摘? 要：我們應(yīng)當(dāng)將超越具體知識和技能的學(xué)習(xí)深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和解題策略過渡到一般性思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升，還應(yīng)幫助學(xué)生逐步地學(xué)會學(xué)習(xí). 我們在當(dāng)前應(yīng)特別重視這樣幾項工作：（1）“聯(lián)系的觀點”與思維的深刻性;（2）“變化的思想”與思維的靈活性;（3）“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”與思維的自覺性;（4）努力幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：深度教學(xué);聯(lián)系的觀點;變化的思想;總結(jié)、反思和再認(rèn)識

眾所周知，對于“深度學(xué)習(xí)”的積極提倡是教育領(lǐng)域中一個新的發(fā)展趨勢. 由于數(shù)學(xué)教育是整體性教育事業(yè)的一個組成部分，因此，作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們自然就應(yīng)當(dāng)對此予以高度的重視. 但這又可被看成過去這些年的課程改革實踐給予我們的一個重要啟示，即不應(yīng)盲目地追隨潮流，而應(yīng)堅持自己的獨立思考. 特別是，面對任何一個新的理論思想或主張，我們都應(yīng)當(dāng)認(rèn)真地思考這樣三個問題：（1）什么是這一理論或主張的實質(zhì)或主要含義？（2）這一理論或主張對于我們改進(jìn)教學(xué)有哪些新的啟示和意義？（3）這一理論或主張又有什么局限性或不足？

這也就是我們面對一般性的教育理論或思想所應(yīng)特別防止與糾正的兩種傾向.

第一，停留于一般性論述，而未能從專業(yè)的角度做出進(jìn)一步的分析、思考.

例如，這或許就可被看成所謂傾向的一個實例，即認(rèn)為作為一名數(shù)學(xué)教育工作者，我們面對“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一主張就只需能夠正確地復(fù)述“核心素養(yǎng)”的“3個方面、6大要素、18個基本要點”，并能通過逐條對照發(fā)現(xiàn)每一堂課的不足之處就可以了，而未認(rèn)識到還應(yīng)認(rèn)真地思考數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科對于提升個人與社會的整體素養(yǎng)究竟有哪些特別重要、甚至不可取代的作用，并能很好地落實于自己每一天的工作、每一堂課！

相信讀者由以下實例即可在這方面獲得直接啟示，盡管它們所涉及的也只是語文教學(xué).

案例1：“‘語文學(xué)科核心素養(yǎng)實踐性解讀”的兩個實例.

（1）“培養(yǎng)終身閱讀者，培養(yǎng)負(fù)責(zé)表達(dá)者”是我校歷經(jīng)多年錘煉并在2012年最終確立的語文宣言，是我們堅定的學(xué)科信念、行動指針. 今天，這也是用我們自己的句子表述的語文學(xué)科核心素養(yǎng).

（2）學(xué)科的育人價值是什么？基于學(xué)科特質(zhì)，學(xué)生需要的核心又是什么？對這兩個問題的追問，是核心素養(yǎng)落地的關(guān)鍵.

2009年，重慶市巴蜀小學(xué)提出了“愛讀書、善思考、會表達(dá)”的語文學(xué)科核心價值追求. 2015年，學(xué)校開始研究學(xué)科核心素養(yǎng)，并對巴蜀小學(xué)的育人特質(zhì)進(jìn)行了再次修改和校本化解讀.

由于“大教育”的論述容易出現(xiàn)“大而空”的弊端，對此我們也就應(yīng)當(dāng)保持特別的警惕. 例如，在筆者看來，以下論述就多少表現(xiàn)出了這樣的傾向：深度學(xué)習(xí)“深”在哪里？首先“深”在人的心靈里，“深”在人的精神境界上，還“深”在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，“深”在教學(xué)規(guī)律中. 進(jìn)而，這也可被看成過度簡單化的一個認(rèn)識，即認(rèn)為只需按照以下模式就可解決各個學(xué)科的相關(guān)問題：一般性理論的簡單介紹 + 本學(xué)科的教學(xué)實例.

第二，局限于狹窄的學(xué)科視角，卻未能從更廣泛的角度進(jìn)行分析、思考. 例如，正如前面所提及的，以下論述就多少表現(xiàn)出了這樣的傾向：現(xiàn)在，我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科在人的素養(yǎng)發(fā)展中起到的作用，也就是說，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成長為什么樣的人，這就是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，即會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界. 與此相對照，我們應(yīng)當(dāng)深入思考是否應(yīng)當(dāng)要求每位學(xué)生都能做到所說的“三會”，乃至將此看成數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo). 因為，這正是這方面的一個基本事實：大多數(shù)學(xué)生將來都未必會從事數(shù)學(xué)或其他與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的工作，會用數(shù)學(xué)的眼光、思維與語言顯然也非唯一可能的選擇.

