汪佳婕

(海寧市南苑中學)

多元函數(shù)范圍問題是近年來各類考試中的熱門問題,這類問題不僅形式多樣,而且涉及知識面較廣、難度大、綜合性強,對思維能力要求較高,涉及函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、導數(shù)等高中重要知識,體現(xiàn)了函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.換元法、基本不等式法、判別式法、導數(shù)法、放縮法是解決這類問題常見的基本方法,這些方法靈活多變,學生往往不能合理運用或因計算量較大導致半途而廢.拉格朗日數(shù)乘法在求解多元函數(shù)最值問題時,解法簡單,便于操作,可以更好地拓寬學生的解題思路.

1 試題呈現(xiàn)與解法探究

例1(2010年四川卷理12)設(shè)a＞b＞c＞0,則2a2＋10ac＋25c2的最小值是( ).

本題所給的多項式項數(shù)多,涉及變量多,既有整式又有分式,如果不利用配湊等變形技巧,很難求出最小值,配湊的實質(zhì)是對表達式進行恒等變形,是一種有目的的定向變形.

故選B.

利用配湊法解題對學生的邏輯思維能力要求較高,學生常常不知如何下手.特別地,對于一些較復(fù)雜的多元函數(shù)最值問題,雖然解題方法多種多樣,但是技巧性強.高等數(shù)學中的拉格朗日乘數(shù)法操作簡單,為學生解決多元函數(shù)最值問題提供了一種有效的方法.

拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)z＝f(x,y)在條件φ(x,y)＝0下極值的一般步驟如下.

1)構(gòu)造函數(shù)L(x,y)＝f(x,y)＋λφ(x,y)(λ為參數(shù)).

2)對L(x,y)求偏導,并令其等于0,與附加條件φ(x,y)＝0聯(lián)立得

3)由上述方程組解出x,y,則點(x,y)就是z＝f(x,y)在條件φ(x,y)＝0下可能的極值點.

下面用該方法解答例1.

以上問題屬于無條件極值問題,解法2可以看成是拉格朗日乘數(shù)法的雛形,但仍然能夠看到利用拉格朗日乘數(shù)法帶來的方便性與可操作性.

2 拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用

2.1 單一條件極值問題

例2若a2-＋2b2＝1,則a2＋b2的最小值為________.

2.2 多條件極值問題

例3 已知實數(shù)a,b,c滿足a＋b＋c＝0,a2＋b2＋c2＝1,則a的最大值為________.

構(gòu)造L(a,b,c)＝a＋λ(a＋b＋c)＋μ(a2＋b2＋c2-1),聯(lián)立

2.3 其他知識隱藏下的極值問題

構(gòu)造L(x,y)＝|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy,聯(lián)立解得x＝1,y＝2.所以x0＝1,y0＝1,此時|b|2＋1＋4-4-10＋2＝2,所以|b|＝.

例5(2021年浙江卷理17)已知平面向量a,b,c(c≠0)滿足|a|＝1,|b|＝2,a·b＝0,(a-b)·c＝0.記平面向量d在a,b方向上的投影分別為x,y,d-a在c方向上的投影為z,則x2＋y2＋z2的最小值是_____.

構(gòu)造L(x,y,z)＝x2＋y2＋z2＋λ(2x＋y--2)＝0,聯(lián)立

3 反思與感悟

高考數(shù)學命題遵循《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》,從解題策略來看,高考更注重通性通法,淡化特殊技巧.但是認真分析各地高考試題后,又不難發(fā)現(xiàn)有很多問題利用通性通法對技巧性思維性要求太高,適當補充一些高等數(shù)學中的方法可以提高學生的思維水平,激發(fā)學習興趣,更好地培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).

(完)