求解抽象函數(shù)問題常用的五種策略

陳海燕

(甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

所謂抽象函數(shù),是指沒有給出函數(shù)解析式,但給出了函數(shù)的部分性質(zhì)或運(yùn)算法則的函數(shù).因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)問題具有題設(shè)抽象、構(gòu)思新穎、綜合程度高等特點(diǎn),所以它是學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的一大難點(diǎn),大多數(shù)學(xué)生在解題時(shí)往往無從下手、束手無策.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),解題的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)癥下藥,因題制宜,隨題應(yīng)變,利用賦值、“穿脫”、數(shù)形結(jié)合、模型、構(gòu)造等策略處理,問題就迎刃而解了.下面就這些解題“大招”進(jìn)行具體例析,供讀者參考.

1 賦值策略

賦值策略是指根據(jù)題目所給條件,通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維活動(dòng),對(duì)變量賦予特殊值,然后進(jìn)行合理的運(yùn)算,達(dá)到解決問題的目的.這種策略在解決抽象函數(shù)問題時(shí)具有獨(dú)特的功效,它簡(jiǎn)單方便,是探求抽象函數(shù)問題的一種常用的思維策略.

例1若奇函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(2)＝1,f(x＋2)＝f(x)＋f(2),則f(1)＝( ).

抽象函數(shù)求函數(shù)值需用賦值法,由奇函數(shù)的性質(zhì)得f(-1)＝-f(1),結(jié)合題設(shè)條件f(2)＝1,f(x＋2)＝f(x)＋f(2),令x＝-1,得f(1)＝f(-1)＋1,即f(1)＝-f(1)＋1,從而2f(1)＝1,所以f(1)＝,故選D.

賦值法是演繹推理下的一種特殊化策略,解題時(shí)若能根據(jù)具體情況,有目的、有方向、合理巧妙地對(duì)某些自變量賦予一些確定的特殊值,往往能使問題有效獲解.

例2已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意a,b∈R,都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b),f(x)＜0在(0,＋∞)上恒成立,則函數(shù)f(x)的奇偶性為( ).

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)

D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,判斷奇偶性的關(guān)鍵是求f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x).結(jié)合題設(shè)等式f(a＋b)＝f(a)＋f(b),可以令a＝x,b＝-x,這樣會(huì)出現(xiàn)f(0),故第一步先求f(0).

因?yàn)閷?duì)任意a,b∈R,都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b),所以令a＝b＝0,得f(0)＝2f(0),即f(0)＝0.再令a＝x,b＝-x,得f(0)＝f(x)＋f(-x),即f(-x)＝-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),故選A.

賦值法是解決抽象函數(shù)問題常用的方法,它適用于抽象函數(shù)的求值,判斷抽象函數(shù)的奇偶性等,有時(shí)還需要多次賦值.

2 “穿脫”策略

加上函數(shù)符號(hào)“f”即為“穿”,去掉函數(shù)符號(hào)“f”即為“脫”.對(duì)于有些抽象函數(shù),可根據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性,實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)符號(hào)“f”的“穿脫”,以達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的.

例3已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-2,2)上的減函數(shù),若f(m-1)＋f(1-2m)＞0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( ).

由f(m-1)＋f(1-2m)＞0,且f(x)是奇函數(shù),得f(m-1)＞-f(1-2m)＝f(2m-1),又因?yàn)閒(x)是定義在(-2,2)上的減函數(shù),故-2＜m-1＜2m-1＜2,解得0＜m＜,故選B.

移項(xiàng)的目的是利用奇函數(shù)的性質(zhì)解題,也為脫去“f”做準(zhǔn)備,過程環(huán)環(huán)相扣,層層遞進(jìn),邏輯關(guān)系緊密,這類題目只要掌握其規(guī)律,往往水到渠成.

例4已知函數(shù)f(x)是定義在(0,＋∞)上的增函數(shù),且滿足對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,y,都有f(xy)＝f(x)＋f(y),且f(2)＝1.

