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      關(guān)于廣義Sylvester矩陣方程反自反解的有限迭代算法

      2022-03-26 07:04:36
      關(guān)鍵詞:歸納法范數(shù)等價(jià)

      鄧 勇

      (喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 喀什 844006)

      0 引言

      眾所周知,若矩陣P∈Rn×n滿足條件PT=P和P2=I,則稱其為廣義反射矩陣.若矩陣A∈Rn×n滿足條件A=-PAP,則稱其為關(guān)于廣義反射矩陣P的反自反矩陣[1].

      關(guān)于廣義反射矩陣的反自反矩陣已廣泛應(yīng)用于工程和科學(xué)計(jì)算中.[2-3]文獻(xiàn)[4-10]分別研究了不同形式的線性矩陣方程的自反和反自反解;文獻(xiàn)[11]在MHSS方法的基礎(chǔ)上,獲得了一種求解具有非Hermitian矩陣和對稱復(fù)正定(半正定)矩陣的大型稀疏Sylvester方程的廣義MHSS方法;文獻(xiàn)[12]基于求線性矩陣方程約束解的修正共軛梯度法,通過修改某些矩陣的結(jié)構(gòu),建立了特殊類型的多變量線性矩陣方程的廣義自反解的迭代算法;文獻(xiàn)[13]討論了廣義耦合Sylvester矩陣求解的迭代算法;文獻(xiàn)[14]建立了一類Riccati矩陣方程廣義自反解的雙迭代算法;文獻(xiàn)[15]研究了矩陣方程組存在廣義自反和反自反解的充要條件.在上述文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上,本文將給出計(jì)算一類新廣義Sylvester矩陣方程反自反解的有限迭代算法.

      考慮廣義Sylvester矩陣方程

      AX+BY=EXF+C.

      (1)

      其中:A,E∈Rm×p,B∈Rm×q,F(xiàn)∈Rn×n,C∈Rm×n是給定矩陣,X∈Rp×n和Y∈Rq×n是待定矩陣.

      1 預(yù)備知識

      (2)

      的形式,其中U=[U1,U2]是正交矩陣(UUT=UTU=In)且U1∈Rn×r,U2∈Rn×(n-r)[2].

      定義1.1 線性或非線性矩陣方程組稱為相容的,如果至少有一組未知量的值滿足其每個(gè)方程.否則,稱矩陣方程組不相容,即不存在滿足其所有方程的一組未知量的值.

      (3)

      其中:A2∈Rr×(n-r),A3∈R(n-r)×r,U和UT如(2)式所示.

      設(shè)A,B,E,C∈Rm×n,F(xiàn)∈Rn×n,并且兩個(gè)n階廣義反射矩陣P和S可表為

      (4)

      其中U=[U1,U2]和Z=[Z1,Z2]是正交矩陣,U1,Z1∈Rn×r,U2,Z2∈Rn×(n-r).現(xiàn)給出如下分解:

      AU=(A11,A12),A11∈Rm×r,A12∈Rm×(n-r);EU=(E11,E12),E11∈Rm×r,E12∈Rm×(n-r);

      則可證得如下定理:

      定理1.1 設(shè)A,B,E,C∈Rm×n,F(xiàn)∈Rn×n.若P和S是兩個(gè)n階廣義反射矩陣,則下列陳述等價(jià):

      (b) 矩陣方程

      A11X12U12+A12X13U11-E12X13F11-E11X12F12+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C

      (5)

      有反自反解.在有解的情況下,廣義Sylvester矩陣方程(1)的反自反解可表為

      (6)

      其中:X12,Y12∈Rr×(n-r);X13,Y13∈R(n-r)×r;U,UT,Z,ZT如(4)式所示.

      2 矩陣方程(5)的迭代算法

      問題2.1 對給定的矩陣A11,B11,E11∈Rm×r,A12,B12,E12∈Rm×(n-r),F(xiàn)11,U11,Z11∈Rr×n,F(xiàn)12,U12,Z12∈R(n-r)×n和C∈Rm×n,求X12,Y12∈Rr×(n-r)和X13,Y13∈R(n-r)×r,使其滿足

      A11X12U12+A12X13U11-E12X13F11-E11X12F12+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C.

      (7)

      (8)

      2.1 問題2.1的算法程序

      第一步輸入矩陣A11,B11,E11∈Rm×r,A12,B12,E12∈Rm×(n-r),F(xiàn)11,U11,Z11∈Rr×n,F(xiàn)12,U12,Z12∈R(n-r)×n和C∈Rm×n.

      第二步選擇任意的X12,Y12∈Rr×(n-r)和X13,Y13∈R(n-r)×r.

      第三步計(jì)算

      R(1)=C-A11X12(1)U12-A12X13(1)U11+E11X12(1)F12+E12X13(1)F11-B11Y12(1)Z12-B12Y13(1)Z11,

      第四步若R(k)=0,則X12(k),X13(k),Y12(k),Y13(k)就是矩陣方程(5)的解,于是終止步驟;若R(k)≠0,而P1(k)=P2(k)=Q1(k)=Q2(k)=0,則矩陣方程(5)不相容,為此需轉(zhuǎn)到下一步.

      第五步令‖P1(t)‖2+‖P2(t)‖2+‖Q1(t)‖2+‖Q2(t)‖2=λ(t),μ(t)=‖R(t+1)‖2/‖R(t)‖2,計(jì)算

      X12(k+1)=X12(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·P1(k);X13(k+1)=X13(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·P2(k);

      Y12(k+1)=Y12(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·Q1(k);Y13(k+1)=Y13(k)+(‖R(k)‖2/λ(k))·Q2(k);

      第六步由第五步得到上述序列后再轉(zhuǎn)到第四步.如此循環(huán)反復(fù).

