，最大偏差為2.6%。而在整個(gè)Pe范圍內(nèi)，除Reynolds模型外其他模型均高估低普朗特?cái)?shù)流體的傳熱性能。當(dāng)采用Reynolds模型時(shí)與Mikityuk關(guān)系式計(jì)算曲線較為吻合，在高Pe數(shù)時(shí)發(fā)展斜率也基本一致。在Pe≈2 300時(shí)，各種Prt模型預(yù)測值均出現(xiàn)小幅度下降，這是由于棒徑12 mm與棒徑25 mm兩種不同棒徑的分析模型預(yù)測值稍有偏差，但影響相對較小。

節(jié)徑比為1.5 和1.7 的Prt模型預(yù)測結(jié)果與Mikityuk 換熱關(guān)聯(lián)式分別如圖5、6 所示。雷諾比擬預(yù)測傳熱性能同樣高于其他Prt模型，與Mikityuk關(guān)系式計(jì)算值最大偏差為15.8%。當(dāng)貝克萊數(shù)Pe高于1 000 時(shí)，Kays、Aoki 和Reynolds 模型與恒定Prt=1.5模型均低估低普朗特?cái)?shù)流體的傳熱性能。湍流普朗特?cái)?shù)采用Cheng 模型時(shí)只有當(dāng)Pe高于2 000 時(shí)與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算曲線吻合較好，最大偏差7%。當(dāng)節(jié)徑比為1.5和1.7時(shí)，Jischa湍流普朗特?cái)?shù)模型在整個(gè)貝克萊數(shù)Pe范圍內(nèi)均能很好地預(yù)測低普朗特?cái)?shù)流體的傳熱性能，表明Jischa 模型預(yù)測的湍流普朗特?cái)?shù)值與Prt理論計(jì)算值較為吻合。

圖5 不同湍流普朗特?cái)?shù)模型預(yù)測結(jié)果與Mikityuk換熱關(guān)聯(lián)式對比（P/D=1.5）Fig.5 Comparison of prediction results of various Prt models with that of Mikityuk heat transfer correlation(P/D=1.5)

為了對比不同Prt模型在整個(gè)節(jié)徑比（1.282~1.8）范圍內(nèi)的適用性，通過整理上述Prt模型預(yù)測Nu值，并與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算Nu值進(jìn)行比較，以求得平均絕對誤差εˉ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與均方根誤差γ，表達(dá)式分別為：

式中：εi為Mikityuk關(guān)系式計(jì)算Nu值與Prt模型預(yù)測Nu值的偏差；N為算例數(shù)；平均絕對誤差εˉ反映Prt模型預(yù)測Nu值誤差的平均值；標(biāo)準(zhǔn)差σ反映N組Prt模型預(yù)測Nu值偏差εi與平均值的離散程度，σ越小，說明預(yù)測值偏差越接近平均值；而均方根誤差γ用來評價(jià)N組Prt模型預(yù)測Nu值與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算Nu值的變化程度，γ越小，說明預(yù)測模型描述真實(shí)數(shù)據(jù)具有更好的精確度。

這三種誤差的計(jì)算結(jié)果如表5 所示，經(jīng)典雷諾比擬預(yù)測Nu值誤差較大；在節(jié)徑比為1.3 時(shí)，Reynolds 模型可以得到很好的預(yù)測結(jié)果（均方根誤差均低于1.38）；Cheng 模型在節(jié)徑比為1.7 時(shí)，計(jì)算結(jié)果與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算值誤差較?。ň礁`差均低于0.96）；而在節(jié)徑比為1.5~1.7 時(shí)，Jischa 模型預(yù)測結(jié)果較好（均方根誤差低于0.83）。在整個(gè)節(jié)徑比（1.3~1.7）范圍內(nèi)，采用Kays湍流普朗特?cái)?shù)模型時(shí)，數(shù)值模擬結(jié)果與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算值誤差較?。傮w均方根誤差低于2.22），在各種節(jié)徑比下預(yù)測效果不是最優(yōu)的，但是屬于普適性較好且整體范圍內(nèi)預(yù)測效果較好的Prt模型；Aoki模型的整體預(yù)測效果僅次于Kays模型。

表5 不同湍流普朗特?cái)?shù)模型預(yù)測Nu值的誤差Table 5 Prediction error of Nu for different Prt models

