一類具有收獲項的雙時滯May合作系統(tǒng)的Hopf分支

王月月，呂堂紅，周林華

(長春理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 長春 130022)

0 引言

合作是物種之間的基本關系之一，在過去的幾十年里，學者們對于合作模型進行了廣泛研究[1-5].1976年May首次提出兩種群合作模型，分析發(fā)現(xiàn)如果不對模型系數(shù)加以限制，其解可能無界.為了克服解的無界情形，May進一步考慮了種群內(nèi)部密度制約因素，提出修正模型.此后對于May合作系統(tǒng)的研究多基于修正模型，如Cui等[6]提出并研究了非自治的May合作模型，給出了保證系統(tǒng)存在唯一的全局吸引的正周期解的充分性條件；Wei等[7]提出并探討了具有捕獲項的May合作系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)正平衡點的存在性和穩(wěn)定性.

2014年，楊坤等[8]研究了如下形式的具有避難所的May合作系統(tǒng)：

(1)

其中：x1，x2代表兩個種群的密度；r1，r2分別表示兩種群的內(nèi)稟增長率；c1，c2分別表示兩種群的種內(nèi)競爭強度；bi表示xi種群與另一種群的合作系數(shù)；00，ci>0，i=1，2.假定x1種群具有避難所，此時數(shù)量為mx1的x1種群躲入避難所，(1-m)x1數(shù)量的x1種群與x2種群進行合作.其研究結(jié)果表明具有避難所的種群x1的平衡密度會隨著避難所的增大而增大，而沒有避難所的種群x2的平衡密度則隨著對方種群避難所的增加而降低.

在實際問題中，影響種群密度的因素有很多.一方面，為了控制對生物資源的過度開發(fā)人類采取了多種措施，如設立保護區(qū)、制定法律法規(guī)保證適度開采等，希望既可以維持種群的持續(xù)生存，又能使經(jīng)濟得到較好發(fā)展.另一方面，時滯效應幾乎存在于每種生物關系中，對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生極大的影響.因此，本文在模型(1)的基礎上，考慮人為開采與捕撈作用，分別引入收獲項e1x1和e2x2，考慮種群x1具有成熟期和孕育期[9]分別引入時滯τ1和τ2，提出如下具有避難所和收獲項的雙時滯May合作系統(tǒng)：

(2)

其中：τ1表示x1種群的成熟期；τ2表示x1種群的孕育期；eixi表示xi種群的收獲項，ei>0，i=1，2；其他參數(shù)意義同模型(1).對于May合作系統(tǒng)的研究，學者們很少考慮到模型(2)，對于此模型的動力學行為研究也不多見，而這正是本文關注的焦點.

1 正平衡點的存在性

考慮到種群的生物學意義，本節(jié)討論系統(tǒng)(2)正平衡點E*的穩(wěn)定性狀況.

定理1 如果r1>e1且r2>e2，則系統(tǒng)(2)有唯一正平衡點

證明如果系統(tǒng)(2)存在平衡點，則應滿足方程組

(3)

由(3)式中的第2個方程可得

(4)

將(4)式代入(3)式中的第1個方程，有

(5)

其中：

P1=(r2-e2)r1b1b2c1(1-m)+r2b2c2(1-m)[r1(1-m)+r1a1c1]；

P2=[r1(1-m)+r1a1c1](r2+r2a2c2)+(r2-e2)r1a2b1c1-
(r1-e1)(1-m)b2[(r2-e2)b1+r2a1c2]；

P3=(e1-r1)[(r2-e2)a2b1+a1(r2+r2a2c2)].

不難發(fā)現(xiàn)，當r1>e1且r2>e2時，定理1成立.

2 局部穩(wěn)定性和Hopf分支

系統(tǒng)(2)在正平衡點E*處的Jacobi矩陣為

(6)

其中：

則系統(tǒng)(2)的特征方程為

λ2+Aλ+B+(Cλ+D)e-λτ1+Ee-λτ2=0.

(7)

其中：

針對時滯的不同組合，考慮以下5種情形：

情形1τ1=τ2=0.此時系統(tǒng)(2)的特征方程(7)變?yōu)?/p>

λ2+(A+C)λ+B+D+E=0.

(8)

又因為A+C>0，根據(jù)Routh-Hurwitz準則，若假設：

(H1)B+D+E>0.

則系統(tǒng)(2)的正平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的.

