江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 韓 艷

1 引言

每年全國各地中考試卷多達(dá)幾百份，而北京市中考試卷有著鮮明的首都風(fēng)格.比如，重視“雙基”，關(guān)注能力，善于創(chuàng)新，而且試題大氣、新穎，沒有偏題、怪題或者網(wǎng)絡(luò)上流行的幾何技巧、“大法”能夠快速解決的“模型題”．筆者認(rèn)真研習(xí)了2021年北京中考數(shù)學(xué)試卷，對該卷中的幾何題有了一些初步思考和研題體會(huì)，梳理成文，與各為同仁研討.

2 2021年北京中考幾何題解讀

題1如圖1，PA，PB與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)．若∠APB=50°，則∠AOB的度數(shù)為.

圖1

解讀：這個(gè)圖形取材于教材中切線長定理的基本圖形，該題屬于考查“雙基”的測試題．引導(dǎo)師生備考時(shí)重視教材上重要定理的基本圖形，不需大量刷題就能掌握這類基礎(chǔ)問題.

題2如圖2，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，且AF=EC．添加一個(gè)條件(寫出一個(gè)即可)即可證明四邊形AECF是菱形.

圖2

解讀：本題的圖形也源于教材，以矩形為問題背景，讓學(xué)生添加條件，使得平行四邊形AECF強(qiáng)化為菱形.這是一個(gè)開放式問題，需要考生熟悉菱形的不同判定方法(需要先確認(rèn)四邊形AECF為平行四邊形)，然后就可添加不同的條件.

圖3

解讀：這道題綜合了平行四邊形的性質(zhì)、“3，4，5”直角三角形、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，容易獲得思路，關(guān)鍵是幾何語句的規(guī)范表達(dá).

題4如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．連接BO并延長，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE=3，求GC和OF的長.

圖4

解讀：前面幾道幾何題都不需要添加輔助線即可解決問題，從本題開始，所給圖形中的線段并不完整，需要結(jié)合題意補(bǔ)出圖形(如圖5)并求解(求解時(shí)，并不需要另外構(gòu)造輔助線).作為圓的一道小綜合題，涉及垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，屬于一道中檔題.

圖5

題5如圖6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE，DE．過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖6

解讀：這是處于全卷倒數(shù)第二題的位置的幾何綜合題，是承載著選拔功能的一道大題．原題共兩小問，第(1)問比較簡單；限于篇幅，這里僅摘引了第(2)問，畫出草圖之后，容易猜想(直觀看出)：點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)．結(jié)合等腰三角形ADE的“三線合一”性質(zhì)，解題的關(guān)鍵可轉(zhuǎn)化為“證AN是△ADE的高”，結(jié)合圖7，可證出∠AMN=∠ADN，從而確認(rèn)A，D，M，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，于是問題獲得重要進(jìn)展∠AND=∠AMD=90°.

圖7

此外，如圖8、圖9所示的構(gòu)造輔助線也可以解決問題，限于篇幅，這里不再給出思路說明.

圖8

圖9

3 北京中考幾何題的教學(xué)導(dǎo)向之思

3.1 重視課本例題、習(xí)題的教學(xué)功能

由于網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、信息化的普及，每年全國各地幾百份中考試卷及各地“名?！蹦？碱}往往在考試之后快速得到傳播.一些搜題網(wǎng)站、APP及各類復(fù)習(xí)備考的教輔資料中，大量選用來自全國各地的這些考題，使得教材被“邊緣化”.常常看到學(xué)生的教材基本不用，上課時(shí)只使用“集體備課”后的學(xué)案(習(xí)題集)，這種現(xiàn)象并不在少數(shù)，值得我們思考．從北京卷幾何題的命題風(fēng)格可以看出，北京中考幾何題并沒有那些偏題、怪題，也沒有網(wǎng)傳的很多模型或需要較高構(gòu)造技巧的最值問題，這給我們帶來的教學(xué)導(dǎo)向就是，要重視課本例題、習(xí)題的教學(xué)，不論是新授課還是復(fù)習(xí)課，都要扎實(shí)做好教材上例題、習(xí)題的教學(xué)與研究.

