孫蘭紅

多元變量最值問題一般較為復(fù)雜，對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算和綜合分析能力的要求較高.很多同學(xué)在解題時(shí)往往容易受多個(gè)變量的干擾，不知該如何下手.下面介紹三個(gè)求解多元變量最值問題的路徑，以幫助大家提升解答此類問題的效率.

一、利用基本不等式

基本不等式： ≥? a，b>0是解答雙變量

最值問題的重要工具.在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要首先確保兩個(gè)變量為正數(shù)，然后配湊出兩個(gè)變量的和或者積，并使其中之一為定值，這樣就能運(yùn)用基本不等式來求最值.值得注意的是，在求得最值后要檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件是否滿足題意.在配湊基本不等式時(shí)，可通過“拆項(xiàng)”“拼項(xiàng)”“湊系數(shù)”等方式來變形目標(biāo)式.

例1.

解：

解答本題的關(guān)鍵在于通過合理換元，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x、 y 的函數(shù)式，再根據(jù)（x +y）=1，利用“1”的代換來配湊出、兩式的和，而該式的積為定值，于是運(yùn)用基本不等式就能順利求得最值.

二、消元

消元法往往是解答多元變量最值問題最為直接的方法.當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個(gè)及兩個(gè)以上的變量，且各變量之間存在某種關(guān)系時(shí)，我們就可以根據(jù)這些變量之間的關(guān)系，用其中一個(gè)變量表示出其他變量，這樣便可消去一些變量，將問題轉(zhuǎn)化為單變量最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、方程的性質(zhì)來求得最值.

例2.若 c >0，非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2- 2ab +4b2?????? -c =0，求當(dāng)2a +b 最大時(shí)， -? +? 的最小值.

解：

當(dāng)遇到多元變量問題時(shí)，要首先考慮消元法，如果能夠通過消元，將多個(gè)變量消去，便可將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的單變量最值問題，這樣能達(dá)到化難為易的目的.

三、采用判別式法

若經(jīng)過一系列的恒等變換，能將已知關(guān)系式或目標(biāo)式整理為關(guān)于某個(gè)變量的一元二次方程，就可以利用一元二次方程的根的判別式來求得最值.在建立一元二次方程后，便可根據(jù)變量的取值情況和方程來討論方程的根的分布情況，通常會(huì)根據(jù)方程有解來建立關(guān)系式：△≥0，從而求得最值.

例3.已知 x， y， z ∈Z ，且 x +y +z =3， x3+y3+z3= 3，求 x2+y2+z2的最值.

解：由x +y =3 -z，x3+y3= 3-z3得xy =? ，

則 x， y 為關(guān)于 t 的一元二次方程 t2-（3-z）t+=0的整數(shù)根，

所以 Δ=（3-z）2-4? =（z -1）2（1+ ） 必為完全平方數(shù)，

則 z =1，4， -5，當(dāng) z =1 時(shí)，x =1，y =1;當(dāng) z =4時(shí)， x =-5，y =4， 或x =4，y =4;當(dāng) z =-5時(shí)，x =4，y =4 .

綜上可得 x2+y2+z2的最大值為57，最小值為3.

已知條件中含有三個(gè)變量，而方程的解是不確定的，于是用 z 表示x +y、xy，根據(jù)韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程，由方程有整數(shù)根x、 y，根據(jù)判別式Δ 為完全平方數(shù)建立關(guān)系式，從而求得最值.

總之，解答多元變量最值問題，不僅要靈活處理幾個(gè)變量之間的關(guān)系，從中尋找解題的突破口，還需靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、方程思想等來解題.

（作者單位：華東師范大學(xué)鹽城實(shí)驗(yàn)中學(xué)）