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      經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模 發(fā)展高階思維
      ——以“用一元二次方程解決問(wèn)題(1)”為例*

      2022-03-25 01:59:48胡永強(qiáng)
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年3期
      關(guān)鍵詞:高階矩形建模

      胡永強(qiáng)

      (江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151)

      1 問(wèn)題提出

      高階思維是指完成復(fù)雜任務(wù)、解決劣構(gòu)問(wèn)題的一種重要能力和心理特征,是21世紀(jì)的一種高級(jí)綜合能力.高階思維是核心素養(yǎng)的重要組成部分,是個(gè)體適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵能力.但是由于高階思維指向布魯姆教育目標(biāo)分類中的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造這三個(gè)高層次目標(biāo),所以它無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授來(lái)培養(yǎng),而是需要在開(kāi)放性問(wèn)題情境中與他人進(jìn)行探索性對(duì)話和建構(gòu)式互動(dòng)提高.可見(jiàn)高階思維很重要,各學(xué)科都應(yīng)當(dāng)努力培養(yǎng),但是鑒于高階思維的特征,現(xiàn)實(shí)教學(xué)中培養(yǎng)高階思維又存在諸多困難.

      數(shù)學(xué)高階思維是高階思維的重要組成部分,包括數(shù)學(xué)批判性思維、數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維、數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力、數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力四個(gè)維度及其下轄的“尋找真相、開(kāi)放思想”等十六個(gè)因子,如圖1所示.總體來(lái)說(shuō),在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中有目的地對(duì)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)過(guò)程、結(jié)果等作出自我分析、判斷、推理、解釋、調(diào)整的品質(zhì);在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,創(chuàng)造想象并運(yùn)用思維揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì),產(chǎn)生新穎獨(dú)特的思維成果的過(guò)程;對(duì)自身數(shù)學(xué)認(rèn)知進(jìn)行計(jì)劃、實(shí)施、監(jiān)控、調(diào)節(jié)的過(guò)程;綜合運(yùn)用掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)解決新的問(wèn)題情境的能力都屬于數(shù)學(xué)高階思維的范疇.

      圖1

      數(shù)學(xué)建模是通過(guò)建立模型的方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程,包括“現(xiàn)實(shí)原型—實(shí)際模型—數(shù)學(xué)模型—模型求解—檢驗(yàn)解釋”等環(huán)節(jié).受學(xué)力所限,初中階段的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可分為三類:現(xiàn)實(shí)原型、實(shí)際模型、數(shù)學(xué)形式.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程中,教師需要引導(dǎo)學(xué)生有目的地對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題加以分析、簡(jiǎn)化、假設(shè),抽象建立數(shù)學(xué)模型,再對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,然后代入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)、調(diào)整,如此不斷循環(huán),直到解決問(wèn)題為止.

      不難發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)高階思維聯(lián)系緊密.數(shù)學(xué)建模激發(fā)數(shù)學(xué)高階思維,數(shù)學(xué)高階思維促進(jìn)數(shù)學(xué)建模順利完成,二者相輔相成.

      近期,筆者開(kāi)設(shè)了一節(jié)“用一元二次方程解決問(wèn)題(1)”的研討課,嘗試在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中發(fā)展學(xué)生高階思維.下面談一談相關(guān)實(shí)踐與思考.

      2 教學(xué)分析

      2.1 教材分析

      本課是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第1章第4節(jié)用一元二次方程解決問(wèn)題的起始課,包括“等周矩形面積”和“平均增長(zhǎng)率”兩個(gè)問(wèn)題.教材將“矩形面積”放在首要位置既遵循了數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展順序,又遵循了學(xué)生的認(rèn)知心理順序.眾所周知,數(shù)學(xué)中的二次問(wèn)題起源于圖形的面積計(jì)算,“矩形面積問(wèn)題”起點(diǎn)較低、內(nèi)涵豐富、對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展作用較大;其次,這樣的設(shè)計(jì)遵循了學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,讓學(xué)生通過(guò)對(duì)該問(wèn)題學(xué)習(xí)總結(jié)出用一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一般方法與步驟,發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力,提升數(shù)學(xué)高階思維,培養(yǎng)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.基于以上分析,筆者決定本課組織學(xué)生深入探究“矩形面積問(wèn)題”.