      2.2 算法2.1的收斂性分析

      引理2.2.1[2]若線性方程組Ax=b有解x*∈R(AT),則x*是其唯一的最小Frobenius范數(shù)解.

      算法2.1具有下列重要性質(zhì):

      引理2.2.2 設(shè)序列{R(i)},{P1(i)},{P2(i)},{Q1(i)},{Q2(i)}由算法2.1給出.若R(i)≠0,則有

      (9)

      證明顯然,只需證明對1≤i

      第一步證明當(dāng)j=i+1時(shí),有

      (10)

      事實(shí)上,由數(shù)學(xué)歸納法,當(dāng)i=1時(shí),有

      此外,

      假設(shè)對1

      此即

      tr(RT(t+1)R(t))=0.

      (11)

      同樣有

      (12)

      第二步證明當(dāng)1≤i≤s-1和1≤l≤s時(shí),有

      (13)

      成立.由于l=1的情況已在第一步中證明,所以只需證明當(dāng)l≤v≤s時(shí),(13)式成立即可.

      由數(shù)學(xué)歸納法分兩步證明

      (14)

      首先,當(dāng)i=1時(shí),由算法2.1和第一步,(14)式中第1式的左邊可寫為

      (14)式中第2式的左邊也可寫為

      由歸納原理可知,(14)式正確.

      其次,利用第一步的證明結(jié)果和算法2.1,可得

      (15)

      以及

      (16)

      重復(fù)(15)和(16)式的上述推導(dǎo)過程,對確定的α和β,可得

      利用這兩個(gè)關(guān)系并結(jié)合(14)式可知,當(dāng)l=v+1時(shí)(13)式正確.

      綜合上述結(jié)果,由數(shù)學(xué)歸納法可知引理2.2.2成立.證畢.

      (17)

      其中R(i),P1(i),P2(i),Q1(i),Q2(i),X12(i),Y12(i),X13(i),Y13(i)是由算法2.1得到的序列.

      證明利用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)i=1時(shí),通過直接計(jì)算可得

      假設(shè)當(dāng)i=t時(shí)(17)式成立,即有

      (18)

      于是,當(dāng)i=t+1時(shí),就有

      現(xiàn)將在算法2.1中得到的X12(t+1),Y12(t+1),X13(t+1),Y13(t+1)代入上式,可得

      最后,利用(18)式得到

      根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,對所有的i=1,2,…,引理2.2.3均成立.證畢.

      注1引理2.2.3表明:若存在正數(shù)i,使得P1(i)=P2(i)=Q1(i)=Q2(i)=0但R(i)≠0,則矩陣方程(5)不相容.因此,在沒有舍入誤差的情況下,矩陣方程(5)的可解性可由算法2.1自動(dòng)確定.

      定理2.2.1 設(shè)問題2.1相容.于是,在沒有舍入誤差的情況下,對任意初始矩陣X12,Y12∈Rr×(n-r)和X13,Y13∈R(n-r)×r,利用算法2.1,問題2.1的解可通過有限步迭代而獲得.

      (19)

      (20)

      因此,R(1),R(2),…,R(mn)是矩陣空間Rm×n的一組正交基且R(mn+1)=0.這意味著,X12(mn+1),Y12(mn+1),X13(mn+1),Y13(mn+1)是問題2.1的反自反解.證畢.

      證明矩陣方程(5)關(guān)于廣義反射矩陣反自反解的可解性等價(jià)于線性方程組

      的可解性[15].現(xiàn)在,任取矩陣D,由于

      3 問題2.2的最佳逼近反自反解

      設(shè)問題2.2是相容的,從而其解集S3≠?.對給定的矩陣X12,Y12∈Rr×(n-r)和X13,Y13∈R(n-r)×r,顯然,矩陣方程

      A11X12U12+A12X13U11-E11X12F12-E12X13F11+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C

      (21)

      等價(jià)于矩陣方程

      于是,問題2.2的最佳逼近反自反解等價(jià)于矩陣方程

      4 數(shù)值算例

      給定廣義Sylvester矩陣方程(1),取

      求其最佳逼近反自反解.

      將矩陣P,S分別表示為

      容易證明,PXP=-X,SYS=-Y,即X和Y分別是關(guān)于廣義反射矩陣P和S的反自反矩陣,并且矩陣方程存在關(guān)于廣義反射矩陣P,S的反自反解.通過計(jì)算,其反自反解為

      現(xiàn)在,利用算法2.1求解矩陣方程(11).由定理1.1知,線性矩陣方程(11)等價(jià)于矩陣方程

      A11X12U12+A12X13U11-E11X12F12-E12X13F11+B11Y12Z12+B12Y13Z11=C.

      (22)

      其中:

      選擇任意初始迭代矩陣X12(1)=Y12(1)=X13(1)=Y13(1)=0.由算法2.1,可得方程(5)的近似解為

      并且,其相應(yīng)的殘差為

      其中

      表1給出了方程(22)的最小Frobenius范數(shù)解的迭代次數(shù)k和相應(yīng)殘差的范數(shù).

      表1 最小Frobenius范數(shù)解的迭代次數(shù)和相應(yīng)殘差的范數(shù)

      并且,其相應(yīng)的殘差為

      并且,其相應(yīng)的殘差為

      表2 最佳逼近解的迭代次數(shù)和相應(yīng)殘差的范數(shù)

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