3.2 圍繞經(jīng)典圖形問題教深教透

深度教學(xué)是近年來很多專家倡導(dǎo)的教學(xué)追求．比如，南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授認(rèn)為深度教學(xué)要追求教學(xué)內(nèi)容的深度、廣度和貫通度．具體到解題教學(xué)，就是要努力讓學(xué)生做一題，會(huì)一類，通一片[1]．從北京卷出現(xiàn)的以上幾何圖形來看，全部都是經(jīng)典圖形，即不管教材幾經(jīng)修訂，這些經(jīng)典圖形幾十年來始終出現(xiàn)在課本中，我們在教學(xué)中要十分重視它們的教學(xué)價(jià)值，教師本人不能誤認(rèn)為自己太熟悉了，沒有什么可講的，就帶領(lǐng)學(xué)生“一閃而過”，接著刷大量的所謂變式題、同類題．學(xué)生對一些經(jīng)典圖形的“標(biāo)準(zhǔn)問題”還沒能深刻理解，就急于變式、刷題，往往事倍功半．順便提及，《中學(xué)數(shù)學(xué)》(初中版)近年來刊發(fā)了不少圍繞經(jīng)典圖形問題研發(fā)的“一圖一課”課例文獻(xiàn)，也是將經(jīng)典問題教深教透的積極實(shí)踐，值得我們學(xué)習(xí)和踐行[2].

3.3 解后回顧、揭示深層結(jié)構(gòu)

針對經(jīng)典圖形的深度教學(xué)需要有解后回顧反思的環(huán)節(jié)，這是波利亞解題理論的重要環(huán)節(jié)．根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在一個(gè)典型問題教學(xué)設(shè)計(jì)中，能否預(yù)設(shè)有效的解后小結(jié)往往能鑒別初任教師和專家教師的解題教學(xué)的專業(yè)基本功[3]．就本文中關(guān)注的經(jīng)典圖形問題來說，解題教學(xué)不只是關(guān)注一題多解，更重要的是思考“多解歸一”，并善于幫助學(xué)生揭示問題的“深層結(jié)構(gòu)”.比如，上文題5講評(píng)之后，要讓學(xué)生多看幾眼圖7，并想清辨明圖7是如何畫圖、漸次生成的，能否由這幅圖出發(fā)，寫出它的題設(shè)或條件，然后證出哪些結(jié)論，這些結(jié)論中哪些是“等價(jià)”結(jié)論(可以快速“成果擴(kuò)大”得出).

3.4 解題教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題

涂榮豹教授指出：數(shù)學(xué)解題教學(xué)的任務(wù)，實(shí)際上是要教學(xué)生“學(xué)解題”[4]．所謂“學(xué)解題”，就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考如何解題，而不只是滿足于獲得某一道具體例題、習(xí)題的解法或答案．這就要求我們精選好的問題、經(jīng)典圖形問題，從習(xí)題教學(xué)走向問題驅(qū)動(dòng)，“拉長”學(xué)程，讓學(xué)生對某類經(jīng)典問題的求解從“快思”走向“慢想”.只有平時(shí)對某一經(jīng)典問題“長時(shí)間思考”，獲得這類問題的深刻理解，學(xué)生將來在考場上再遇到這類問題或同類問題時(shí)，才能用較短時(shí)間識(shí)別或看清問題本質(zhì)，快速轉(zhuǎn)化為自己熟悉的“等價(jià)問題”，從而獲得思路的貫通.

4 寫在后面

中考命題是以國家課程標(biāo)準(zhǔn)為命題原則，追求試題育人，指向課堂，回歸教材，特別是注重從教材中挖掘和選用背景材料，讓重視教材的師生“沾光”，讓過度選用課外資料大量刷題的師生事倍功半．從這個(gè)角度看，本文關(guān)注的北京卷的幾何題基本達(dá)到了上述要求，值得我們深入研習(xí).對于很多承擔(dān)著區(qū)域命題任務(wù)的老師來說，是不是也應(yīng)該以北京卷作為一面鏡子，“照照”自己命制的試卷，看看我們的命題方向、命題立意是否合適，是否出現(xiàn)了“喜好偏向”呢？