      2.2 學(xué)情分析

      授課班級(jí)來(lái)自地級(jí)市一所普通初中,共有48名學(xué)生,他們數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好,有著良好的數(shù)學(xué)探究習(xí)慣.在本課之前,學(xué)生已經(jīng)掌握一元二次方程的相關(guān)概念和解法以及用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟等知識(shí)與技能.

      2.3 教學(xué)理解

      本課內(nèi)容具有豐富的教學(xué)價(jià)值.首先,本課是該小節(jié)的起始課,學(xué)生通過(guò)對(duì)本課內(nèi)容的研究,總結(jié)提煉出用一元二次方程解決問(wèn)題的一般思路、方法和步驟等內(nèi)容,對(duì)后面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)起到奠基作用;其次,用一元二次方程解決矩形面積問(wèn)題的過(guò)程中蘊(yùn)含了抽象、符號(hào)化、求解、檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié),對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提升起到促進(jìn)作用;再次,對(duì)相關(guān)內(nèi)容的深入追問(wèn)與辨析對(duì)發(fā)展學(xué)生的批判性思維、創(chuàng)造性思維、元認(rèn)知能力及問(wèn)題解決能力等數(shù)學(xué)高階思維起到推動(dòng)作用.本節(jié)課的主要教學(xué)脈絡(luò)確定為引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷審題、列代數(shù)式、找等量關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)解釋等數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié),在此過(guò)程中感悟模型思想,發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維.

      3 教學(xué)過(guò)程

      3.1 溫故知新

      課前布置學(xué)生對(duì)本章前面3小節(jié)內(nèi)容進(jìn)行回顧和梳理,繪制知識(shí)結(jié)構(gòu)圖,上課伊始展示幾位同學(xué)的作品(略),結(jié)合作品簡(jiǎn)要回顧前面所學(xué)內(nèi)容.

      教學(xué)意圖

      布置前置性知識(shí)梳理作業(yè)的目的是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法的自主回顧和重組能力,幫助學(xué)生積累反思性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),為學(xué)習(xí)新知識(shí)調(diào)取研究經(jīng)驗(yàn),發(fā)展學(xué)生的系統(tǒng)化能力、求知欲、元認(rèn)知體驗(yàn)等數(shù)學(xué)高階思維.

      3.2 模型初探

      問(wèn)題1

      2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年.為了紀(jì)念建黨100周年,某校打算建一個(gè)周長(zhǎng)為100 m的矩形展館以向?qū)W生展示黨的百年光輝歷程.問(wèn):(1)該矩形展館的面積能否是 600 m?(2)該矩形展館的面積能否是700 m?請(qǐng)說(shuō)明理由.

      教師引導(dǎo)學(xué)生先回顧用一元一次方程解決問(wèn)題的一般步驟,再畫出矩形示意圖,并結(jié)合圖形及條件列出表示矩形長(zhǎng)和寬的代數(shù)式,進(jìn)而根據(jù)矩形面積公式列方程、解方程、檢驗(yàn)作答,最后總結(jié)出用一元二次方程解決問(wèn)題的一般步驟.

      教學(xué)意圖

      引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷引入未知數(shù),結(jié)合周長(zhǎng)列出矩形的長(zhǎng)和寬的代數(shù)式,再根據(jù)矩形面積公式建立方程解決問(wèn)題等環(huán)節(jié),體會(huì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程;用方程根的判別式小于0,方程無(wú)實(shí)數(shù)解,說(shuō)明無(wú)法圍成面積為700 m的道理.培養(yǎng)學(xué)生分析能力、系統(tǒng)化能力等數(shù)學(xué)批判性思維及表達(dá)清晰性、答案正確性等數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.此外,將教材中用鐵絲圍矩形的情境改編為紀(jì)念建黨100周年建矩形展館的情境,在現(xiàn)實(shí)情境中融入黨史知識(shí),滲透思想教育.