綜上，從單一學(xué)科的視角進(jìn)行分析、思考容易導(dǎo)致片面性的認(rèn)識，后者既包括單純地強(qiáng)調(diào)“幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考”，也包括“人人都應(yīng)做到‘三會”這樣一個主張. 這就是我們?yōu)槭裁磻?yīng)由“幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考”轉(zhuǎn)向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思考”的主要原因，后者就是我們所說的“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的一個基本含義.

當(dāng)然，我們在此所追求的并非“常識”的簡單回歸，而是更高層次的重構(gòu)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可被看成為我們所說的“重構(gòu)”提供了直接基礎(chǔ). 這也就是指，我們應(yīng)當(dāng)更加重視通過數(shù)學(xué)教學(xué)努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”，我們還應(yīng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人.

總之，這正是我們在此所倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的主要含義：我們應(yīng)當(dāng)超越具體知識和技能的學(xué)習(xí)，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和解題策略過渡到一般性思維策略與思維品質(zhì)的提升，我們還應(yīng)幫助學(xué)生由在教師（或書本）指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，包括善于通過學(xué)生之間的合作與互動進(jìn)行學(xué)習(xí)，真正成為學(xué)習(xí)的主人.

顯然，依據(jù)以上論述我們也可更好地理解“就題論道”的含義：如果說“就題論法”主要是指用數(shù)學(xué)思維方法的分析帶動具體的解題活動，從而幫助學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)的思考，那么，“就題論道”就體現(xiàn)了這樣一個更高的追求，即我們不僅應(yīng)當(dāng)通過解題教學(xué)使學(xué)生在思維方法特別是解題策略的學(xué)習(xí)上有較大的收獲，也應(yīng)努力提升他們的思維品質(zhì)，包括理性精神的養(yǎng)成.

就當(dāng)前而言，我們還應(yīng)特別重視這樣幾項工作：（1）“聯(lián)系的觀點”與思維的深刻性;（2）“變化的思想”與思維的靈活性;（3）“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”與思維的自覺性;（4）努力幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).

對于前三項，特別是（1）和（3），我們在先前已經(jīng)有所涉及，以下就主要圍繞相應(yīng)的“關(guān)鍵詞”對此做出簡要概述;對于（4），我們則將聯(lián)系“合作學(xué)習(xí)”在下一篇文章中做出具體論述.

（1）“聯(lián)系的觀點”與思維的深刻性.

重視“聯(lián)系的觀點”是國際數(shù)學(xué)教育界的普遍趨勢. 例如，無論是美國數(shù)學(xué)教師全國委員會（NCTM）于2000年發(fā)表的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原則和標(biāo)準(zhǔn)》，還是由國際教育署與國際教育學(xué)會于2009年聯(lián)合推出的指導(dǎo)性手冊《有效數(shù)學(xué)教學(xué)》，都將“聯(lián)系”列為數(shù)學(xué)教育最重要的“標(biāo)準(zhǔn)”之一. 我們可由以下論述更好地理解“聯(lián)系”作為思維策略所具有的普遍意義：“找出各種事物之間的聯(lián)系是教育家們竭盡全力思考的問題……當(dāng)學(xué)生能夠用相互聯(lián)系的觀點看待各種事物的時候，他們的學(xué)習(xí)生涯就開始了. 我建議把發(fā)現(xiàn)事物之間的聯(lián)系當(dāng)作基礎(chǔ)學(xué)校課程的首要目標(biāo).”（多琳語）A69BFA2B-33B4-4ACE-9248-BAEE4E2F62E0

另外，先前關(guān)于“整體性教學(xué)”與“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”的分析顯然也可被看成從又一角度表明了“聯(lián)系的觀點”的重要性，包括什么是這方面工作的主要目標(biāo). 更一般地說，這也就是指，我們不應(yīng)將事物和現(xiàn)象看成互不相干的，并應(yīng)善于通過對照、比較促進(jìn)認(rèn)識、發(fā)展與深化.

在此還應(yīng)特別提及“多元表征理論”的指導(dǎo)意義：我們不僅應(yīng)當(dāng)善于從多個不同角度去認(rèn)識，還應(yīng)高度重視不同方面的必要互補(bǔ)與適當(dāng)整合. 當(dāng)然，除去“聯(lián)系的觀點”以外，后者應(yīng)當(dāng)說也與“變化的思想”密切相關(guān)，即我們應(yīng)當(dāng)善于通過不同方面之間的轉(zhuǎn)換有效地解決問題.

