以“雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程”為例探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

■ 無錫旅游商貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 趙沙沙

1 在GeoGebra繪圖過程中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)

信息技術(shù)的發(fā)展帶動了各個領(lǐng)域的進(jìn)步,也為現(xiàn)代職業(yè)學(xué)校教學(xué)提供了很多選擇。特別在圓錐曲線章節(jié),利用信息技術(shù)為平臺,為學(xué)生演示各曲線的形成過程,使教學(xué)方式豐富多樣,增強學(xué)生對圓錐曲線的直觀理解,便于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在講解雙曲線定義之前,給學(xué)生演示何種曲線是雙曲線,條件允許的話,可以請同學(xué)們打開GeoGebra軟件,跟隨老師一起演示雙曲線的形成過程。打開GeoGebra軟件,輸入指令:

各指令表示的意思分別是:左焦點;右焦點;構(gòu)造圓;控制圓上的點A;圓上一點A;使即定值,且A動則M動;

顯示線段MF_1;顯示線段MF_2;顯示文本;顯示雙曲線。

學(xué)生只需要把指令輸入到GeoGebra中,拉動滑動條,即可顯示雙曲線的形成過程,即“平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于兩定點距離)的點的軌跡叫作雙曲線。”GeoGebra軟件作圖,讓雙曲線這一抽象的定義生動形象,學(xué)生在直觀感受中領(lǐng)會雙曲線的概念,加強自身的直觀想象素養(yǎng)。

2 在標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理核心素養(yǎng)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在雙曲線一節(jié)中占有重要地位。推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的第一步,是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系。通過小組內(nèi)部交流合作,每個人都有可能提出不同的建立坐標(biāo)系的方案,有的小組會以雙曲線焦點所在直線為y軸,其垂直平分線為x軸建立直角坐標(biāo)系;有的小組會以雙曲線兩焦點之一為原點建立直角坐標(biāo)系;有的小組會以雙曲線焦點所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。每一個建系方案都蘊藏著學(xué)生對雙曲線定義的自我理解和邏輯推導(dǎo),理論上都是可行的,只是推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的計算量和最終得到的方程會有差異。

若以雙曲線焦點所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)焦距為2c,即可得到兩焦點的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0),這樣就完成了第二步設(shè)點,這一步驟學(xué)生可以在教師的問題指引下得出。依據(jù)雙曲線的定義,雙曲線上任一點(x,y)到兩焦點距離差的絕對值是常數(shù)2a,結(jié)合兩點間的距離公式,可用提問的方式得出第三步列式,得到:

第四步的化簡過程尤其考驗學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力:移項,得

兩邊同時平方并化簡,得:

兩邊再同時平方,然后兩邊同時除以a2(c2-a2),

令c2-a2=b2(b＞0),得:

這樣就得到了焦點在x軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。帶根式方程的化簡通常會應(yīng)用平方,對所列式子先移項再平方是簡化計算過程的技巧,化簡過程用到兩次平方,對學(xué)生的計算能力是一大挑戰(zhàn)。

推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程用到的四個步驟:建系、設(shè)點、列式、化簡,是一個層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣的過程。每個曲線方程的推導(dǎo)都能用到這幾個步驟,十分考驗學(xué)生的邏輯推理能力和計算化簡能力。

3 在實際問題解決過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)

職業(yè)院校以培養(yǎng)專業(yè)技術(shù)型人才為定位,很多專業(yè)十分注重實踐性。對部分同學(xué)來說,學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)的過程是鮮有樂趣的,甚至?xí)腥藨岩勺约簩W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義,因此有“數(shù)學(xué)無用論”出現(xiàn)。利用數(shù)學(xué)建模思想將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題很好地改善了這一情況,教師可以通過數(shù)學(xué)建模幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生積極思考、探索、解決問題。

在雙曲線應(yīng)用一節(jié)中,針對酒店管理專業(yè)的學(xué)生,我們可以設(shè)計問題:為規(guī)劃餐車運行路線,酒店經(jīng)理碰到一個難題,他將這一問題與職校畢業(yè)的小陳一起商量,也就有了下面的研究:如圖,酒店餐車在M處,需要沿路線MA或MB送到ABCD中去,經(jīng)測量知MA=40米,MB=60米,∠AMB=60°,能否制定一個運送方案,使運送距離最近?

