張青云

摘? 要：初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，是對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)和整體把握. 在數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)過程中，調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)前初中學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解程度不高，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)、定理的推導(dǎo)與證明水平不高，對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系的理解和掌握不夠理想. 提出三項(xiàng)教學(xué)建議，即以SOLO分類評(píng)價(jià)構(gòu)建數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的目標(biāo)層級(jí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的過程教學(xué)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)原理關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體教學(xué)，并提出了數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的實(shí)施路徑.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)原理;深度學(xué)習(xí);SOLO分類

一、問題提出

根據(jù)深度學(xué)習(xí)教學(xué)改進(jìn)項(xiàng)目組對(duì)深度學(xué)習(xí)的界定，在由劉曉玫主編的《深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南·初中數(shù)學(xué)）》一書中，對(duì)初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵做了這樣的界定：初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)就是在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心地積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生開展以從具體到抽象、運(yùn)算與推理、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析和問題解決等為重點(diǎn)的思維活動(dòng)，獲得數(shù)學(xué)核心知識(shí)，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和思想方法，提高思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，形成積極的情感、態(tài)度和正確的價(jià)值觀，逐步成為既具有獨(dú)立性、批判性、創(chuàng)造性，又具有合作精神的學(xué)習(xí)者. 在數(shù)學(xué)知識(shí)分類中，通常把公理、定理、法則、公式、數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)等統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)原理. 初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心之一，也是初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的重要主題材料. 在當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們的學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的效果到底如何？是否體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生？為此，我們展開了一項(xiàng)針對(duì)初中學(xué)生數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況的調(diào)查研究.

二、研究方法

1. 調(diào)查目的

了解初中學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)課程中常見的三類數(shù)學(xué)原理（即法則、性質(zhì)、定理）的理解和掌握水平.

2. 調(diào)查方法

調(diào)查采用問卷方式進(jìn)行，通過文獻(xiàn)梳理學(xué)習(xí)，自編“初中學(xué)生數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況的調(diào)查問卷”，在2020年7月上旬學(xué)年即將結(jié)束之際，向工作室學(xué)員所在學(xué)校的學(xué)生發(fā)放問卷，要求在30分鐘內(nèi)閉卷回答，回收到初中三個(gè)年級(jí)學(xué)生的有效答卷400份. 其中，七年級(jí)、八年級(jí)各100份，九年級(jí)200份.

3. 數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況的評(píng)價(jià)維度

根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)，我們將數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)狀況的評(píng)價(jià)維度確定在數(shù)學(xué)原理的重述、數(shù)學(xué)原理的多重表征、數(shù)學(xué)原理的推導(dǎo)與證明、數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用和數(shù)學(xué)原理的關(guān)聯(lián)五個(gè)方面，并與調(diào)查問卷的各問題對(duì)應(yīng)起來(lái)，具體如表1所示.

三、結(jié)果與分析

1. 運(yùn)算法則的理解程度不高

調(diào)查結(jié)果顯示，初中學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解和掌握程度并不樂觀. 對(duì)問卷所給的簡(jiǎn)單的數(shù)式運(yùn)算、解方程等，大多數(shù)學(xué)生都能正確算出結(jié)果，但不懂算理的現(xiàn)象卻相當(dāng)普遍. 由表2可以看出，有95.75%的學(xué)生對(duì)合并同類項(xiàng)的依據(jù)表述錯(cuò)誤或不知道如何表述;有17.25%的學(xué)生對(duì)解一元一次方程的步驟表述不正確;更有75.25%的學(xué)生對(duì)解方程的依據(jù)表述不正確或不知道如何表述.

在回答第2題“計(jì)算：[-2x+5x-6x=]? ? ?，運(yùn)算的依據(jù)是? ? ?”時(shí)，所有的學(xué)生都能運(yùn)算正確，但對(duì)運(yùn)算依據(jù)的理解極不到位. 多數(shù)學(xué)生填寫“合并同類項(xiàng)”，把內(nèi)容名稱與運(yùn)算依據(jù)混為一談. 有的學(xué)生就是表述具體的操作過程，如“-2x + 5x = 3x，3x - 6x = -3x”“先把兩個(gè)負(fù)數(shù)加起來(lái)，再與正數(shù)相加”“x都是相同的數(shù)，拿出來(lái)后，即（-2 + 5 - 6）x，最后得出結(jié)果”“未知數(shù)不管，數(shù)字之間加減”. 也有一部分學(xué)生表述張冠李戴，如“化簡(jiǎn)求值”“提取公因式”. 還有的學(xué)生可能從來(lái)都沒有想過這樣的問題，如回答“不知道怎么說(shuō)”.

