運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明不等式的步驟

朱琳

不等式證明題側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理綜合分析能力.對(duì)于一些含有指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)的不等式證明題，采用常規(guī)的分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等很難使問(wèn)題獲解，而巧用導(dǎo)數(shù)法，能快速證明結(jié)論.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明不等式的主要步驟如下：

1.采用合適的方式，如移項(xiàng)、通分、合并同類項(xiàng)、因式分解、分離參數(shù)等將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?

2.根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，可將不等式一邊的式子構(gòu)造成函數(shù)，也可將不等式的某一部分構(gòu)造成函數(shù);

3.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.若 f ′（x）> 0 ，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;若 f ′（x）< 0 ，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;

4.根據(jù)極值點(diǎn)的定義判斷出極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn);

5.在極值點(diǎn)處求得函數(shù)的最值，得出證明不等式恒成立的結(jié)論.

例1.已知 x ∈?è?? 0， π2 ，求證：4x2 π2 < 1 - cos x < x2 2 .

證明：成立.

解答本題，需通過(guò)三次求導(dǎo)來(lái)證明結(jié)論.首先將右側(cè)的不等式移項(xiàng)，構(gòu)造出函數(shù) f （x） ，通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明右側(cè)的不等式成立.然后再證明左側(cè)的不等式，根據(jù)該不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù) g（x） 、h（x） ，通過(guò)二次求導(dǎo)求得 g（x） 的最小值，進(jìn)而證明 4x2 π2 < 1 - cos x 成立.

例2.證明：當(dāng) x > 0 時(shí)， x· ln x ≥ -2e-1 .

證明：

我們先將不等式移項(xiàng)，然后構(gòu)造函數(shù) f （x） ，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由此確定函數(shù)的極小值，即在定義域內(nèi)的最小值，從而證明不等式成立.

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明不等式，主要思路是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.常見的轉(zhuǎn)化方式有：（1）將 f （x1）> g（x2） 轉(zhuǎn)化為 f （x1）max > g（x2）max ;（2）將f（x）≥a轉(zhuǎn)化為 f （x）min ≥ a ;（3）將 f （x） ≤ a 恒成立轉(zhuǎn)化為 f （x）max ≤ a ;（3）將 f （x）> g（x） 恒成立轉(zhuǎn)化為F（x）= f （x）- g（x） ，F(xiàn)（x）min >0 ;等等.在解題時(shí)，需嚴(yán)格按照上述步驟，研究導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，從而證明結(jié)論.

（作者單位：江蘇省懷仁中學(xué)）