數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在“轉(zhuǎn)換”中邁向深度

史息良 劉玉琴 王留芳

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的觀照下，我們的教學(xué)不應(yīng)只是簡單地按照教材編排，把靜躺在書本上的知識點一成不變地傳遞到學(xué)生的頭腦里儲存起來，讓學(xué)生成為接受知識的“容器”。而是要以教材為載體，在教學(xué)知識的同時，更關(guān)注知識的深層次問題（比如知識性子、思想、方法、作用等），把外在于學(xué)生的、和學(xué)生沒有關(guān)系的知識，在教學(xué)中轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動活動的對象，從而與學(xué)生建立起意義關(guān)聯(lián)，并通過學(xué)生個體的主動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成學(xué)生成長養(yǎng)分，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。因此，在教學(xué)中，教師要會準(zhǔn)確地把握教學(xué)節(jié)奏，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適時的“轉(zhuǎn)換”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步邁向“深度”，讓教學(xué)更富含“育人”的課程意義。

一、在“法”與“理”的轉(zhuǎn)換中邁向抽象

張景中院士認(rèn)為“運(yùn)算是具體的推理，推理是抽象的計算?！边\(yùn)算的本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)思維能力或者推理思想，但是運(yùn)算如果不講算理，只講算法，或者學(xué)生不懂算理，只會算法，學(xué)生就只會照葫蘆畫瓢，模仿著計算。那么這種運(yùn)算就不是推理，也不是真正的數(shù)學(xué)，而只是淺層次的算術(shù)。如果學(xué)生慢慢學(xué)會用抽象和推理的思想方法理解算理，學(xué)會說理，就慢慢學(xué)會了思考。正因此，計算教學(xué)的價值取向，不僅僅是為了運(yùn)算的正確與熟練，更重要的是讓學(xué)生體會領(lǐng)悟運(yùn)算中的原理、推理的思想方法、邏輯關(guān)系、規(guī)定算法的合理性以及計算的應(yīng)用。

如，教學(xué)“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”時，學(xué)生開始學(xué)習(xí)“整十?dāng)?shù)、幾百幾十除以整十?dāng)?shù)的口算”，并以“60÷20=？”為例題引入。學(xué)生通常會有兩種方法口算出結(jié)果。第一種是想乘法算除法：因為20×3=60，所以60÷20=3，這運(yùn)用了乘除法之間的互逆關(guān)系來運(yùn)算的。第二種是利用表內(nèi)除法：因為6÷2=3，所以60÷20=3。但當(dāng)問起“計算60÷20，為什么可以想6÷2”，學(xué)生都不能回答出真正的所以然。其實第二種算法是根據(jù)十進(jìn)位值制計數(shù)原則，掌握以分“計數(shù)單位”的方式將其轉(zhuǎn)化成表內(nèi)除法的計算方法，思路更簡捷、明了，是教材提倡的主要算法。因此，多“花費”一點時間，選擇適合學(xué)生理解和接受的認(rèn)知方式和途徑，在教學(xué)中“插入”一段“認(rèn)理”環(huán)節(jié)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和推理能力的培養(yǎng)是十分有價值的。

第一步：具體感知。

呈現(xiàn)如下數(shù)學(xué)情境：每20副陸戰(zhàn)棋打一包，60副要打幾包？（并配圖1）

學(xué)生會出現(xiàn)兩種算式：

（1）60÷20=3，即60副陸戰(zhàn)棋，每20副打一包，可以打3包，數(shù)學(xué)理解就是60個1（即是60），每20個1（即是20）圈作一份，可以圈成這樣的3份。

（2）6÷2=3，學(xué)生這樣解釋：6扎陸戰(zhàn)棋，每2扎打成1包，可以打3包。這里的1扎就是10副，數(shù)學(xué)理解就是：6個十，每2個十圈作一份，可以平均分成3份。

經(jīng)過再次比較，引領(lǐng)學(xué)生感悟到在圖1情境中，60÷20=3，是以“一”為計數(shù)單位來思考進(jìn)行計算，而6÷2=3是以“十”為計數(shù)單位來思考進(jìn)行計算。