在說(shuō)明第3題“解方程[x+13=x2]時(shí)，要有哪些步驟？解方程的依據(jù)是什么？”時(shí)，解方程步驟表述完全正確的只有45.25%，七年級(jí)學(xué)生可能因?yàn)閷W(xué)習(xí)時(shí)間更近，比例稍大，占56%，約有37.5%的學(xué)生只是部分知道，但并不完全正確，如“去分母、解方程”“同時(shí)乘6，再合并同類項(xiàng)”“移項(xiàng)、變號(hào)、系數(shù)化為1”“交叉相乘，化簡(jiǎn)、計(jì)算”，答案中均有瑕疵. 有的學(xué)生表述為此方程的具體過程，如“2（x + 1） = 3x，2x + 2 = 3x，x = 2”. 而對(duì)于解方程的依據(jù)，僅有24.75%的學(xué)生表述正確為“等式性質(zhì)”，更多學(xué)生是留空或以自己的語(yǔ)言進(jìn)行表述，如“等號(hào)兩邊值相等”. 這表明他們數(shù)學(xué)原理的表征、應(yīng)用水平都很不足，許多知識(shí)是呈碎片化的狀態(tài)，從而使得他們的運(yùn)算能力與理想中的初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的要求相差甚遠(yuǎn).

值得思考的是第1題“計(jì)算：-5 + （+2） =? ? ? ，并舉一生活實(shí)例，以說(shuō)明其合理性”. 試題本是一道情境開放型問題，但學(xué)生呈現(xiàn)的精彩實(shí)例并不多，絕大多數(shù)學(xué)生所舉實(shí)例都跟費(fèi)用、金額有關(guān)，如“我欠了別人5元錢，還了2元，現(xiàn)在還欠別人3元”“買菜，給別人5元，別人找回2元，你花了3元”等. 一方面，反映了商品經(jīng)濟(jì)社會(huì)對(duì)學(xué)生的潛在影響;另一方面，反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野比較單一，思維不夠開闊，“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”的思維習(xí)慣沒有養(yǎng)成，數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用水平較低.

2. 對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)、定理的推導(dǎo)與證明水平不高

不等式的性質(zhì)是七年級(jí)下學(xué)期的學(xué)習(xí)內(nèi)容. 教材上是通過類比等式的性質(zhì)，以計(jì)算和比較的方式，從具體到抽象、從特殊到一般歸納推理，得到三條性質(zhì). 三角形內(nèi)角和定理和勾股定理作為幾何圖形性質(zhì)的兩大基石，其重要性不言而喻. 三角形內(nèi)角和更是學(xué)生在小學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)，在初中的定理推導(dǎo)證明中，也會(huì)使用多種證法進(jìn)行證明. 但表3的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，有63.75%的學(xué)生并不能正確表述出不等式的任何一條性質(zhì)，如有的學(xué)生回答成不等式的概念，有的學(xué)生的回答文字表述不清、不全，而采用符號(hào)語(yǔ)言表述的就更少. 有87.75%的學(xué)生不能夠清楚地表述其來(lái)源，多數(shù)學(xué)生留空或亂寫一通，如“聽老師講課”“書上，老師都有教”“老師說(shuō)的，不曉得”. 對(duì)于三角形內(nèi)角和定理的證明同樣也不容樂觀，有61.5%的學(xué)生不能正確證明或推理錯(cuò)誤.

典型的錯(cuò)誤推理有以下三類.

錯(cuò)證1：如圖1，作AD⊥BC于點(diǎn)D，

因?yàn)椤螦DC = ∠2 + ∠B，∠ADB = ∠1 + ∠C，

所以∠ADC + ∠ADB = ∠B + ∠1 + ∠2 + ∠C = 180°.

所以∠B + ∠BAC + ∠C = 180°.

錯(cuò)證2：如圖2，延長(zhǎng)BC，

因?yàn)椤? = ∠A + ∠B，∠1 + ∠ACB = 180°，

所以∠1 + ∠ACB = ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°.

所以∠B + ∠A + ∠ACB = 180°.

