聚焦圓錐曲線“三定”問題

徐春生

圓錐曲線“三定”問題是指“定點問題、定直線的方程問題和定值問題”。這類試題是高考命題的熱點，其難度較大，常以解答題的形式出現(xiàn)，考查了數(shù)學運算、邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)和數(shù)形結合、轉化與化歸的數(shù)學思想。

一、定點問題

1.直線過定點問題

（1）求橢圓C的方程。

（2）設M為橢圓C的左頂點，A，B是橢圓C上兩個不同的點，直線MA，MB的傾斜設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1k2=1。

點評：解決動直線L過定，點問題的思路：

設動直線L的方程（斜率存在）為y=kx+t，由題設條件將t用k表示為t=mk，得y=k（x+m），故動直線L過定，點（-m，0）。

2.曲線過定點問題

例2已知拋物線C：x2=-2py經過點（2，-1）。

（1）求拋物線C的方程及其準線方程。

（2）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=-1分別交直線OM，ON于點A和點B。求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點。

解析：（1）由拋物線C：x2=-2py經過點（2，-1），解得p=2。

所以拋物線C的方程為x2=-4y，其準線方程為y=1。

（2）拋物線C的焦點為F（0，-1），設直線L的方程為y=kx-1（k≠0）。

綜上，以AB為直徑的圓經過y軸上的定點（0，1）和（0，-3）。

點評：本題抓住圓的幾何特征“直徑所對的圓周角為90”，巧用向量DA·DB=0求得定，點坐標，學習中應體會向量解題的工具性。

二、定直線的方程問題

例3已知拋物線C：x2=2py（p》0）

的焦點為F，過F且斜率為1的直線與拋物線C交于A，B兩點，AB|=8。

（1）求拋物線C的方程。

（2）過點D（1，2）的直線L交拋物線C于點M，N，點Q為MN的中點，QR⊥x軸交拋物線C于點R，且QR=RT。證明：動點T在定直線上。

解析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2）。

則x1+x2=2衛(wèi)，y1+y2=x1+x2+衛(wèi)=3衛(wèi)。

所以|AB|=y1+y2+p=4p=8，解得=2。

因此，拋物線C的方程為x2=4y。

（2）方法-：易知直線L的斜率存在，設

的方程為y=k（x-1）+2，Q（xo，y0），因為2k-2（k-2）-4=0，所以動點T在定直線x-2y-4=0上。

設Q（x，y5），則直線MN的斜率k=

所以動點T在定直線x-2y-4=0上。點評：本題第二問給出了探求圓錐曲線中的定直線問題的兩種方法：方法一是參數(shù)法，先利用題設條件探究出動點T的坐標（包含參數(shù)），再消去參數(shù)，即得動點T在定直線上;方法二是相關，點法，即先設出動，點T的坐標為（x，y），根據題設條件得到已知曲線上的動點R的坐標，再將動，點R的坐標代入已知的曲線方程，即得動，點T在定直線上。

三、定值問題

例4在平面直角坐標系xOy中，已

（2）試探究△POQ的面積S是否為定值，并說明理由。

解析：（1）因為k1，k2均存在，所以x1x2≠0。

綜合①②可知，△POQ的面積S為定值1。

點評：圓錐曲線中的定值問題的常見類型：（1）證明代數(shù)式為定值，依題意設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值;（2）證明，點到直線的距離為定值，利用，點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得;（3）證明某線段長度為定值，利用長度公式求得解析式，再依據條件對解析式進行化簡、變形求得。

（責任編輯 徐利杰）