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      直接有限環(huán)的新刻畫(huà)

      2022-04-13 14:28:40趙旭東魏俊潮
      關(guān)鍵詞:題設(shè)充分性方程組

      趙旭東, 王 姍, 魏俊潮

      (1.運(yùn)城師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)計(jì)系, 山西 運(yùn)城 044000; 2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

      2019年第十屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(數(shù)學(xué)類(lèi), 三、 四年級(jí))第五大題:

      設(shè)R為結(jié)合環(huán),a,b∈R, 若a+b=ab, 且關(guān)于x的方程

      (1)

      在R中有解, 則ab=ba.

      證明由于該方程組等價(jià)于方程組

      再注意到a+b=ab等價(jià)于(1-a)(1-b)=1, 故

      (1-a)x=(1-a)x[(1-a)x2(1-a)]

      =[(1-a)x(1-a)]x2(1-a)

      =(1-a)x2(1-a)=1,

      x(1-a)=[(1-a)x2(1-a)]x(1-a)

      =(1-a)x2[(1-a)x(1-a)]

      =(1-a)x2(1-a)=1,

      因此 1-a可逆且(1-a)-1=x, 而且

      x=x(1-a)(1-b)

      =(1-a)-1(1-a)(1-b)=1-b.

      從而 (1-b)(1-a)=x(1-a)

      =1=(1-a)(1-b), 于是ab=ba.

      受此題啟發(fā), 下面給出直接有限環(huán)的幾個(gè)刻畫(huà).有關(guān)直接有限環(huán)的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-9]. 本文中R均指有單位元的結(jié)合環(huán).

      定理1R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a,b∈R滿足ab=a+b時(shí), 有ab=ba.

      證明先證必要性.假設(shè)a,b∈R, 滿足

      ab=a+b, 則(a-1)(b-1)=1, 由于R為直接有限環(huán), 故(b-1)(a-1)=1, 從而a+b=ba, 所以ab=ba.

      再證充分性.任取x,y∈R, 滿足xy=1.記

      a=x+1,b=y+1, 則(a-1)(b-1)=xy=1,

      所以ab=a+b.由題設(shè)知ab=ba, 故有

      (x-1)(y-1)=(y-1)(x-1),

      計(jì)算得yx=xy=1, 因此R為直接有限環(huán).

      定理2R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a,b∈R滿足ab=a+b時(shí)關(guān)于x的方程組(1)有解.

      證明先證必要性.假設(shè)R為直接有限環(huán)且對(duì)任意的a,b∈R滿足ab=a+b, 則 (a-1)(b-1)=1, 故 (b-1)(a-1)=1, 從而a-1為可逆元, 故x=(a-1)-1=b-1為方程組(1)的解.

      再證充分性.設(shè)u,v∈R, 滿足uv=1.記

      a=u+1,b=v+1, 則ab=a+b.由題設(shè)知方程組(1)有解, 設(shè)解為x=d.從而有

      于是1-a可逆且(1-a)d=1=d(1-a).由于(1-a)(1-b)=1-a-b+ab=1, 所以

      d=d[(1-a)(1-b)]=[d(1-a)](1-b)=1-b

      所以 (1-b)(1-a)=1, 即vu=1, 所以R為直接有限環(huán).

      定理3R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈R, 方程ax=a+x有解時(shí), 解與a可交換.

      證明必要性是定理1的直接推論, 下面證充分性.

      設(shè)a,b∈R, 滿足ab=a+b, 則ax=a+x有解x=b. 由題設(shè)知ab=ba, 故由定理1知R為直接有限環(huán).

      引理1設(shè)a,b∈R, 方程ax=a+x有解當(dāng)且僅當(dāng)1-a右可逆.

      證明先證必要性.若ax=a+x有解, 設(shè)x=b為一個(gè)解, 則ab=a+b.

      所以(1-a)(1-b)=1-a-b-ab=1, 所以1-a右可逆.

      再證充分性. 若1-a右可逆, 則有c∈R, 使得(1-a)c=1, 記b=1-c, 則c=1-b.

      所以(1-a)(1-b)=1, 有ab=a+b, 所以x=b為ax=a+x的解.

      定理4R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈R, 1-a左可逆時(shí),ax=a+x有解.

      證明先證必要性.因?yàn)?-a左可逆, 則有c∈R, 使得c(1-a)=1.

      由于R為直接有限環(huán), 所以(1-a)c=1, 由引理1知ax=a+x有解.