錯(cuò)證3：如圖3，延長(zhǎng)BC，CA，AB，

因?yàn)椤? = ∠BAC + ∠ABC，∠2 = ∠ABC + ∠BCA，∠3 = ∠BCA + ∠BAC，

又因?yàn)椤螧CA + ∠1 = 180°，∠ABC + ∠3 = 180°，∠BAC + ∠2 = 180°，

所以∠BCA + ∠1 + ∠ABC + ∠3 + ∠BAC + ∠2 = 540°.

所以∠BCA + ∠BAC + ∠ABC + ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC + ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 540°.

所以∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°.

以上三個(gè)錯(cuò)證，都運(yùn)用了三角形的外角性質(zhì)來(lái)證明，其實(shí)三角形外角性質(zhì)本身是三角形內(nèi)角和定理的推論，所以在邏輯上犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤. 還有一種類似的錯(cuò)誤，有些學(xué)生運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式[n-2 · 180°]，當(dāng)n = 3時(shí)，得到結(jié)論，這當(dāng)然也是不正確的，因?yàn)槎噙呅蔚膬?nèi)角和公式，本身也是三角形內(nèi)角和定理的推廣，是通過從特殊到一般歸納得到的.而三角形內(nèi)角和定理，本質(zhì)上是運(yùn)用平行線的性質(zhì)（或平行公理），將三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角來(lái)推理證明的.

3. 對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系的理解和掌握不夠理想

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求能夠整體呈現(xiàn)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，以融會(huì)貫通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織、整合，盡可能地體現(xiàn)內(nèi)容本質(zhì)之間的聯(lián)系. 由表4中的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，僅有18%的學(xué)生能夠清晰、正確地表述學(xué)習(xí)整式、函數(shù)、幾何圖形的基本路徑，有42.5%的學(xué)生對(duì)整式、函數(shù)、幾何圖形的學(xué)習(xí)路徑完全不知道或留空. 對(duì)于初中階段所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)整體，只有19.5%的學(xué)生能夠自覺地以一種有序的結(jié)構(gòu)框架圖的形式呈現(xiàn).

第6題：我們學(xué)習(xí)整式（或函數(shù)或幾何圖形）的學(xué)習(xí)路徑是怎樣的？有63.75%的學(xué)生選擇幾何圖形來(lái)回答. 這表明，幾何圖形的學(xué)習(xí)更容易引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生有話可說(shuō). 同時(shí)，很多學(xué)生可能從沒有思考或者聽說(shuō)過“學(xué)習(xí)路徑”這樣一種說(shuō)法，表示“聽不懂，不明白”. 有的學(xué)生理解為如何做一道數(shù)學(xué)題，如“先看題目條件，看圖形有什么性質(zhì)、定理，標(biāo)記圖象，作答”“先大概估測(cè)一下幾何圖形的特殊性，再根據(jù)相關(guān)圖形的性質(zhì)進(jìn)行證明，完成題目（解答），不然就放棄”. 還有的學(xué)生理解成如何學(xué)習(xí)整式或幾何的，如“先預(yù)習(xí)，再聽課，不斷寫題，不懂就問”“記筆記上課專心，認(rèn)真聽講，整理錯(cuò)題，時(shí)時(shí)刻刻想著學(xué)習(xí)，不懂就問”. 從SOLO分類理論來(lái)看，這些回答的結(jié)構(gòu)大都屬于前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)，遠(yuǎn)沒有達(dá)到高階思維的水平層次. 根據(jù)調(diào)查問卷的結(jié)果，特別引起我們不安的是：無(wú)論選擇哪個(gè)內(nèi)容，都有相當(dāng)多學(xué)生的回答映襯出了當(dāng)下的應(yīng)試教育生態(tài)，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是大量做題”的錯(cuò)誤觀念幾乎成為他們看待數(shù)學(xué)學(xué)科的全部：“先自己自學(xué)一遍，然后再聽教師講一次，查漏補(bǔ)缺，課后多練題”“多做導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)案，課堂導(dǎo)學(xué)案，課堂大考卷，課時(shí)分層作業(yè)本”“多刷題，摸清規(guī)律，一般給出什么題型，學(xué)會(huì)運(yùn)用定理”“先學(xué)會(huì)知識(shí)點(diǎn)，再運(yùn)用并多次練習(xí)”“通過不斷地做題、刷題，看每一個(gè)星期的數(shù)學(xué)周測(cè)和老師讓學(xué)生在課堂上做的練習(xí)題，課本的教學(xué)、歸納總結(jié)，周末作業(yè)”“聽課，看練習(xí)冊(cè)，做題，學(xué)習(xí)函數(shù)原理”. 這些表明了學(xué)生平時(shí)長(zhǎng)期處在一種簡(jiǎn)單、粗暴的淺層學(xué)習(xí)狀態(tài).