圖7 給出了Kays 模型數(shù)值模擬預(yù)測結(jié)果與Mikityuk換熱關(guān)聯(lián)式計(jì)算Nu數(shù)值對比結(jié)果，由此可見，在低Pe工況整體預(yù)測Nu數(shù)值偏大，而在高Pe工況整體預(yù)測Nu數(shù)值偏小。表6 為不同Pe范圍內(nèi)Kays模型預(yù)測Nu值的誤差，低Pe工況比高Pe具有較小的平均絕對誤差εˉ與均方根誤差γ，表明Kays模型在低Pe工況的預(yù)測準(zhǔn)確度較優(yōu)于高Pe工況。

表6 不同Pe范圍內(nèi)Kays模型預(yù)測Nu值的誤差Table 6 Prediction error of Nu for Kays models during different Pe conditions

圖7 Kays模型預(yù)測Nu值與Mikityuk關(guān)系式計(jì)算Nu值對比Fig.7 Nu value predicted by the Kays model vs.the Nu value recommended by Mikityuk correlation

整理圖4~圖6 各分析模型中準(zhǔn)確預(yù)測Nu數(shù)值的Prt，繪制了與Pe關(guān)系曲線如圖8 所示?？梢钥闯?，Prt與Pe關(guān)系曲線類似于漸進(jìn)曲線，在節(jié)徑比一定的情況下隨Pe增加趨近于恒定數(shù)值，節(jié)徑比越大，趨近數(shù)值越小（節(jié)徑比為1.3、1.5和1.7時(shí)分別趨近于1.5、1.08和1）。因此整體湍流普朗特?cái)?shù)模型不僅與Re、Pe有關(guān)，還與節(jié)徑比P/D有關(guān)。

圖6 不同湍流普朗特?cái)?shù)模型預(yù)測結(jié)果與Mikityuk換熱關(guān)聯(lián)式對比（P/D=1.7）Fig.6 Comparison of prediction results of various Prt models with that of Mikityuk heat transfer correlation(P/D=1.7)

圖8 不同分析模型的Prt值對比Fig.8 Comparison of Prt values of different analysis models

4 結(jié)語

針對5 種不同的湍流普朗特?cái)?shù)模型，在不同棒徑與節(jié)徑比的棒束子通道結(jié)構(gòu)下開展了35 組工況的數(shù)值模擬，通過對液態(tài)鉛鉍實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的Mikityuk換熱關(guān)聯(lián)式計(jì)算結(jié)果比較，可得出如下結(jié)論：

1）整體湍流普朗特?cái)?shù)模型不僅與Re、Pe有關(guān)，還與節(jié)徑比P/D有關(guān)，在節(jié)徑比一定的情況下隨Pe增加趨近于恒定數(shù)值，節(jié)徑比越大，趨近數(shù)值越小。

2）各種湍流普朗特?cái)?shù)模型均有最佳的節(jié)徑比適用范圍。在節(jié)徑比為1.3 時(shí)，當(dāng)Prt模型采用Reynolds模型預(yù)測值較好；在節(jié)徑比在1.5~1.7范圍內(nèi)時(shí)采用Jischa 模型與Mikityuk 關(guān)系式計(jì)算曲線較為吻合；Cheng 模型適用于節(jié)徑比為1.7 工況；節(jié)徑比在1.3~1.7 范圍內(nèi)時(shí)Kays 模型的普適性較好，Aoki模型的預(yù)測效果次之。

3）棒徑對湍流普朗特?cái)?shù)模型的影響相對較小。

由于低Pe的低普朗特?cái)?shù)流體傳熱可能受浮升力影響，本文所述的Prt模型在低Pe的預(yù)測效果有待進(jìn)一步研究，提升低普朗特?cái)?shù)流體在強(qiáng)迫轉(zhuǎn)自然循環(huán)以及自然循環(huán)建立工況下的傳熱性能預(yù)測精度。

作者貢獻(xiàn)聲明劉書勇：負(fù)責(zé)文章的撰寫與模擬；余大利：負(fù)責(zé)文中湍流普朗特?cái)?shù)模型的收集與整理；梅華平：負(fù)責(zé)模擬結(jié)果數(shù)據(jù)的后處理與出圖；汪振：負(fù)責(zé)文章章節(jié)框架的設(shè)計(jì)；張世超：負(fù)責(zé)液態(tài)鉛鉍實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證換熱關(guān)聯(lián)式的收集與整理；李桃生：負(fù)責(zé)研究的提出與設(shè)計(jì)。