      追問(wèn)1:同學(xué)們,你能結(jié)合問(wèn)題1提出一個(gè)新問(wèn)題嗎?

      學(xué)生提出“圍成矩形的最大面積是多少?”教師組織學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題,有學(xué)生指出用“列舉法”和“配方法”解決.

      追問(wèn)2:還有其他方法嗎?

      有學(xué)生回答:可以用假設(shè)法來(lái)做.易知矩形的長(zhǎng)加寬為50 m,所以可設(shè)矩形的長(zhǎng)為(25+

      x

      )m,寬為(25-

      x

      )m,面積為(25+

      x

      )(25-

      x

      )=(625-

      x

      )m,顯然,當(dāng)

      x

      =0時(shí),矩形面積最大,為 625 m.教師表?yè)P(yáng)學(xué)生的方法,并指出這種方法與公元前1700年古巴比倫人的方法一致,此法名叫“和差術(shù)”,在沒(méi)有符號(hào)代數(shù)的年代,兩河流域的先民們都是用“和差術(shù)”這種方法模型解決此類問(wèn)題的.

      教學(xué)意圖

      問(wèn)題1是一個(gè)蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的歷史名題.在解決前兩個(gè)問(wèn)題之后,設(shè)計(jì)追問(wèn)1,趁熱打鐵,將學(xué)生的思維引向更深處.當(dāng)學(xué)生提出用“列舉法”和“配方法”解決該問(wèn)題之后,設(shè)計(jì)追問(wèn)2,給學(xué)生提供思考和創(chuàng)新的舞臺(tái),使學(xué)生想到了“和差術(shù)”這種解決等周問(wèn)題的方法模型.兩次追問(wèn),在培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題能力的同時(shí),促使學(xué)生對(duì)“和差術(shù)”這一方法模型的理解更加深刻,思維變得靈活和新穎,發(fā)展了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維.當(dāng)教師點(diǎn)明這種方法與古代數(shù)學(xué)家的方法一致時(shí),學(xué)生感受到了成功的喜悅,增強(qiáng)了數(shù)學(xué)求知欲.

      3.3 模型變式

      問(wèn)題2

      如圖2,用長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場(chǎng),即矩形

      ABCD

      ,已知墻長(zhǎng)16 m,能否圍成面積為108 m的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)?如果能,求出

      AB

      的長(zhǎng);如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      圖2

      教師引導(dǎo)學(xué)生先思考問(wèn)題2與問(wèn)題1的異同之處,再讓學(xué)生獨(dú)立思考、完成解答.隨后展示設(shè)

      AB

      =

      x

      m和設(shè)

      AD

      =

      x

      m兩種解法,組織學(xué)生比較、交流二者的優(yōu)缺點(diǎn).

      追問(wèn)1:你還能提出一個(gè)新的問(wèn)題嗎?

      學(xué)生提出“圍成的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)的最大面積是多少?”學(xué)生大都采用配方法求最大值.

      追問(wèn)2:能否使用“和差術(shù)”求最大值?

      思考交流片刻后有學(xué)生回答可以使用“和差術(shù)”求最大值.做法如下:如圖3,設(shè)

      AD

      =

      x

      m,則

      AB

      =(30-2

      x

      )m,作線段

      AB

      的垂直平分線

      EF

      ,垂足為點(diǎn)

      F

      ,交

      DC

      于點(diǎn)

      E

      ,則

      AF

      =(15-

      x

      )m,

      S

      矩形=2

      S

      矩形,所以當(dāng)

      S

      矩形最大時(shí),

      S

      矩形就最大.矩形

      AFED

      的長(zhǎng)與寬之和為15 m,設(shè)m,所以當(dāng)

      a

      =0時(shí),

      S

      矩形最大為m,則

      S

      矩形最大為m.此時(shí)

      AB

      = 15 m<16 m,

      AD

      =7.5 m,符合題意.