第二步：逐步抽象。

將上面圖1先動畫演變成圖2，再呈現(xiàn)圖3。

學(xué)生交流后明晰：1個圓可以表示1，也可以把1個圓想象成10，6個圓就表示60。接著呈現(xiàn)圖4：

第三步：抽象建模。

學(xué)生做出了進(jìn)一步推理：600÷200，6000÷2000，……，最終理解分別以“一”“十”“百”“千”……為單位分，都是6個單位，每2個單位一份，分成3份，都可以想6÷2=3。

從上面的教學(xué)過程來看，學(xué)生的學(xué)習(xí)由特例對象到一類對象，思考經(jīng)歷特殊到一般化的推理過程，以算理為基礎(chǔ)，逐步歸納抽象為法則，將法則和算理貫通，由具體形象思維逐步走向抽象思維。

二、在“對”與“錯”的轉(zhuǎn)換中邁向深刻

美國著名發(fā)展心理學(xué)家蓋耶有句名言：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學(xué)習(xí)時刻?！苯虒W(xué)名師華應(yīng)龍自稱“化錯人”，他認(rèn)為：“化錯，才是真正的學(xué)習(xí)?！睂W(xué)習(xí)正是一種通過反復(fù)思考招致錯誤的緣由、逐漸消除錯誤的過程。

特別是在新教師的課堂中，他們往往只注意強(qiáng)調(diào)展示學(xué)生解題正確的一面。又因為他們對學(xué)情的不了解，總是會忽視學(xué)困生會發(fā)生具有共性錯誤的地方。

如，在“三位數(shù)除以整十?dāng)?shù)”的教學(xué)中，教師總是喜歡只請好學(xué)生上黑板演示豎式計算的過程，而忽視了豎式書寫過程中的“對位”問題以及“漏寫”問題，如下面這些情況：

課堂上如果能在展示“正確”的同時，有意暴露學(xué)生的這些錯誤及其思考過程，組織學(xué)生經(jīng)歷找錯、糾（說）錯、改錯的過程，學(xué)生將會對計算法則的掌握更牢固，理解更深刻。這其實也是教師課堂教學(xué)的“底線思維”，將“補(bǔ)差轉(zhuǎn)差”工作真正落實到課堂上的一種十分有效的方法。

三、在“式”與“事”的轉(zhuǎn)換中邁向理解

數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的普通常識。由于小學(xué)生的思維處于具體形象思維到抽象思維的過渡階段，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)是“兒童的數(shù)學(xué)”，兒童對數(shù)學(xué)知識的理解、學(xué)習(xí)與掌握，大多是基于對生活實際問題的理解把握與解決之上的?？梢哉f生活中的“情境故事”是他們數(shù)學(xué)理解的“支點”與“腳手架”。

如，在教學(xué)減法的性質(zhì)“一個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)等于這個數(shù)減去后兩個減數(shù)的和”，即a-b-c=a-（b+c）時，有老師結(jié)合生活中建房時建筑工人“拋磚”的勞動情境幫助學(xué)生理解感悟其中道理：從地上的一堆方磚中拿兩塊拋向二樓的工人（有工人在二樓接磚），力氣小點的工人可以把這兩塊磚分兩次一塊一塊向上拋，力氣大點的工人也可以把要拋的兩塊磚合在一起一下子拋向二樓，前者的拋法相當(dāng)于a-b-c，后者的拋法相當(dāng)于a-（b+c），但兩種拋法只是方式不一樣，結(jié)果是一樣的。后來學(xué)生們把這種方法總結(jié)為“拋磚法”。

實踐證明，結(jié)合這樣的說理，學(xué)生對減法的性質(zhì)的理解非常深刻，計算技能的掌握也非常牢固。其實，翻開小學(xué)數(shù)學(xué)課本，我們會發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)就是結(jié)合生活情境故事來教學(xué)的。

四、在“點”與“面”的轉(zhuǎn)換中邁向建構(gòu)