圖1 建模例圖(一)

數(shù)學(xué)建模思想解決實際問題的實質(zhì)是“讀懂實際問題、建立相應(yīng)模型”。我們首先得分析清楚題中的已知與未知,理順題中已知和未知之間的關(guān)聯(lián),進(jìn)而選擇合適的模型。在這道餐車路徑規(guī)劃的實例中,我們首先將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,建立坐標(biāo)系,將各區(qū)域邊界點在坐標(biāo)系中,將已知條件轉(zhuǎn)換求解。餐車路徑規(guī)劃可以分成三組情況:(1)沿MA運送最近;(2)沿MB運送最近;(3)沿MA和MB運送一樣近。假設(shè)方案三成立,那么對界限上的任意一點P,恒成立,即是一個定值,并且,根據(jù)雙曲線的定義知,這個界限的軌跡是雙曲線的其中一支。

圖2 建模例圖(二)

從而我們可以以AB所在直線為x軸,其垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)雙曲線方程為:

讀懂題意,建立模型是解決問題的難點,特別是建立模型,需要通過訓(xùn)練增強數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

第二步是“分析條件找點,代入求出方程”,問題中已經(jīng)轉(zhuǎn)換的點坐標(biāo)和按題意設(shè)立的方程模型需要進(jìn)一步“反應(yīng)”,進(jìn)而催化出所需的方程式。這一步是解決問題的關(guān)鍵,起到承上啟下的作用,“點”找對了,“方程”才能求對。而在此過程中,需要同學(xué)們具備一定的數(shù)學(xué)計算能力。在這個實例中,我們利用余弦定理求出AB的長度,進(jìn)而求出焦點A、B的坐標(biāo),最后求解出雙曲線方程:

最后一步是“還原具體情況,解決實際問題”,數(shù)學(xué)模型解開了,數(shù)學(xué)問題解決了,最終還需還原至實際問題。這一步是問題解決的終點,也是解決問題的收官之處。在此過程中,要切實做到如實還原,不遺漏、不繁瑣。在這道餐車路徑規(guī)劃實例中,求出右支雙曲線方程后,一定要還原至實際問題就是當(dāng)運送到界限左邊時,沿MA運送較好;當(dāng)運送到界限右邊時,沿MB運送較好;當(dāng)運送到界限上的地方時,沿MA、MB一樣。

數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)課堂上的有效應(yīng)用,可以讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂和實用性,在解決問題的過程中,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中處于主體地位;在數(shù)學(xué)模型求解過程中,需要學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握扎實,同時需要具備較強的運算能力。有效的數(shù)學(xué)建模課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高效途徑。

圓錐曲線作為職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容,是平面解析幾何知識的繼續(xù)學(xué)習(xí),其蘊含的知識點美麗又抽象,縝密而細(xì)致。教師可以通過與專業(yè)相結(jié)合加強知識的趣味性,例如在講解雙曲線一節(jié)時,可以從專業(yè)中的曲線美、生活中的曲線美入手,通過展示學(xué)生搜集的帶有三類圓錐曲線的專業(yè)設(shè)計圖片等實現(xiàn)德育滲透,落實課程目標(biāo)立德樹人的根本任務(wù)。作為一個生動的知識引導(dǎo)者,教師也可以通過增設(shè)數(shù)學(xué)實驗環(huán)節(jié)加強課堂的生動性。例如在講解雙曲線一節(jié)時,可以通過手工折紙等方式折出雙曲線,使學(xué)生領(lǐng)會雙曲線定義的精確性;可以將課堂搬到車間廠房,通過觀看不同數(shù)據(jù)對機器產(chǎn)生的影響,使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的重要意義。

數(shù)學(xué)學(xué)科的六個核心素養(yǎng)作為學(xué)科育人的價值集中體現(xiàn),是培養(yǎng)人才、踐行社會主義核心價值觀的重要載體。教師在教書育人過程中,要常思考多嘗試,用高效的方式踐行“立德樹人”之本、培養(yǎng)強國之才。