談?wù)勅?lèi)三角函數(shù)問(wèn)題的解法

金彩虹

三角函數(shù)在數(shù)學(xué)高考試卷中所占的比重較大，其題型主要有三種，即求三角函數(shù)的值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式以及有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)與圖象的問(wèn)題.為了幫助同學(xué)們提升解答三角函數(shù)問(wèn)題的效率，筆者對(duì)這三類(lèi)常考的題型及其解法進(jìn)行了總結(jié).

一、求三角函數(shù)的值

求三角函數(shù)的值問(wèn)題，一般要求根據(jù)已知的角、三角函數(shù)值求其他的角或者三角函數(shù)的值.解答此類(lèi)問(wèn)題，需首先將已知條件與所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來(lái)，建立它們之間的聯(lián)系，然后選擇合適的公式，如誘導(dǎo)公式、兩角的和差公式、二倍角公式、輔助角公式等，通過(guò)三角恒等變換由已知的角、值向所求的角、值靠攏，從而求得三角函數(shù)的值.

例1.已知α是第三象限的角， cos2α=-，求 tanè（?）+2α?（?）的值.

解：∵α是第三象限的角，且 cos2α=-<0，∴ +22k +1π<2α<π+22k +1πk ∈ Z，∴ sin 2α=，∴ tan 2α= =-，

∴tanè（?）+2α?（?）=1-tanπtan 2α= =-.

解答本題，需先明確：（1）函數(shù)名稱(chēng)不同;（2）2α與+2α之間相差 .于是在求得2α的取值范圍后，便可根據(jù)誘導(dǎo)公式求出sin2α、tan2α的值，然后利用正切的兩角和公式求得tanè（?）+2α?（?）的值.

二、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式

在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式時(shí)，我們需靈活運(yùn)用一些進(jìn)行三角恒等變換的技巧，如升冪、降冪、“1”的代換、弦化切、切化弦等，使三角函數(shù)式中的角、函數(shù)名稱(chēng)、次數(shù)統(tǒng)一.一般地，可運(yùn)用二倍角公式或半角公式進(jìn)行升冪、降冪;運(yùn)用 sin2x+cos2x =1以及 tanα= 實(shí)現(xiàn)弦切互化;運(yùn)用輔助角公式以及tanα= 將函數(shù)名稱(chēng)統(tǒng)一.

例2.化簡(jiǎn)：?????? cos2α????? .

4 4 2 cos2α-1 +tan2α

解：原式=

該三角函數(shù)式中的角有α、+α，函數(shù)名稱(chēng)有正弦、余弦、正切，冪有一次的、二次的，需運(yùn)用tanα= 將切化為弦，運(yùn)用余弦的二倍角公式將二次冪降為一次冪，運(yùn)用正弦的二倍角公式將α轉(zhuǎn)化為2α，從而將函數(shù)式化簡(jiǎn).

三、有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)與圖象的問(wèn)題

三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，解答此類(lèi)問(wèn)題需靈活運(yùn)用正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期性、最值等.在解題時(shí)，可先根據(jù)題意明確三角函數(shù)的性質(zhì)和解析式，然后畫(huà)出三角函數(shù)的圖象，借助圖象來(lái)分析函數(shù)的其他性質(zhì)，求得函數(shù)的最值、單調(diào)區(qū)間等.

例3.已知函數(shù) fx= cosè（?）2x - ?（?）+2 sinè（?）x - ?（?）?sinè（?）x+ ?（?），（1）求函數(shù) fx的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸;（2）求在 ， ?（ù）上函數(shù) fx的值域.

解：（1）f x= cosè（?）2x - ?（?）+2sinè（?）x - ?（?）sinè（?）x + ?（?）

= sin2x -π

∵ T =，ω=2，∴ T =π，

∵2x - =kπ+k ∈Z，∴ x = +k ∈Z，∴函數(shù) f x的對(duì)稱(chēng)軸是：x = +k ∈Z;

（2）∵ x ∈ ， ?（ù），∴2x - ∈ ， ?（ù），?? ∴函數(shù) f x在 ， ?（ù）上單調(diào)遞增，在 ?（é）， ?（ù）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng) x = 時(shí)，f xmax=1，

又fè（?）- ?（?）=-<fè（?） ?（?）= ，

∴當(dāng) x =-時(shí)，f xmin=-，

∴函數(shù) f x的值域?yàn)?，1.

在解答本題時(shí)，我們需先將函數(shù)式化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性求得函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)函數(shù)的圖象討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值.

由此可見(jiàn)，解答三角函數(shù)問(wèn)題，需熟練掌握三角函數(shù)中的基本公式、性質(zhì)、圖象，靈活進(jìn)行三角恒等變換，這樣才能從容應(yīng)對(duì)各類(lèi)三角函數(shù)問(wèn)題.

（作者單位：甘肅省隴南市成縣第一中學(xué)）