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要幫助學(xué)生能超出各個具體內(nèi)容，建立整體性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識?！奔凑J(rèn)識必須由局部過渡到整體，切實避免“只見樹木不見森林”的毛病，實現(xiàn)知識的統(tǒng)整與數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力的提升，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識的自主建構(gòu)，走向深度學(xué)習(xí)。

如，教學(xué)完“多邊形的面積”后，教師通常會對多邊形的面積進(jìn)行全面復(fù)習(xí)，但好多老師又往往會停留在鞏固各個圖形面積的計算、應(yīng)用以及通過梳理各個圖形面積計算公式的推導(dǎo)過程，來建立圖形之間的聯(lián)系，形成知識學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)圖。

但筆者認(rèn)為，這還只是相當(dāng)于回顧梳理了學(xué)生的“學(xué)習(xí)過程”，鞏固了“知識點”，還沒有達(dá)到鄭毓信教授所說的“能超越知識學(xué)習(xí)有更大的收獲”。教師如果能運(yùn)用信息技術(shù)手段動畫演示，引導(dǎo)學(xué)生從“變化發(fā)展”的角度，運(yùn)用觀察和比較、分析和聯(lián)想、歸納和概括等數(shù)學(xué)思維方法，去發(fā)現(xiàn)各圖形演變之間的聯(lián)系，從而更進(jìn)一步地深入思考和感悟各圖形面積計算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)的一致性。

五、在“繁”與“簡”的轉(zhuǎn)換中邁向優(yōu)化

從“結(jié)繩計數(shù)”，發(fā)展到用“書契”記事，符號、數(shù)字示數(shù)，不但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡約和抽象之美的魅力，更表現(xiàn)了人類最高超的智力成就。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對困難復(fù)雜問題的思考也正是經(jīng)歷從難到易的過程，對問題的回答經(jīng)歷著從繁到簡的表達(dá)過程，在橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的過程中達(dá)成解決數(shù)學(xué)問題的優(yōu)化。

如，在學(xué)習(xí)“簡單的周期”中，學(xué)生先經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)了盆花排列的特點，并用語言描述“盆花每3盆為一組，每組按藍(lán)花、黃花、紅花的順序排列”，接下來回答“按盆花的排列規(guī)律，第19盆花是什么顏色的花？”由于是第一次嘗試解答這樣的問題，對問題的回答出現(xiàn)了多種表達(dá)方法：

從學(xué)生回答問題不同的表達(dá)形式來看，學(xué)生的思維進(jìn)階有著明顯的區(qū)別，處于不同的思維水平。方法一有“按圖索驥”味道，是用數(shù)數(shù)的方法尋找問題的答案;方法二和方法三是學(xué)生用文字或圖形表示不同顏色的花，并用圓圈三盆一圈，已經(jīng)蘊(yùn)含了分組的思想方法;方法四是學(xué)生根據(jù)每組中不同顏色的花的排列位置，用數(shù)字來表示，比方法二和三的抽象性更進(jìn)了一步。但，雖然說方法二、三、四比方法一在思考上有所進(jìn)階，但沒走出“數(shù)數(shù)”的低階思維。當(dāng)然，這里并不是說前面的幾種方法沒有價值意義，它們也是學(xué)生積極思考的結(jié)果，需要鼓勵和表揚(yáng)。同時，教師如果處理得當(dāng)，這些方法，特別是方法二、三、四可以作為方法五的表征依據(jù)，找出解決問題的思路，總結(jié)歸納出不同表達(dá)方式之間的內(nèi)在一致性：每3盆花為一組，19盆花可以分成6組，第19盆花就排在第7組的第1個，因為每組中三種顏色的盆花排列的順序是一樣的，所以第7組的第1盆花也就是第19盆花，是藍(lán)色的，方法五中的余數(shù)，就對應(yīng)每組中藍(lán)花所在的位置。

這樣，學(xué)生對方法五的理解和認(rèn)同也就水到渠成，學(xué)生也肯定能感受到用除法計算是最好、最優(yōu)、最省事的方法。