問題引領課堂 促進思維生長*
——以“多邊形的內角和”教學為例

?廣州開發(fā)區(qū)中學 黨小磊

1 背景介紹

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中提出：“課堂教學是全體師生共同參與、交流互動、共同成長的活動.”在教學實踐中，采用問題串的方式開展課堂教學就是教師與學生的一個互動溝通與課堂反饋的方式[1].下面以“多邊形的內角和”為例，展示筆者的課堂教學實踐與反思，供同仁研討．

2 教學過程

2.1 創(chuàng)設情境，激發(fā)探究欲望

問題1在2022年二月亞洲杯中，中國女足戰(zhàn)勝日本隊捧起了冠軍獎杯，成了中國人的驕傲.大家都知道足球表面由32個多邊形組成，一般是12塊黑色正五邊形和20塊白色正六邊形.請問正五邊形與正六邊形的內角和分別為多少？

教學說明：足球是學生非常喜歡的一項運動，也是中考體育考試選項之一.從學生最關心的問題出發(fā)，充分調動了學生探索問題的欲望.體現(xiàn)數(shù)學就在身邊的同時，設置懸念，找到知識的生長點，可以提升本節(jié)課的有效性.中國女足堪稱“鏗鏘玫瑰”，這是每一位中國人的光榮，由此在學生掌握數(shù)學知識的同時，也潛移默化地激起他們的愛國主義情感.

2.2 溫故知新，發(fā)揮引導作用

問題2(1)三角形的內角和等于多少度？

(2)正方形、長方形的內角和各是多少度？

教學說明：本環(huán)節(jié)問題是鞏固已有的相關知識，給學生小小的成功感.“三角形的內角和等于180°”，對接下來探究復雜多邊形內角和的分割方法提供了方向.問題2(2)特殊四邊形的內角和等于360°，有助于下面問題3(1)的猜想，并同時激勵著學生積極投入到一般四邊形內角和的探究中，從而在課堂教學中產(chǎn)生正面效應.

2.3 漸次展開，提出數(shù)學問題

問題3(1)猜一猜：任意四邊形(如圖1)的內角和等于多少度？

圖1

(2)你有哪些方法能夠證明你的猜測？你能找出幾種方法？

(3)對比并觀察這些分割方法有什么相同和不同？

教學說明：對于問題3，輔助線方法即連接對角線把四邊形劃分為兩個三角形，把四邊形的內角和問題轉化為兩個三角形的內角和，化未知為已知，這是學習數(shù)學的一種思想——轉化思想，筆者借助問題串達到了教學目標.問題3(1)可由正方形、長方形這兩種特殊的多邊形的內角之和猜測出任意四邊形的內角之和為360°.問題3(2)通過添加輔助線，只要把四邊形轉化為三角形，就可以求出任意四邊形的內角之和，“轉化”的數(shù)學思維方式已向學生全面滲透.教師在此引導學生通過多種分割四邊形成三角形的方式，感受解決方式的多樣化.

對于任意四邊形，可以利用以下方法分割：

(1)連接1條對角線，可以得2個三角形，如圖2，四邊形的內角和為2×180°；

(2)連接兩條對角線且在四邊形內部交于一點，得到4個三角形，如圖3，四邊形的內角和為4×180°-360°；

(3)若在四邊形內部任取一點，如圖4，也可以得到相應的結論；

(4)也可在邊上任取一個點，如圖5，四邊形的內角和為3×180°-180°；

(5)還可在四邊形的外部取一點，如圖6，四邊形的內角和為3×180°-180°.

在此，教師引導學生通過不同的輔助線，合作探尋出多種方法，體現(xiàn)了此探索活動的多樣化和開放性.問題3(3)旨在通過觀察、思考、總結添加輔線的多種方式的共性與區(qū)別，促使學生體會：只要把四邊形劃分為已經(jīng)知道內角和的圖形形狀，就可以求出其內角和.一般方法是：從一點開始，通過連接各頂點，將四邊形分割為三角形來加以解決.但這個“一點”可以是平面內的任何一點.由此突破難點，將知識上升到思維方式，將未知轉化為已有思維方式.

2.4 探索公式，深化轉化思想

問題4(1)選擇一個你最喜歡的上述分割方法，能否解決問題1中足球表面的正五角形、六邊形各自的內角和？

(2)n邊形的內角和怎樣表示呢？

(3)幾種推導多邊形內角和的方法中，你覺得哪一種辦法最佳？為什么？

(4)對于n邊形的內角和,大家得到的算式可能不同，那么得到的結果能一樣嗎？

教學說明：問題4(1)為了使學生通過增加多邊形的邊數(shù)，再一次體驗轉化的過程，從而提高學生對轉化思想的掌握程度.在正四邊形的基礎上，探討邊數(shù)為整數(shù)的正多邊形的內角和與邊數(shù)之間的聯(lián)系.問題4(2)將任意多邊形轉化為三角形的方式，有助于鍛煉學生的想象能力.而通過對多邊形內角和問題的思考，則能夠幫助學生總結出多邊形的內角和的各種表達式，從而感知數(shù)形間的聯(lián)系，進而體會從特殊到一般的邏輯推理過程.不同的方法可以得到不同的內角和公式，如(n-2)×180°，180°n-360°，180°(n-1)-180°.問題4(3)是最優(yōu)化的思維，在日常生活中也往往會遇到同一個問題同時有多種處理方式的情形，因此指導學生要“三思而后行”，選擇最優(yōu)最有利于解決問題的方式后再行動.問題4(4)通過逆用乘法分配律進行推理，促使學生感受化歸的基本思想，并通過公式的化歸過程，進一步感受數(shù)形間的聯(lián)系以及各種方法之間的聯(lián)系.

