張蓓媛

證明不等式問題是一類較復(fù)雜的題目，證明不等式成立的方法有很多種，如導(dǎo)數(shù)法、換元法、取對數(shù)法、綜合法、分析法，數(shù)學(xué)歸納法等.每種方法的特點和適用范圍都不相同.本文主要談一談證明不等式問題的途徑.

一、利用導(dǎo)數(shù)法

運用導(dǎo)數(shù)法證明不等式，需先根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造合適的函數(shù)，再對函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系.若 f'x>0，則函數(shù)單調(diào)遞增;若 f'x<0， 則函數(shù)單調(diào)遞減.由此判斷出函數(shù)的大致圖象，確定函數(shù)的最值，建立使不等式恒成立的關(guān)系式，即可證明不等式成立.一般地，若 f x<0，只需證明 f xmax<0;若 f x>0，只需證明 f xmin>0;若 f x

例1.已知 x>1，試證明：lnx>

證明：由lnx> x +1可得 lnx - x +1>0，

設(shè) f x= lnx-，可得 f'x= ，

當 x >1時，有 f'x>0，

因此當x >1時，f x單調(diào)遞增，

當 x =1時，f 1= ln 1- =0，

則 f x>f 1=0，所以當 x >1時，lnx>.

要證明 lnx- >0，只需證明 f x=lnx-2x -1的最小值大于零即可，這樣便將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，通過研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值，證明結(jié)論.

二、換元

換元法是指將復(fù)雜的代數(shù)式用新元替換，以化簡不等式，進而證明不等式.運用換元法證明不等式，需明確換元的式子，它可以是某個式子，也可以是某個式子的一部分.在換元后，問題就轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的不等式，通過討論新不等式證明原不等式成立.在換元的過程中，要注意換元前后自變量的取值范圍.

例2.已知 x >0，證明：>lnè（?）1+ ?（?）.

證明：由 >lnè（?）1+ ?（?）可得 >

令= t，可得 - >ln1+t，

再令= u，則 u - >2ln u，

設(shè) f u= u - -2ln u，u >1，

則f'u= >0，

所以當 x >0時，不等式 >lnè（?）1+ ?（?）成立.

解答本題，需經(jīng)過兩次換元，才能達到化簡不等式的目的，然后根據(jù)化簡后的不等式構(gòu)造函數(shù)模型，通過研究導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的最值，從而證明不等式.

三、取對數(shù)

取對數(shù)法是比較兩個函數(shù)式大小、證明不等式的重要方法.對于含有指數(shù)冪的不等式證明問題，常需用取對數(shù)法來求證.首先將不等式中的指數(shù)冪分別置于不等式的兩側(cè)，然后在不等式的兩邊取對數(shù)，這樣便將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)問題，通過分析對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或運用導(dǎo)數(shù)法來證明不等式成立.

例3.已知 a >4，證明：2a >a2.

證明：在2a>a2的兩邊取對數(shù)可得 ln2a>lna2，

即 ln 2a -lna2>0，

設(shè) f a=ln 2a -lna2，

對其求導(dǎo)可得f'a= ln2- ，

當 a =4時，f 4= ln 24- ln42=4 ln 2-4 ln 2=0，當 a >4時，f'a= ln 2- > - = - =0，因為 f a>f 4=0，所以 a ln 2-2lna >0，

也就是 ln 2a>lna2，即2a>a2，

綜上所述，當 a >4時，不等式2a>a2成立.

不等式的兩邊含有指數(shù)冪，需在不等式兩邊取對數(shù)，這樣便將不等式化簡，然后根據(jù)化簡后的不等式構(gòu)造出函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)法證明結(jié)論.

無論是換元還是取對數(shù)，目的都是為了簡化不等式，以便將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解，且在運用其他方法解題的過程中可同時運用導(dǎo)數(shù)法.可見，函數(shù)思想、導(dǎo)數(shù)法在證明不等式問題中應(yīng)用廣泛.因此，同學(xué)們在證明不等式時，要學(xué)會將不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)關(guān)聯(lián)起來，靈活運用函數(shù)思想、導(dǎo)數(shù)法來解題.

（作者單位：江蘇省南通市海門四甲中學(xué)）