最后，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，這直接關(guān)系到了認(rèn)識的深度. 這也就是指，只有不斷地拓寬視野，特別是用聯(lián)系的觀點進(jìn)行分析、思考，我們才能達(dá)到更深度的認(rèn)識（當(dāng)然，也只有達(dá)到了更深度的認(rèn)識，我們才能更好地發(fā)現(xiàn)不同事物與現(xiàn)象之間的聯(lián)系）. 特殊地，這顯然也可被看成“數(shù)學(xué)抽象”的本質(zhì)所在.

進(jìn)而，從同一角度相信讀者也可以更好地理解筆者的以下主張：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián). 這也就是指，我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)很好地突出“聯(lián)”這樣一個關(guān)鍵字.

（2）“變化的思想”與思維的靈活性.

前一篇文章中關(guān)于“解題教學(xué)”的討論顯然已經(jīng)涉及了這一論題，即我們應(yīng)當(dāng)善于通過變化去分析問題和解決問題，包括很好地實現(xiàn)“化難為易，化復(fù)雜為簡單，化未知為已知”.

以下就是數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的一些變化方法：逆向思維、整體思維、數(shù)形互換……除此以外，我們當(dāng)然也應(yīng)十分重視“特殊化”與“一般化”這樣兩種方法，包括這樣一個相關(guān)的主張：數(shù)學(xué)基本技能的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變.

例如，無論是面積計算中經(jīng)常用到的“割補(bǔ)法”，還是算術(shù)中所謂的“速算法”，顯然都可以看成通過變化（等值轉(zhuǎn)換）解決問題的典型例子.

再者，所謂的“關(guān)系映射反演方法”（RMI方法）則可被看成“變化的思想”更高層次的應(yīng)用. 因為，這一方法不僅可以被用于解決諸如求取某個未知量這類具體的數(shù)學(xué)問題（如對數(shù)計算），也可用于解決與理論的整體性結(jié)構(gòu)有關(guān)的這樣一類更高層次的問題（如解析幾何的創(chuàng)立就可被看成通過映射實現(xiàn)整體性轉(zhuǎn)換的一個實例）. 而且，這一方法又不僅可以被用于得出問題的肯定性解答，即按照原來的要求解決問題，也可被用于得出問題的否定性解答，即證明了原來的問題不可能得到解決.

由上述分析也可以看出：對于“思維的靈活性”我們不應(yīng)理解成單純的“快”，乃至將此看成數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力追求的一項目標(biāo). 具體地說，我們應(yīng)當(dāng)更加重視思維的深刻性;另外，相對于“快”的簡單提倡而言，我們顯然也應(yīng)更深入地思考如何才能實現(xiàn)這樣一個目標(biāo)，而這也就意味著我們應(yīng)當(dāng)更加重視相應(yīng)的一般性思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升.

例如，所謂的“變式理論”（特別是“概念變式”）就可被看成這樣的一個例子，即我們?nèi)绾瓮ㄟ^適當(dāng)變化幫助學(xué)生更好地理解概念的本質(zhì)，也即達(dá)到更大的認(rèn)識深度. 更重要的是，我們又不應(yīng)局限于如何能夠通過適當(dāng)?shù)淖兓行У亟鉀Q問題，而且也應(yīng)以“變化”作為直接對象去開展新的研究.

具體地說，后者顯然可被看成“函數(shù)觀念”的核心所在，這標(biāo)志著我們已經(jīng)超出“初等數(shù)學(xué)”進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”. 當(dāng)然，就我們目前的論題而言，我們又應(yīng)更加強(qiáng)調(diào)這樣一點：即使就初中與小學(xué)高年級的數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們也應(yīng)十分重視相關(guān)思想的滲透，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，包括努力提升他們的思維品質(zhì).

例如，在不少學(xué)者看來，我們就應(yīng)將“對應(yīng)關(guān)系的視角，以及協(xié)變 / 共變的視角”看成“代數(shù)思維”的一個重要含義，并應(yīng)十分重視其在小學(xué)與初中階段的滲透：小學(xué)和初中階段的學(xué)生可以關(guān)注兩個同時變化的數(shù)量，描述一個量與另一個量的關(guān)系，理解“輸入—輸出”規(guī)則，并識別出對應(yīng)關(guān)系.

更一般地說，我們在教學(xué)中不僅應(yīng)當(dāng)注意“在變化中抓不變”，也應(yīng)十分重視“在不變中抓變化”.