第7題：試用合適的方式梳理表述到目前為止你在初中階段學(xué)過的所有數(shù)學(xué)知識(shí). 有68%的學(xué)生是在簡(jiǎn)單地羅列所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，想到哪寫到哪，沒有邏輯順序，支干不分. 有的學(xué)生既羅列章節(jié)名稱，也羅列某個(gè)具體的定理或結(jié)論;有的學(xué)生列舉出的知識(shí)條目達(dá)58條之多，還有的學(xué)生是沒有任何組織地直接把數(shù)學(xué)課本目錄抄寫了一遍. 這說(shuō)明他們欠缺思維表達(dá)的方式，數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性結(jié)構(gòu)意識(shí)薄弱，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理之間的關(guān)聯(lián)度不高，知識(shí)碎片化嚴(yán)重.

四、教學(xué)建議

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)和整體把握. 數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)，要改變忽視思維教學(xué)、依靠大量機(jī)械刷題以增加考試分?jǐn)?shù)的現(xiàn)象. 數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾經(jīng)說(shuō)過，幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然. 這里所說(shuō)的雖然是幾何學(xué)習(xí)，但同樣應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的指路明燈.

1. 以SOLO分類評(píng)價(jià)構(gòu)建數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的目標(biāo)層級(jí)

深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠掌握學(xué)科的核心知識(shí)，把握學(xué)科的本質(zhì)和思想方法. 數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)，當(dāng)然不只是滿足于知道數(shù)學(xué)原理是什么.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》），對(duì)初中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)內(nèi)容和結(jié)果目標(biāo)的描述通常為：了解（同類詞：認(rèn)識(shí)）、理解（同類詞：會(huì)）、掌握（同類詞：能）、應(yīng)用（同類詞：證明）. 例如，“掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混和運(yùn)算”“掌握平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”“了解平行線性質(zhì)定理的證明”.“了解、理解、掌握、應(yīng)用”借鑒了布魯姆的認(rèn)知技能目標(biāo)分類理論，其具體內(nèi)涵如圖4所示.

對(duì)照這個(gè)目標(biāo)，由調(diào)查數(shù)據(jù)可以看出，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)花費(fèi)了很多時(shí)間，刷了許多題目，但其實(shí)學(xué)習(xí)的層級(jí)很低，學(xué)生對(duì)很多數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)并沒有達(dá)到理解的目標(biāo)層次.

當(dāng)然，認(rèn)知結(jié)果四個(gè)層級(jí)目標(biāo)是對(duì)所有數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)結(jié)果的評(píng)價(jià)，并不特別針對(duì)數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí). 從數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)要求出發(fā)，可以借鑒SOLO分類理論進(jìn)一步精準(zhǔn)建構(gòu)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)過程的評(píng)價(jià)層次框架.

基于SOLO分類理論，我們根據(jù)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)關(guān)注的三個(gè)核心，即是什么、從何而來(lái)、遷移應(yīng)用，在符合《標(biāo)準(zhǔn)》要求的基礎(chǔ)上，設(shè)置典型的評(píng)測(cè)問題，根據(jù)學(xué)生回答的表現(xiàn)，由低到高劃分成前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)五個(gè)不同的思維結(jié)構(gòu)層次，以此來(lái)精準(zhǔn)調(diào)控?cái)?shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的達(dá)標(biāo)情況，具體如表5所示.

2. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的過程教學(xué)

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過程中體會(huì)其中的思想方法，形成數(shù)學(xué)的思維方式.《標(biāo)準(zhǔn)》中，對(duì)很多原理的教學(xué)要求，還有“探索”“探索并證明”. 什么是探索呢？探索是獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng). 在活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，分析問題的思路，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的組成要素或相關(guān)要素之間的關(guān)系，以及與其他相關(guān)對(duì)象之間的關(guān)系，從而獲得一定的理性認(rèn)識(shí). 史寧中教授說(shuō)過，智慧表現(xiàn)在過程之中. 學(xué)生會(huì)想問題，會(huì)做事情，在本質(zhì)上是學(xué)生自己在過程中悟出來(lái)的. 我們要?jiǎng)?chuàng)造一個(gè)過程，讓學(xué)生親身經(jīng)歷的過程，讓他們?cè)谙氲倪^程中學(xué)會(huì)想，讓他們?cè)谧龅倪^程中學(xué)會(huì)做. 所以，數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)，一定要加強(qiáng)原理獲得的過程和原理證明的過程，也就是知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程. 沒有過程的體驗(yàn)，也就沒有感悟，也就沒有經(jīng)驗(yàn)的積累，無(wú)法形成理性的認(rèn)識(shí). 只會(huì)做題而依據(jù)全都不知道的運(yùn)算能力可信嗎？理解運(yùn)算法則、懂得算理是有效提高運(yùn)算能力的必要條件，幫助學(xué)生體會(huì)運(yùn)算法則的意義和合理性，才是運(yùn)算法則教學(xué)的根本. 拋開過程的體驗(yàn)，換以大量的重復(fù)訓(xùn)練，這是本末倒置、急功近利的短視行為. 性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)也是如此，不能推導(dǎo)或證明，不能做到知其所以然，也就沒有達(dá)到有效、深刻的理解層次，思維能力的培養(yǎng)也就無(wú)從談起.

同時(shí)，習(xí)慣性地跳過原理過程的學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)變成大量刷題訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生的情感、態(tài)度、價(jià)值觀的形成有促進(jìn)作用嗎？真的有利于他們的終身發(fā)展嗎？我們可以根據(jù)如表6所示的國(guó)家義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、態(tài)度相關(guān)指標(biāo)來(lái)加以判斷.

從全國(guó)范圍來(lái)講，有近四成的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍感到焦慮，缺乏自信心. 所以，從初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)出發(fā)，在原理學(xué)習(xí)過程中，通過精心設(shè)計(jì)問題情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突和深度思考，經(jīng)歷原理學(xué)習(xí)的發(fā)生和發(fā)展過程，既是學(xué)科本質(zhì)的要求，又是現(xiàn)實(shí)的呼喚.

3. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)原理關(guān)聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體教學(xué)

數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，構(gòu)建一個(gè)邏輯連貫、前后一致、遷移能力強(qiáng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)始終是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù). 數(shù)學(xué)原理與數(shù)學(xué)概念一樣，都是這個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)大廈中的核心材料. 一個(gè)數(shù)學(xué)原理并不是孤立存在的，它一定連接著數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理，所以數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)也要加強(qiáng)數(shù)學(xué)整體性的認(rèn)識(shí)，注重揭示數(shù)學(xué)原理與原理、數(shù)學(xué)原理與概念、概念與概念之間的聯(lián)系，構(gòu)建原理學(xué)習(xí)的整體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)體系. 以三角形內(nèi)角和定理為例，在小學(xué)階段，學(xué)生是有操作了解并簡(jiǎn)單應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理結(jié)論的，但在初中階段，我們不僅要重點(diǎn)探索并證明三角形內(nèi)角和定理本身，還要在學(xué)習(xí)過程中，以聯(lián)系的、整體的觀點(diǎn)，呈現(xiàn)出三角形內(nèi)角和定理的來(lái)龍去脈，相關(guān)聯(lián)的一系列概念、原理的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)（如圖5），是一個(gè)有邏輯的、具有發(fā)展性的、不斷拓展放大的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

在數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)過程中，綜合以上教學(xué)建議，在不違背《標(biāo)準(zhǔn)》要求的背景下，采用SOLO分類目標(biāo)層級(jí)框架評(píng)價(jià)原理學(xué)習(xí)的結(jié)果質(zhì)量，仿照波利亞“怎樣解題表”的形式，構(gòu)建了數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)實(shí)施路徑（如表7）.

總之，我們一致認(rèn)為，要在數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)過程中注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)原理內(nèi)容積極主動(dòng)地理解，建立有關(guān)聯(lián)的整體結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生去經(jīng)歷、探索數(shù)學(xué)原理產(chǎn)生、說(shuō)理或證明的過程，感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)的思維方式，達(dá)到“知其然、知其所以然、何由以知其所以然”的境界，并將獲得的數(shù)學(xué)原理等知識(shí)、方法應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，解決現(xiàn)實(shí)問題，以實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)原理的深度學(xué)習(xí).

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