(1)求f(8)的值;

(2)解不等式f(x)＞f(x-2)＋3.

第(1)問求f(8)的值,合理賦值即可.第(2)問解不等式可以利用f(x)的單調(diào)性“穿脫”求解,但這之前必須利用題設(shè)等式將不等式右邊合并.

(1)在f(xy)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y(tǒng)＝2,得f(4)＝2;令x＝2,y＝4,得f(8)＝3.

(2)f(x)＞f(x-2)＋3?f(x)＞f(x-2)＋f(8)?f(x)＞f[8(x-2)].

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(0,＋∞)上的增函數(shù),則x＞8(x-2)＞0,所以2＜x＜從而原不等式的解集為(2

涉及抽象函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的題目,我們常常利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,脫去函數(shù)符號(hào)“f”,將函數(shù)值的不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式求解.

3 數(shù)形結(jié)合策略

一般來說,抽象函數(shù)無圖像,但可根據(jù)題設(shè)中所給的抽象函數(shù)性質(zhì),畫出符合題意的草圖,通過觀察、對(duì)比,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想全面判斷,并做定量分析,可使抽象函數(shù)形象化、具體化、直觀化,從而減少推理、計(jì)算量.

例5若函數(shù)f(x)為R 上的奇函數(shù),且在(0,＋∞)上為增函數(shù),有f(2)＝0,則的解集為( ).

A.(-2,0)∪(0,2)

B.(-∞,-2)∪(0,2)

C.(-∞,-2)∪(2,＋∞)

D.(-2,0)∪(2,＋∞)

因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,根據(jù)題設(shè)條件可以畫出函數(shù)f(x)在R 上的草圖,如圖1所示.

圖1

解決數(shù)學(xué)抽象問題,直觀永遠(yuǎn)是第一準(zhǔn)則,要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,離不開圖形的直觀性、形象性,有了直觀才能想象.

例6已知定義在R 上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x2＞x1＞0 時(shí),f(x2)＜f(x1),且f(1)＝0,求不等式(2x-1-1)f(x)≥0的解集.

由題設(shè)條件可知,函數(shù)f(x)在(-∞,0)和(0,＋∞)上均為減函數(shù),故畫出函數(shù)f(x)在R 上的草圖,如圖2 所示,現(xiàn)分類討論如下.

圖2

當(dāng)x≤-1 時(shí),x-1≤-2,2x-1≤2-2＝,故2x-1-1＜0,但f(x)≥0,故滿足不等式(2x-1-1)f(x)≥0的只有x＝-1.

當(dāng)-1＜x≤0時(shí),-2＜x-1≤-1,＜2x-1≤,故2x-1-1＜0,但f(x)≤0,故滿足不等式

當(dāng)0＜x≤1時(shí),-1＜x-1≤0＜2x-1≤1,故2x-1-1≤0,但f(x)≥0,故滿足不等式(2x-1-1)·f(x)≥0的只有x＝1.

當(dāng)x＞1時(shí),x-1＞0,2x-1＞1,故2x-1-1＞0,但f(x)＜0,不滿足不等式(2x-1-1)f(x)≥0.

綜上,不等式(2x-1-1)f(x)≥0 的解集為[-1,0]∪{1}.

草圖是撬開分類討論的有力杠桿,既省時(shí)省力,又直觀明了.草圖只要滿足題意越簡(jiǎn)單越好,依靠數(shù)形結(jié)合思想解決抽象函數(shù)問題是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的主要途徑.

4 模型策略

亞里士多德說過:“我們的思維是從與正在尋求的事物相類似的事物、相反的事物或者與之相接近的事物開始進(jìn)行的,以后便追尋與之相關(guān)聯(lián)的事物,由此產(chǎn)生聯(lián)想.”模型化策略,就是根據(jù)題設(shè)所給的抽象函數(shù)性質(zhì),通過聯(lián)想與類比,大膽猜想生成抽象函數(shù)的原始模型,作出目標(biāo)猜想,利用模型函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去探索解題方法.對(duì)于選擇題和填空題,可用模型函數(shù)直接解決.對(duì)于解答題,模型函數(shù)只能起到啟迪思路、指導(dǎo)解題的作用,解題時(shí)還必須從題設(shè)條件出發(fā)加以演繹推理,再證明或運(yùn)算,切不可用特殊代替一般,發(fā)生邏輯上的錯(cuò)誤.