情形2τ1>0，τ2=0.此時系統(tǒng)(2)的特征方程(7)變?yōu)?/p>

λ2+Aλ+B+E+(Cλ+D)e-λτ1=0.

(9)

令λ=iω1(ω1>0)是該方程的根，代入到(9)式有

(10)

兩邊分別平方相加可得

(11)

p1=A2-C2-2(B+E)，q1=(B+E)2-D2.

(H2)p1>0，q1>0.

則(11)式無正根，因此方程(11)的所有根均具有負實部.進一步假設

(H3)q1<0.

(12)

(13)

對(9)式關于τ1求導，有

(14)

經(jīng)計算得

(15)

如果(H5)成立，從而得到橫截性條件

于是有如下結(jié)論：

定理2 對于系統(tǒng)(2)，當τ1>0，τ2=0，且(H1)成立時：

(1) 如果(H2)成立，則當τ1≥0時，系統(tǒng)(2)的平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的.

(2) 如果(H5)成立，則存在一個τ10，使得當τ1∈[0，τ10)時，平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的；當τ1>τ10時，平衡點E*不穩(wěn)定；當τ1=τ10時，系統(tǒng)(2)發(fā)生Hopf分支.

情形3τ1=0，τ2>0.此時系統(tǒng)(2)的特征方程(7)變?yōu)?/p>

λ2+(A+C)λ+B+D+Ee-λτ2=0.

(16)

令λ=iω2(ω2>0)是該方程的根，代入到(16)式有

(17)

從而

(18)

p2=(A+C)2-2(B+D)，q2=(B+D)2-E2.

經(jīng)計算p2>0，q2>0，則有

定理3 對于系統(tǒng)(2)，當τ1=0，τ2>0時，在(H1)條件下平衡點E*仍然保持局部漸近穩(wěn)定.

情形4τ1=τ2=τ>0.

定理4 對于系統(tǒng)(2)，τ1=τ2=τ.當τ∈[0，τ30)時，平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的；當τ>τ30時，平衡點E*是不穩(wěn)定的；此外在τ=τ30處，發(fā)生Hopf分支.其中

(19)

證明同情形2.

情形5τ1>0，τ2>0.

考慮(7)式中τ1在穩(wěn)定的區(qū)間，τ2作為參數(shù).設λ=iω4為(7)式的根，代入到(7)式有

(20)

消去τ2，有

(21)

(H6) (21)式有有限個正根.

(22)

i=1，2，…，j，k=0，1，2，…

令

對(7)式關于τ2求導，有

(23)

經(jīng)計算有

(24)

其中

T=2ω*cosω*τ*+Asinω*τ*+(C-τ1D)sinω*(τ*-τ1)-τ1Cω*sinω*(τ*-τ1).

又因為ω*E<0，假設

(H7)T<0.

則

由上述討論，可得：

定理5 對于系統(tǒng)(2)，固定τ1∈[0，τ10)，若(H1)，(H6)和(H7)成立，則當τ2∈[0，τ*)時，平衡點E*是局部漸進穩(wěn)定的；若τ2>τ*，平衡點E*不穩(wěn)定；當τ2=τ*，系統(tǒng)(2)發(fā)生Hopf分支.

3 Hopf分支方向及其穩(wěn)定性

研究在τ1=τ2=τ=τ30條件下，運用Hassard的中心流形定理和規(guī)范型理論，得到?jīng)Q定系統(tǒng)(2)的Hopf分支性質(zhì)的表達式.

令u(t)=(u1(t)，u2(t))T∈R2，其中u1(t)=x1(τt)，u2(t)=x2(τt)，τ=τ30+μ，μ∈R，則系統(tǒng)(2)在C=C([-1，0]，R2)上變?yōu)橐话愕姆汉⒎址匠?/p>

(25)

其中Lμ：C→R2，F(xiàn)：R×C→R2分別由以下形式給出：

(26)

F(μ，φ)=(τ30+μ)(F1(μ，φ)，F(xiàn)2(μ，φ))T.

(27)

這里：

φ=(φ1，φ2)∈C([-1，0]，R2)，

其中：

因此，由Riesz表示定理，能找到一個有界變差的二階矩陣η(θ，μ)：[-1，0]→R2使得

(28)

這里

δ(θ)是Dirac-delta函數(shù).

