?阜陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 唐 劍 楊樂樂 黃如琳

隨著國內(nèi)外教育家對于核心素養(yǎng)的討論，當(dāng)今數(shù)學(xué)素養(yǎng)已經(jīng)作為現(xiàn)代高中生必備的基本素養(yǎng)，寫入了我國課程標(biāo)準(zhǔn)中.但是，人們對教學(xué)目標(biāo)的理解一直以三維目標(biāo)為統(tǒng)領(lǐng)，在素質(zhì)教育真正實(shí)施過程中遇到了許多問題，使得數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)難以有效落實(shí).一方面，三維目標(biāo)的表述籠統(tǒng)、寬泛，在實(shí)際教學(xué)中缺乏可操作性.另一方面，大部分教師在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)際教學(xué)中往往忽略了情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo).因此，“素質(zhì)教育在新課改實(shí)施了十余年中，仍然沒有取得令人滿意的結(jié)果，一大原因就是忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展”[1].而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在凝練數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)過程中對三維目標(biāo)進(jìn)行了整合，不僅有效地克服了以三維目標(biāo)為統(tǒng)領(lǐng)下教學(xué)設(shè)計(jì)存在的問題，而且為教育工作者改革和創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)指明了新的方向.

1 教學(xué)目標(biāo)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變

隨著新課改的不斷推進(jìn)，“教授學(xué)生學(xué)習(xí)方法成為共同追求的目標(biāo)，這就需要教師合理轉(zhuǎn)變自身教學(xué)觀念，注重對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)”[2].筆者認(rèn)為，教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變，會(huì)經(jīng)歷三個(gè)階段：教什么、怎么教、如何學(xué).第一階段，教師注重需要將哪些知識(shí)呈現(xiàn)給學(xué)生，以達(dá)到學(xué)生的學(xué)業(yè)要求.第二階段，教師注重知識(shí)的呈現(xiàn)方式，怎么呈現(xiàn)更有助于學(xué)生的理解掌握.第三階段，教師注重該如何促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生能力的發(fā)展.前兩個(gè)階段教師的教學(xué)目標(biāo)關(guān)注點(diǎn)為知識(shí)傳授.第三個(gè)階段教師的教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，如何有效地促進(jìn)學(xué)生能力發(fā)展，即如何形成與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)作為課程目標(biāo)，這標(biāo)志著課程發(fā)展的邏輯起點(diǎn)需要從學(xué)科內(nèi)容走向核心素養(yǎng)”[3].教學(xué)目標(biāo)的制定為教學(xué)活動(dòng)指引了方向，并指導(dǎo)著教師教學(xué)過程.“由于一切數(shù)學(xué)對象都是思維的產(chǎn)物，所以數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征”[4].因此，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下，教學(xué)目標(biāo)制定前應(yīng)注重以下七方面綜合思考：以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)為基礎(chǔ)，注重學(xué)生內(nèi)外部因素，了解數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，厘清數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，挖掘數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，展現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)目標(biāo)制定時(shí)應(yīng)注重體現(xiàn)能力培養(yǎng)的“源頭”“方式”和“結(jié)果”，即達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的源頭、方式和結(jié)果(例如：通過……，達(dá)到……).以此制定教學(xué)目標(biāo)，教師在教學(xué)過程中“尋源頭”“明方式”“達(dá)結(jié)果”，將教學(xué)目標(biāo)和整個(gè)教學(xué)活動(dòng)貫通起來.為教師最后教學(xué)反思奠定基礎(chǔ)，為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，形成適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力提供助力.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)不僅指引著教學(xué)活動(dòng)方向，而且體現(xiàn)在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)之中.筆者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合六大核心素養(yǎng)與水平劃分，以培養(yǎng)學(xué)生“能力”為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”教學(xué)案例.該節(jié)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容為一元二次不等式的概念和解法，主要形成與發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

2.1 教材分析

“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”選自人教A版必修第一冊第二章第三節(jié)，該節(jié)內(nèi)容對于高中學(xué)習(xí)至關(guān)重要.從內(nèi)容上看，它既是初中學(xué)過的一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的延續(xù)，又為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等知識(shí)奠定基礎(chǔ).因此，本節(jié)不等式的學(xué)習(xí)內(nèi)容有著承上啟下的作用.從數(shù)學(xué)思想及形成與發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)方面來看，二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的概念學(xué)習(xí)過程中蘊(yùn)含著大量的類比、轉(zhuǎn)化和化歸思想，有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展.此外，在二次函數(shù)與一元二次方程、不等式解題過程中，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)的思想，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展.