      圖3

      追問(wèn)3:你是怎樣想到的?

      學(xué)生:?jiǎn)栴}1中的長(zhǎng)加寬是定值,可以使用“和差術(shù)”,本題中的半條長(zhǎng)加寬也是定值,因此想到作長(zhǎng)的垂直平分線將其轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1的類型解決.

      追問(wèn)4:?jiǎn)栴}1與問(wèn)題2有何異同之處?

      學(xué)生在獨(dú)立思考和小組交流后回答,相同點(diǎn)是:它們都是固定長(zhǎng)度下的面積問(wèn)題;不同點(diǎn)是:一個(gè)獨(dú)立圍成矩形,另一個(gè)借了一條線再圍成矩形.教師點(diǎn)明這兩個(gè)用固定長(zhǎng)度的線圍矩形問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的“等周問(wèn)題”之一,還可以圍成其他形狀的圖形,課后再研究.

      教學(xué)意圖

      教學(xué)中先展示兩種設(shè)未知數(shù)的解法,對(duì)兩種解法對(duì)比分析,發(fā)展學(xué)生批判性思維.添加輔助線將問(wèn)題2轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1,使用“和差術(shù)”這一方法模型求出面積最大值,提升了認(rèn)知成熟度,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維中的靈活性.追問(wèn)3較好地發(fā)展了學(xué)生的策略合理性、表達(dá)清晰性等數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.追問(wèn)4提升學(xué)生系統(tǒng)化能力及元認(rèn)知體驗(yàn)等數(shù)學(xué)高階思維,最后對(duì)“等周問(wèn)題”加以拓展,將課堂延伸到課外.

      問(wèn)題3

      在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上,若

      AB

      上有一個(gè)2 m寬的小門,即圖4中的

      EF

      .問(wèn):能否圍成面積為110 m的矩形養(yǎng)雞場(chǎng)?如果能,求出該養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

      圖4

      師生共同分析問(wèn)題3與問(wèn)題2的區(qū)別和聯(lián)系,再討論2 m寬小門對(duì)表示矩形長(zhǎng)和寬的影響,最后完成解題過(guò)程.

      教學(xué)意圖

      該問(wèn)題的目的是引導(dǎo)學(xué)生探究如何用字母正確表示出矩形的長(zhǎng)和寬.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)教師不要急于給出正確答案,而是把機(jī)會(huì)留給學(xué)生,讓學(xué)生深入思考、相互交流、加以辯論,較好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維及策略合理性、表達(dá)清晰性、答案正確性等數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.

      3.4 小結(jié)與練習(xí)(略)

      4 教學(xué)思考

      4.1 設(shè)計(jì)深度合宜問(wèn)題,發(fā)展數(shù)學(xué)批判性思維

      數(shù)學(xué)高階思維是高層次認(rèn)知過(guò)程中心智活動(dòng)的綜合性能力.高層次認(rèn)知過(guò)程需要深度合宜的問(wèn)題加以驅(qū)動(dòng)和助力.教師要根據(jù)內(nèi)容及學(xué)情設(shè)計(jì)深度合宜的問(wèn)題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)批判性思維.如問(wèn)題1中對(duì)無(wú)法圍成面積為700 m的矩形的解釋促進(jìn)學(xué)生尋找真相、增強(qiáng)分析能力;引導(dǎo)學(xué)生圍繞問(wèn)題1提出新的問(wèn)題并使用不同的方法解答,激發(fā)了學(xué)生的開(kāi)放思想、求知欲;對(duì)使用“和差術(shù)”解決等周矩形問(wèn)題的總結(jié)、應(yīng)用及拓展,增強(qiáng)了學(xué)生的批判性思維的自信心、認(rèn)知成熟度及系統(tǒng)化能力;對(duì)問(wèn)題2兩種設(shè)未知數(shù)方法及問(wèn)題3的兩種表示結(jié)果的討論過(guò)程充滿了辨析、質(zhì)疑.教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)在原有問(wèn)題基礎(chǔ)之上根據(jù)課堂生成情況,鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生思考、質(zhì)疑、討論、總結(jié),推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)批判性思維的發(fā)展.