最后，由以下實例可以看出，“變化的思想”也與我們?nèi)绾文軌蚋倪M(jìn)教學(xué)密切相關(guān).

案例2：是“學(xué)生笨”，還是“老師笨”？

這是某著名特級教師的一個親身經(jīng)歷：班上有一名學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得不好，因此教師就經(jīng)常給該生“吃小灶”，即有針對性地進(jìn)行個別輔導(dǎo). 有一次，教師給這名學(xué)生講一道題，可是整整講了3遍該生還是不懂，這下該教師可真有點失去耐心了：“講了3遍還是不懂，你可真‘笨！”沒想到學(xué)生對此卻很快做出了反應(yīng)（由此可見，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維的靈活性之間并無必然聯(lián)系）：“你講了3遍都沒有把我講懂，你才真正‘笨！”

這兩個人中究竟何人真“笨”？相信以下分析即可給你一定的啟示.

眾所周知，中醫(yī)治病以辨癥為先，但是，由于號脈、看舌苔等傳統(tǒng)辨癥方法有很大的經(jīng)驗因素. 因此，現(xiàn)實中就常常會出現(xiàn)“對不上號”的現(xiàn)象，也即醫(yī)生所開的藥似乎完全無效. 但又恰是在這一點上我們即可看到“好中醫(yī)”與“一般化中醫(yī)”的區(qū)別：前者在先前藥路不對的情況下往往能夠及時加以改變，轉(zhuǎn)而采取另一全新的路子，后者則只會“一條路走到黑”……

由此可見，這也正是上述實例中教師的不足之處，即是未能通過“求變”去解決問題！

綜上可見，這就是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)很好地突出又一關(guān)鍵詞——“變”. 當(dāng)然，在實踐中我們又應(yīng)特別重視“變”與“聯(lián)”的綜合應(yīng)用！

（3）“總結(jié)、反思和再認(rèn)識”與思維的自覺性.

這是筆者近年來經(jīng)常提到的一個觀點，即是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會“長時間思考”. 因為，盡管“快思”可以被看成日常思維的主要形式，“慢想”顯然也有廣泛的應(yīng)用，更有益于我們糾正“快思”所造成的各種弊端，特別是一些規(guī)律性的錯誤. 當(dāng)然，這也是這方面的一個明顯事實，即真正的數(shù)學(xué)問題往往都不可能輕而易舉地得到解決，而需要研究者（學(xué)習(xí)者）做出持續(xù)的努力. 在很多人看來，這就是數(shù)學(xué)的真正魅力所在. 由此可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅需要，也十分有利于人們學(xué)會“長時間思考”.A69BFA2B-33B4-4ACE-9248-BAEE4E2F62E0

顯然，上述分析也更清楚地表明了這樣一點，即教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)注意糾正對于“快”的片面追求. 當(dāng)然，對此我們又不應(yīng)理解成“消極等待”，而應(yīng)進(jìn)一步去思考放慢節(jié)奏后應(yīng)當(dāng)做些什么.

上述問題事實上也直接關(guān)系到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本性質(zhì)：這主要是一個不斷優(yōu)化的過程，并主要依賴于主體的自覺總結(jié)、反思與再認(rèn)識. 當(dāng)然，正如前面所提及的，這也應(yīng)被看成自覺性的又一重要表現(xiàn)，即是我們應(yīng)當(dāng)努力提升自身的元認(rèn)知水平，也即對于自身正在從事的數(shù)學(xué)活動始終保持清醒的自我認(rèn)識，并能通過及時的分析評估做出必要的調(diào)整，包括糾正可能的錯誤.

綜上可見，我們在教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生的“長時間思考”提供充分的時間和空間. 特別是，相對于一味鼓勵學(xué)生盡快做出反應(yīng)而言，我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)出更多的耐心，并應(yīng)很好地處理這樣一些關(guān)系：“快”與“慢”，“多”與“少”，“熱鬧”與“安靜”，“引”與“放”，等等. 另外，從同一角度我們顯然也可以很好地理解這樣一個“經(jīng)驗”——“教師不要太聰明”，即在教學(xué)中我們不應(yīng)過快地由特殊上升到一般，而應(yīng)保證學(xué)生有充分的體驗，包括“基本活動經(jīng)驗”的必要積累.

簡言之，我們應(yīng)將幫助學(xué)生學(xué)會“長時間思考”看成數(shù)學(xué)教學(xué)的又一重要目標(biāo)，包括在教學(xué)中很好地突出這樣幾個“關(guān)鍵詞”：總結(jié)、反思與再認(rèn)識（優(yōu)化、深化）.

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