2.2 學(xué)情分析

在知識(shí)方面，該節(jié)內(nèi)容是初中一元二次方程與二次函數(shù)的延續(xù)，在本節(jié)之前剛學(xué)習(xí)了基本不等式，學(xué)生已經(jīng)具備一定的基礎(chǔ)知識(shí)，有助于本節(jié)一元二次不等式的學(xué)習(xí).在能力方面，學(xué)生已經(jīng)具備了基本的直觀想象和邏輯推理能力，有利于自主探究一元二次不等式的概念和解法.但是，由于學(xué)生在初中階段的知識(shí)主要以具體、形象的表達(dá)方式展現(xiàn)，對于剛剛邁入高中的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模能力仍處于較低水平.因此，在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言，并建立起它們之間的聯(lián)系.

2.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)通過類比“三個(gè)一次”研究“三個(gè)二次”，在學(xué)習(xí)過程中將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單容易處理的問題，以達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平一層次.

(2)通過觀察二次函數(shù)圖象，將三個(gè)“二次”建立緊密的聯(lián)系，掌握圖象求解不等式的方法，進(jìn)而應(yīng)用歸納思想方法，體會(huì)函數(shù)、方程與不等式的一般聯(lián)系，以達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平二層次、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二層次.

(3)通過引入生活中具體實(shí)例，學(xué)生能夠自主發(fā)現(xiàn)問題，并在教師的引導(dǎo)下將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象與建模，進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號表達(dá)，引入一元二次不等式概念，以達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平一層次、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二層次.

2.4 教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

(1)理解零點(diǎn)和一元二次不等式的概念，以達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平一層次.

(2)理解并掌握利用二次函數(shù)的圖象對一元二次不等式進(jìn)行求解的方法，以達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平二層次和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二層次.

教學(xué)難點(diǎn)：

(1)通過一元一次不等式類比到一元二次不等式，掌握求不等式解集的方法，以達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平一層次.

(2)理解“三個(gè)二次”的關(guān)系.

2.5 教學(xué)過程

2.5.1 回顧舊知，引入新知

師：大家還記得，怎樣求二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)嗎？(通過PPT展示二次函數(shù)與x軸有交點(diǎn)的圖象.)

生：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，解出x1,x2，即為二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

師：零點(diǎn)的概念：

一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).

師：二次函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)一元二次方程的實(shí)根有何關(guān)系？

生：函數(shù)零點(diǎn)情況和方程實(shí)根情況是相同的.

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)先行組織者策略，以學(xué)生已有知識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行導(dǎo)入.通過探究二次函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生將求解二次函數(shù)零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為求解一元二次方程實(shí)根的問題，體會(huì)二次函數(shù)與一元二次方程是緊密相關(guān)的，以此培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

2.5.2 引入實(shí)例，講授新課

例楊老師現(xiàn)有24 m長的圍欄，要想圍成一個(gè)面積大于20 m2的矩形區(qū)域，求這個(gè)矩形一條邊長的取值范圍.

(進(jìn)行小組討論并分享討論結(jié)果.)

師：(板書)設(shè)矩形一條邊長為xm，則另一條邊長為(12-x) m.由題意，得

(12-x)x>20，x∈{x|0

整理,得x2-12x+20<0,x∈{x|0

引導(dǎo)學(xué)生觀察該不等式，發(fā)現(xiàn)該不等式未知數(shù)個(gè)數(shù)和最高次數(shù)的特點(diǎn)，并通過這個(gè)不等式，類比一元一次不等式的概念和形式，推出一元二次不等式的形式和概念.

生：一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式，稱為一元一次不等式.一般形式為

ax+b>0或ax+b<0，

其中a,b均為常數(shù)，a≠0.

一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.一般形式為

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,

其中a，b，c均為常數(shù),a≠0.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過合作探討，在教師的引導(dǎo)下對例題進(jìn)行抽象和建模，將生活問題數(shù)學(xué)化，體會(huì)數(shù)學(xué)問題的價(jià)值，以此達(dá)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二層次.隨后學(xué)生觀察所列式子，并選擇相似對象，通過類比，自主探討一元二次不等式的概念，并將概念抽象成數(shù)學(xué)符號形式，以此提高邏輯推理能力，并達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平一層次.