      4.2 不斷進(jìn)行課堂追問(wèn),激發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維

      對(duì)于課堂教學(xué)中的關(guān)鍵問(wèn)題,在恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時(shí)機(jī)之下,教師需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行不斷追問(wèn),以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生與發(fā)展.如在問(wèn)題1解決之后隨即追問(wèn)學(xué)生“請(qǐng)你再提出一個(gè)新問(wèn)題.”“還有其他方法嗎?”第一個(gè)追問(wèn)激發(fā)學(xué)生提出“等周問(wèn)題”這一重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題,第二個(gè)追問(wèn)促使學(xué)生想到運(yùn)用“和差術(shù)”這一方法模型巧妙解決問(wèn)題.問(wèn)題的提出自然流暢,問(wèn)題的解決新穎靈活.在學(xué)生使用配方法解決問(wèn)題2中求矩形最大面積后追問(wèn)學(xué)生“能否使用和差術(shù)求最大值?”促使學(xué)生想出通過(guò)作線段AB的垂直平分線,將其轉(zhuǎn)化為上一問(wèn)題,從而迎刃而解.通過(guò)教師的追問(wèn)讓學(xué)生再次體會(huì)到靈活性、新穎性的創(chuàng)造性思維給自己解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所帶來(lái)的成就感與滿足感,體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力,在培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的同時(shí),增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力.整節(jié)課都十分注重追問(wèn)學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生思考,在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的同時(shí),利用追問(wèn)培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維.

      4.3 圍繞數(shù)學(xué)建模過(guò)程,提升數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力

      數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的活動(dòng),數(shù)學(xué)建模能力的提升正成為全世界數(shù)學(xué)教育的一個(gè)中心目標(biāo).學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的,需要教師精心組織和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題中的抽象、符號(hào)化、求解、檢驗(yàn)等環(huán)節(jié),也即引模、建模、解模、驗(yàn)?zāi)5染唧w建模環(huán)節(jié)(圖5),以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

      圖5

      數(shù)學(xué)高階思維的四個(gè)組成要素是一個(gè)有機(jī)整體.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力既是數(shù)學(xué)高階思維運(yùn)轉(zhuǎn)的出發(fā)點(diǎn),也是數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展的歸宿;數(shù)學(xué)批判性思維和數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維是發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的兩大動(dòng)力系統(tǒng),二者相互融合,共同推動(dòng)數(shù)學(xué)高階思維不斷向前發(fā)展;數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力是數(shù)學(xué)高階思維的中樞系統(tǒng),指揮和調(diào)控整個(gè)數(shù)學(xué)高階思維在正確軌道上運(yùn)行.

      如圖6所示,數(shù)學(xué)建模是發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維的“心臟”.數(shù)學(xué)建模的每個(gè)環(huán)節(jié)都不同程度地 促進(jìn)了數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.引模環(huán)節(jié)需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行分析、對(duì)比、辨識(shí),促進(jìn)分析能力、尋找真相、求知欲等高階思維的發(fā)展;建模環(huán)節(jié)需要對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象、符號(hào)化,促進(jìn)表達(dá)清晰性、策略合理性等高階思維的發(fā)展;解模環(huán)節(jié)需要正確解出數(shù)學(xué)模型,促進(jìn)認(rèn)知成熟度、流暢性、清晰表達(dá)等高階思維的發(fā)展;驗(yàn)?zāi)-h(huán)節(jié)需要將所求結(jié)果代入現(xiàn)實(shí)問(wèn)題加以檢驗(yàn)、反思、調(diào)整,促進(jìn)批判性思維及元認(rèn)知能力等高階思維的發(fā)展.由此可見(jiàn),整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程都促進(jìn)了數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.

      圖6

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