仇小華

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，在高考中占有較大的比重.常見(jiàn)的立體幾何問(wèn)題的命題方向有：判斷或證明空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，求空間角的大小，求空間中點(diǎn)、線、面之間距離.雖然每種類型題目的特點(diǎn)和解法各不相同，但是巧妙運(yùn)用向量法可快速解答這些立體幾何問(wèn)題.下面主要談一談如何運(yùn)用向量法解答兩類立體幾何問(wèn)題.

一、證明空間中的位置關(guān)系

運(yùn)用向量法解答立體幾何問(wèn)題，需首先建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后求得各個(gè)點(diǎn)、線段、平面的向量坐標(biāo).空間中的位置關(guān)系主要包括平行、垂直、異面.在運(yùn)用向量法證明空間中的位置關(guān)系時(shí)，可根據(jù)立體幾何圖形明確空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，再根據(jù)平面向量的共線定理證明平行關(guān)系，根據(jù)“兩個(gè)向量的積為0，則兩個(gè)向量垂直”來(lái)證明垂直關(guān)系.

例1.已知正方體 ABCD -A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2， E， F， G 分別是 BC， CD， CC1的中心，求證：（1） AD1∥平面EFG;（2）A1C⊥平面EFG .

解：如圖1，以 D 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 D -xyz，則 D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，0），G（0，2，1） ，所以A D1=（-2，0，2） ， C A1=（2，-2，2） ， E F =（-1， -1，0） ， E G =（-1，0，1） ，設(shè) =（x，y，z）是平面 EFG 的一個(gè)法向z（y）-xx， 令 x =1，則 =（1， -1， 1）.

（1）因?yàn)?A D1=（1， -1，1）?（-2，0，2）=0，所以 ⊥ A D1，又AD1?面EFG ，所以AD1∥面EFG .

（2）因?yàn)?（1， -1， 1），C A1=（2， -2，2），C A1=2，所以∥ CA1 ，所以 A1C ⊥ 平面EFG .

建立合適的空間直角坐標(biāo)系后，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) ，便 可 將 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 向 量 問(wèn) 題. 要 證AD1 ∥ 平面EFG ，需求得? AD1與平面EFG 的法向量，然后通向量運(yùn)算證明AD1 與平面EFG 的法向量垂直即可;要證 A1C ⊥ 平面 EFG ，需求得CA1 與 平面EFG 的法向量，證明 C A1與平面EFG 的法向量平行.巧用向量法證明空間中的位置關(guān)系，能夠使證明過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單.

二、求空間角的大小

空間中的角包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.運(yùn)用向量法求空間角的大小，需在建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求得各條直線、平面的法向量.對(duì)于異面直線所成的角，只需根據(jù)向量的夾角公式求解;對(duì)于直線與平面所成的角，需先根據(jù)向量的夾角公式求得直線與平面的法向量的夾角，然后取其余角;對(duì)于二面角，需根據(jù)向量的夾角公式求得兩個(gè)平面的法向量的夾角，所求的角或補(bǔ)角即為二面角.

例2.如圖2所示，在直三棱柱 P -ABC 中， PA⊥平面ABC ， ∠BAC =90。， D， E， F 分別是棱長(zhǎng) AB， BC， CP的中點(diǎn)， AB = AC =1， PA =2.求 PB和DF 所成角的大小.

解：如圖2，以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，AB， AC， AP 所在直線為 x， y， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 A -xyz.由 AB =AC =1，PA =2 ，得 A（0，0，0），B（1，0，0） ， C（0，1，0） ， P（0，0，2） ， D（ ，0，0） ， E =（ ，，0） ， F（0，，1）.所以 A P =（0，0，2） ， D E =（0，，0） ， P B =（1，0，-2） ， D F =（-，， 1）.由于， 所以，所以，因此 PB和DF 所成角的為 arccos（-）.

利用向量法求空間角的大小，能夠?qū)⒘Ⅲw幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求夾角大小的問(wèn)題，只需要通過(guò)向量運(yùn)算即可求得角的大小.但要注意理清兩個(gè)向量的夾角、兩異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的范圍及其關(guān)系.

可見(jiàn)，運(yùn)用向量法求解空間立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量中的平行、垂直、夾角問(wèn)題.運(yùn)用向量法求解空間立體幾何問(wèn)題，能夠有效避免復(fù)雜的幾何作圖以及論證的過(guò)程，有效提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)）