2.5.3 類比聯(lián)系，探究解法

組織學(xué)生類比一元一次不等式的求解方法，探討一元二次不等式求解方法.

(1)以一元一次不等式2x+2<0為例, 如表1所示.

表1 2x+2<0的解集分析

(2)以一元二次不等式x2-12x+20<0為例，如表2所示.

表2 x2-12x+20<0的解集分析

由于{x|2

設(shè)計(jì)意圖：一方面，通過類比一元一次不等式的求解方法，學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)一元二次方程的實(shí)根、二次函數(shù)圖象與一元二次不等式解集的關(guān)系(即三個(gè)二次的關(guān)系).在這個(gè)過程中，從三個(gè)“一次”類比到三個(gè)“二次”，促進(jìn)學(xué)生達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平一層次和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平二層次.另一方面，在整個(gè)解題過程中運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想，不僅發(fā)現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式有著各自的體系，而且同種類型的函數(shù)、方程、不等式也有緊密的聯(lián)系.進(jìn)而感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)數(shù)學(xué)有著完整而又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系!促進(jìn)學(xué)生達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平二層次.

2.5.4 鞏固新知，隨堂練習(xí)

解下列不等式：

(1)x2-5x+6>0；(2)-x2+2x+3<0.

2.5.5 集思廣益，課堂小結(jié)

學(xué)生通過閱讀教材和回顧解題過程，歸納出一元二次不等式的一般解法：

(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為a>0形式，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)，函數(shù)圖象開口向上.

(2)解一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ≥0時(shí)，求得一元二次方程的實(shí)根，即二次函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直接進(jìn)入下一步.

(3)結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象，寫出不等式的解集.

設(shè)計(jì)意圖：歸納一元二次不等式的一般解法，有助于學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想方法，幫助學(xué)生厘清所學(xué)知識(shí)的層次結(jié)構(gòu)，構(gòu)建知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展.

2.6 教學(xué)設(shè)計(jì)反思

2.6.1 引入二次函數(shù)零點(diǎn)環(huán)節(jié)

二次函數(shù)與一元二次方程是初中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，會(huì)出現(xiàn)學(xué)生對于原有知識(shí)掌握不牢的情況，但是函數(shù)零點(diǎn)的概念是建立“三個(gè)二次”關(guān)系的基礎(chǔ).因此怎樣引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊知識(shí)的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生有效地學(xué)習(xí)，對本節(jié)教學(xué)至關(guān)重要.教師在借助一元二次方程的實(shí)根引入二次函數(shù)零點(diǎn)概念時(shí)，可以先復(fù)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，多舉幾個(gè)實(shí)例，歸納出一般結(jié)論.促進(jìn)學(xué)生直觀地理解二次函數(shù)零點(diǎn)與一元二次方程實(shí)根的關(guān)系，有利于學(xué)生理解新知，促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)提高.

2.6.2 探究一元二次不等式解法環(huán)節(jié)

通過類比具體一元一次不等式探究具體的一元二次不等式的解法，雖然在整個(gè)過程中借助函數(shù)圖象能夠直觀地展示求解過程，有助于學(xué)生理解，但是這樣的求解過程缺乏一般性，僅僅展示了一種情況(函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn))的求解過程.教師可以追問：如果函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)或者沒有零點(diǎn)，一元二次不等式的解集又會(huì)是什么情況呢？通過教師的追問，打開了學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出更一般性的一元二次不等式的求解方法，幫助學(xué)生建立更完整的知識(shí)體系，有助于促進(jìn)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展.

2.6.3 探究“三個(gè)二次”的關(guān)系過程

由于本節(jié)教學(xué)需要兩個(gè)課時(shí)，學(xué)生在第一節(jié)課學(xué)完以后，到第二節(jié)歸納“三個(gè)二次”的關(guān)系時(shí)，難免會(huì)忘記或者忽略上節(jié)課的部分內(nèi)容.因此，教師可以在兩節(jié)課學(xué)習(xí)的過程中設(shè)置表格(如表3所示).每完成一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，便填寫一部分，到本節(jié)結(jié)束時(shí)，完成該表格，使兩節(jié)課融會(huì)貫通，讓學(xué)生深刻理解“三個(gè)二次”的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)的提高.

表3 “三個(gè)二次”的聯(lián)系