180°n-360°=180°n-2×180°=(n-2)×180°，180°(n-1)-180°=180°(n-1)-180°×1=(n-2)×180°.

2.5 運用新知，解決實際問題

問題5(1)八邊形的內角和為______.

(2)已知一種多邊形的內角和為1 980°，求這種多邊形的邊數(shù).

(3)已知一個多邊形的每個內角均為150°，求這個多邊形的邊數(shù).

教學說明：該環(huán)節(jié)引導導學生利用多邊形內角和公式解決問題，使他們體會n邊形內角和公式在何時能夠順向使用，何時逆向使用，即已知邊數(shù)求多邊形的內角和—直接使用公式，已知多邊形的內角和求邊數(shù)—逆向利用公式的方法.此環(huán)節(jié)筆者可以及時了解學生的學習效果，讓學生經(jīng)歷用知識解決問題的過程.

2.6 學以致用，回歸生活情境

問題6關于小亮的一種設想：2024年奧林匹克運動會將在法國舉行，他認為設計一種內角和是2 024°的多邊形圖案將會非常有趣，你覺得小亮的設想能做到嗎？

教學說明：多邊形的內角和公式即為(n-2)×180°，由此可知多邊形的內角之和是180°的正整數(shù)倍，顯然小亮的設想不成立.通過此環(huán)節(jié)，學生進一步了解并靈活運用多邊形的內角和公式，同時也感受到數(shù)學的趣味性以及數(shù)學與現(xiàn)實生活的密切關系.

2.7 歸納總結，形成知識體系

問題7這節(jié)課你學會了什么？這節(jié)課學習的內容對你今后的學習有何啟發(fā)？

教學說明：本環(huán)節(jié)意在指導學生總結本節(jié)課程的知識內容，把新學習的主要知識點納入新的知識體系，不斷豐富自己的知識.幫助學生發(fā)現(xiàn)自身的進步，為進一步深入掌握新知識點形成正向遷移，也為以后的學習打下基礎[2].

3 教學反思

本節(jié)教學根據(jù)多邊形的內角和情境，以問題串的方式指導學生進行探究性學習，問題指向性清晰明確.課堂既圍繞著某一問題進行，又生長了新的問題.從基礎知識層次逐步轉入能力素質層次，將整堂課程的教學環(huán)節(jié)與問題串成一線，不同環(huán)節(jié)的過渡也更加自然，從而加深了前后問題的聯(lián)系，既啟發(fā)了學生的深度思維，又使學生樂此不疲地投入到了課堂學習之中，有效地提高了學生的數(shù)學思維能力.

這節(jié)課的亮點就是整個課堂自始至終由問題貫穿，師生、生生互動也由始至終.學生在問題串的帶動下積極、踴躍、有效地學習，整節(jié)課充滿生機，實現(xiàn)了預定的教育任務,達到了預期效果.本節(jié)課讓筆者感受頗深，也讓筆者對利用問題串形式開展課堂教學有如下思考.

3.1 問題串有助于建構課堂的整體性

問題串既能較好地反映出整節(jié)課的內容，也能較完整地展示整節(jié)課的“骨架”[3].本節(jié)課從七個問題勾勒出了這節(jié)課的整體架構：問題1通過設計當下學生關心的實際情境問題，調動他們學習數(shù)學的積極性，設置懸念，引入課題；問題2在問題1的情境下，有助于激活學生現(xiàn)有的數(shù)學知識；問題3在問題2的基礎上，從特殊到一般，提出與本節(jié)課相關的問題，引導學生對新問題進行思考與猜想，通過親自動手探索多種途徑解決問題；問題4是問題3的深入研究，增加圖形的復雜性，使學生更深入地感受轉化的數(shù)學思想，進一步了解轉化的實質過程——將多邊形轉化為三角形，體會到將復雜圖形轉化為已有知識經(jīng)驗的過程，并在小組學習交流中，共同整理出復雜多邊形的內角和公式及最優(yōu)表達式，從而切身感受到學習的真諦；問題5靈活運用多邊形的內角和公式解答問題；問題6運用教學新知探討并解答生活中的具體問題，使學生對多邊形的內角和公式有深入的認識和了解，也感受到數(shù)學的魅力和簡潔美；用問題7歸納總結本節(jié)課的同時，順勢延伸學生的思維生長點，為接下來的學習做好鋪墊，也把本節(jié)課的知識內容完整地整合在一起.

3.2 問題串有助于激發(fā)學生的思維生長

本節(jié)課通過精巧的問題設計，不斷追問，引導學生勇于猜想、勇敢探索，引導他們繼續(xù)探索、擴大視野，不斷拓展思維[4].一系列問題串由淺至深、層層遞進、循序激發(fā)學生的深度思考，推動了學生的思維進程，師生之間的交流互動更是體現(xiàn)了探究的思維過程.問題3指導學生利用現(xiàn)有的知識與數(shù)學思想展開思維碰撞，生生間、小組間產(chǎn)生思想交流的火花；問題4指導學生把問題的實質從復雜的圖形中剝離開來，化繁為簡；問題5為更好地挖掘學生的數(shù)學思維能力，從公式的順向與逆向理解多方位設置練習，以化解學生在公式運用上的思想阻塞點；問題6引導學生拓展思維，直擊學生的思維深處.整節(jié)課的教學重點不是放在公式的大量練習上，而是定位在多邊形的內角和公式形成的探索過程，這是注重培養(yǎng)學生思維能力的表現(xiàn)，對學生的思維提升大有裨益，也有助于更好地促進學生的思維生長.