“整式乘法與因式分解”的生活應用

文／徐鈺倩

學習了“整式乘法與因式分解”一章，我們就可以立足于本章知識，在實際生產(chǎn)、生活中加以應用，將學到的數(shù)學思想、知識技能和方法運用到現(xiàn)實生活中。

例1每學期開始的時候，一些同學要為新書包上書皮。現(xiàn)有一本數(shù)學教材，如圖1，其長為26cm、寬為18.5cm、厚為1cm。用一張長方形紙包這本數(shù)學教材，需要將封面和封底各邊各折進去一部分。封皮的平面展開圖如圖2所示。

圖1

圖2

假設(shè)封面和封底各邊各折進去xcm比較合適，那么，當各邊多折進去1cm時，包書紙面積要增加多少cm2？

【分析】要解決這個問題，就要把包書紙面積用含x的代數(shù)式表示出來，然后將x替換為x+1，再作差計算。

解：包書紙的面積是（18.5×2+1+2x）（26+2x）=（38+2x）（26+2x）=4x2+128x+988，

多折進去1cm時，包書紙的面積是4（x+1）2+128（x+1）+988，

作差，得8x+132，即包書紙面積要增加（8x+132）cm2。

用數(shù)學的眼光來看這個問題，就是多項式乘多項式和整式減法的運用。用數(shù)學語言計算出來的結(jié)果是帶有一般意義的量，揭示了一般規(guī)律，即和前一次折進去的xcm相比，再多折1cm，包書紙的面積就要增加（8x+132）cm2。

例2某工廠需要建造一個模型，在半徑為R的圓形鋼板上，除去半徑為r的四個小圓。當R=7.8cm，r=1.1cm時，剩余部分的面積是多少？（四個小圓各不相交，結(jié)果保留π。）

【分析】剩余部分的面積等于大圓的面積減四個小圓的面積。如果直接計算，由于涉及平方運算，比較煩瑣，我們不妨先列出算式，再觀察，最后通過因式分解使運算變簡便。

解：剩余部分的面積=7.82π-1.12×4π=7.82π-1.12×22π=（7.82-2.22）π=（7.8+2.2）×（7.8-2.2）π=10×5.6π=56π（cm2）。

我們用數(shù)學的眼光觀察算式，就會根據(jù)算式特征自然聯(lián)想到平方差公式，再用因式分解的思維進行操作，就會使運算變得簡單。