      再證充分性.設(shè)a,b∈R滿足ba=1, 故b(1-(1-a))=1, 所以1-(1-a)左可逆, 由題設(shè)知(1-a)x=1-a+x有解, 設(shè)為x=c, 則

      (1-a)c=1-a+c,

      所以

      (1-a)(1-c)=-c=1-c-1

      [1-(1-a)](1-c)=1, 即a(1-c)=1.

      所以1-c=(ba)(1-c)=b(a(1-c))=b,

      所以ab=1,R為直接有限環(huán).

      定理5設(shè)a∈R, 則方程ax=a+x有冪零解當(dāng)且僅當(dāng)a為冪零元.

      證明先證必要性.設(shè)x=b為冪零解, 即存在n≥1, 使得bn=0且有

      ab=a+b

      ab2=ab+b2

      ? ?

      abn-1=abn-2+bn-1

      abn=abn-1+bn

      將上面n個(gè)等式兩邊同時(shí)相加, 得

      abn=a+b+b2+…+bn-1+bn.

      注意到bn=0, 所以有

      a=(-1-b-b2-…-bn-2),b=f(b)b,

      f(x)=-1-x-…-xn-2.

      因?yàn)閒(b)b=bf(b), 所以an=[f(b)]nbn=0, 所以a為冪零元.

      再證充分性.因?yàn)閍是冪零元, 即存在n≥1, 使得an=0, 易知1-a為右可逆元.由引理1知

      ax=a+x有解, 設(shè)x=b為解, 即有

      ab=a+b

      a2b=a2+ab

      a3b=a3+a2b

      ? ?

      an-1b=an-1+an-2b

      anb=an+an-1b

      將上面n個(gè)等式兩邊同時(shí)相加, 得

      anb=a+a2+…+an-1+an+b

      所以b=(-1-a-a2-…-an-2)a=f(a)a

      所以bn=[f(a)]nan=0, 即b為冪零元, 因此ax=a+x有冪零解x=b.

      定理6R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈R, 1-a右可逆時(shí), 方程ax=a+x有唯一解.

      證明先證必要性.由于1-a右可逆, 所以1-a可逆, 由引理1ax=a+x有解.設(shè)b,c都為解, 則ab=a+b,ac=a+c, 所以由

      (1-a)(1-b)=1; (1-a)(1-c)=1.

      得 1-b=(1-a)-1=1-c, 所以b=c, 從而可知解唯一.

      再證充分性.設(shè)ab=1, 則1-(1-a)=a右可逆.記

      1-a=c, 1-b=d,

      則cd=c+d, 所以1-c右可逆且d為方程cx=c+x的解.由題設(shè)cx=c+x有唯一解.

      c(dc-cd+d)=cdc-c2d+cd

      =(c+d)c-c(c+d)+cd=dc

      c+(dc-cd+d)=c+dc-(c+d)+d=dc

      所以dc-cd+d也為cx=c+x的解, 所以

      d=dc-cd+d,

      所以dc=cd.

      所以

      (1-b)(1-a)=dc=cd=(1-a)(1-b).

      所以ba=ab=1,R為直接有限環(huán).

      定理7R為直接有限環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈R, 方程ax=a+x有解時(shí), 方程

      x2-(ax2+x2a)+ax2a=1有解.

      證明先證必要性.假設(shè)R為直接有限環(huán)且

      ax=a+x有解, 由定理2得證.

      再證充分性.設(shè)u,v∈R, 滿足uv=1, 記

      a=1-u,b=1-v, 則(1-a)(1-b)=1, 所以

      ab=a+b, 所以ax=a+x有解x=b.由題設(shè)知方程x2-(ax2+x2a)+ax2a=1有解,

      即(1-a)x2(1-a)=1有解x=c,

      所以(1-a)c2(1-a)=1,

      所以(1-a)c2=(1-a)c2(1-a)(1-b)=1-b, 所以(1-b)(1-a)=(1-a)c2(1-a)=1,

      即vu=1, 因此R為直接有限環(huán).

      下面的推論1簡(jiǎn)化了2019年第十屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽(數(shù)學(xué)類(lèi), 三、 四年級(jí))第五大題的題設(shè).

      推論1設(shè)a,b∈R滿足ab=a+b, 若x2-(ax2+x2a)+ax2a=1有解, 則ab=ba.

      證明設(shè)x=c為x2-(ax2+x2a)+ax2a=1的解, 則(1-a)c2(1-a)=1.

      因?yàn)閍b=a+b, 則(1-a)(1-b)=1,

      所以(1-a)c2(1-a)(1-b)=1-b, 即

      (1-a)c2=1-b,

      所以(1-b)(1-a)=(1-a)c2(1-a)=1,

      所以ba=b+a=a+b=ab.

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