對于φ∈C1([-1，0]，R2)，定義

對于ψ∈C1([-1，0]，(R2)*)，定義A=A(0)的伴隨算子A*：

雙線性型：

設A和A*對應于特征根iω3τ30與-iω3τ30的特征向量分別為q(θ)和q*(s)，于是

A(0)q(θ)=iω3τ30q(θ)，A*(0)q*(s)=-iω3τ30q*(s).

通過計算，可以得到：

這里

利用文獻[10]給出的算法，并用與文獻[11-12]類似的計算過程，可以得到用于確定Hopf分支方向以及分支周期解穩(wěn)定性的系數(shù)：

其中W20(θ)，W11(θ)的計算結(jié)果如下：

這就意味著

(29)

令C1(0)由(29)式給出，

(30)

易得出μ2，β2，T2的值.因此有

定理6 當τ=τ30時，(30)式的各個表達式中心式?jīng)Q定了分支周期解在中心流形上的性質(zhì)，因此得出下面的結(jié)論：

(1)μ2確定Hopf分支的方向.如果μ2>0(μ2<0)，則Hopf分支是超臨界的(次臨界的).

(2)β2確定分支周期解的穩(wěn)定性.如果β2<0(β2>0)，則分支周期解是穩(wěn)定的(不穩(wěn)定的).

(3)T2確定分支周期解的周期.如果T2>0(T2<0)，則分支周期解的周期增加(減少).

4 數(shù)值模擬

為了驗證上面分析所得的理論結(jié)果，選擇適當?shù)膮?shù)，考慮以下系統(tǒng)：

(31)

當τ1>0，τ2=0時，條件(H1)和(H3)滿足，通過計算有ω10≈0.900 8，τ10≈1.942 3，橫截性條件滿足.因此當τ1=1.8<τ10≈1.942 3時，平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖1)；當τ1=2>τ10≈1.942 3時，平衡點E*失去穩(wěn)定性(見圖2).

圖1 當τ1=1.8<τ10≈1.942 3，τ2=0時，系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

圖2 當τ1=2>τ10≈1.942 3，τ2=0時，系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

當τ1=τ2=τ時，B2-(D+E)2≈-1.165 2<0，系統(tǒng)有正根，通過計算可得ω3≈0.862 9，τ30≈2.190 9，C1(0)≈0.000 1-0.001 2i，μ2≈-0.000 1，β2≈0.000 2，T2≈0.002 4.

由定理6可知，系統(tǒng)(31)的Hopf分支是次臨界的，分支周期解是不穩(wěn)定的且分支周期增大.當τ=1.9<τ30≈2.190 9時，平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖3)；當τ=2.2>τ30≈2.190 9時，平衡點E*失去穩(wěn)定性(見圖4).

圖3 當τ1=τ2=τ=1.9<τ30≈2.190 9時，系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

圖4 當τ1=τ2=τ=2.2>τ30≈2.190 9時，系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

當τ1>0，τ2>0時，固定τ1=2.1，通過計算可得ω*≈908 6，τ*≈2.794 6.

(H7)T≈-2.801 2<0.因此當τ2=2.0<τ*≈2.794 6時，平衡點E*是漸近穩(wěn)定的(見圖5)；當τ2=3.2>τ*≈2.794 6時，平衡點E*失去穩(wěn)定性(見圖6).

圖5 當τ1=2.1，τ2=2.0<τ*≈2.794 6時，系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

圖6 當τ1=2.1，τ2=3.2>τ*≈2.794 6時，系統(tǒng)(31)的波圖和相圖

5 結(jié)論

本文研究了一類具有收獲項的雙時滯May合作系統(tǒng).研究結(jié)果表明：當種群x1中只存在成熟期時滯τ2時，時滯變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響；當種群x1中只存在孕育期時滯τ1，或者當種群x1的兩個時滯都存在時，種群的時滯變化對其生長具有很大影響.從圖2、圖4與圖6中可以看出適當?shù)难舆t可以促進系統(tǒng)穩(wěn)定性，而從圖1、圖3與圖5中可以看出當時滯通過其臨界值時，會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，模型就會經(jīng)歷Hopf分支，產(chǎn)生周期解，甚至導致生態(tài)系統(tǒng)的失控與混亂.本文的研究有助于理解自然界中的一類種群合作關系，為相關部門及管理者規(guī)范對此類生物資源的開采、利用行為提供理論參考.