例7定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R,滿足f(x＋y)＝f(x)f(y),當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＞1,則函數(shù)f(x)在[a,b]上( ).

A.有最小值f(a) B.有最大值f

C.有最小值f(b) D.有最大值f(b)

根據(jù)題設(shè)知指數(shù)函數(shù)f(x)＝滿足條件,其在R上為減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在[a,b]上有最小值f(b),最大值為f(a),故選C.

例8設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)于任意x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且f(1)＝-2,當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＜0.

(1)判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;

(2)試問:當(dāng)-3≤x≤3時(shí),f(x)是否有最值.如果有,求出最值;如果沒有,說明理由.

對(duì)于任意x,y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),可猜想f(x)＝kx,由當(dāng)x＞0 時(shí),f(x)＜0,知k＜0,所以問題(1)(2)的答案可大膽猜想如下:(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù);(2)函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù).

(1)令x＝y(tǒng)＝0,可得f(0)＝0,再令y＝-x,則f(0)＝f(-x)＋f(x),所以f(-x)＝-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).

(2)設(shè)-3≤x1＜x2≤3,令y＝-x1,x＝x2,則

因?yàn)閤＞0時(shí),f(x)＜0,故f(x2-x1)＜0,即

所以f(x2)＜f(x1),所以f(x)在區(qū)間[-3,3]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x＝-3時(shí),f(x)有最大值為

當(dāng)x＝3時(shí),f(x)有最小值為f(3)＝-6.

“模型”策略是順藤摸瓜,未做先知,預(yù)先看穿問題本源,洞穿問題實(shí)質(zhì),大多數(shù)抽象函數(shù)方程都有其對(duì)應(yīng)的初等函數(shù),常見抽象函數(shù)方程對(duì)應(yīng)的原型函數(shù)如表1所示.

表1

5 構(gòu)造策略

在求解抽象函數(shù)單調(diào)性的過程中,首先應(yīng)熟悉單調(diào)性的定義,即在某一區(qū)間D上,當(dāng)x1,x2∈D,且x1＜x2時(shí),函數(shù)f(x)有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))則稱函數(shù)f(x)在D上為增函數(shù)(或減函數(shù));其次需見縫插針地構(gòu)造一個(gè)“大”自變量,如“x1＝(x1-x2)＋x2”“x2＝(x2-x1)＋x1”“x1＝·x2”或“x2＝·x1”等,這樣才可以充分利用題設(shè)條件,巧妙利用定義證明單調(diào)性問題.

例9已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],若對(duì)任意x,y∈[-1,1],都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0.

(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;

(2)判斷并證明函數(shù)f(x)在[-1,1]的單調(diào)性.

第(1)問用賦值法證明;第(2)問中轉(zhuǎn)化x2＝(x2-x1)＋x1,有意構(gòu)造出x2-x1＞0使解題豁然開朗,因?yàn)檫@樣就可以利用題設(shè)條件當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0順利解題.

(1)令x＝y(tǒng)＝0,得f(0)＝0,再令y＝-x,得f(-x)＝-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

(2)由題意,設(shè)-1≤x1＜x2≤1,則

因?yàn)閤2-x1＞0,所以f(x2-x1)＞0,-f(x2-x1)＜0,即f(x1)＜f(x2),所以函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.

構(gòu)造x2＝(x2-x1)＋x1,解決了利用單調(diào)性定義證明中的難點(diǎn).

例10函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞),且對(duì)一切x＞0,y＞0,都有f＝f(x)-f(y),當(dāng)x＞1時(shí),有f(x)＞0.

(1)求f(1)的值;

(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

(3)若f(4)＝2,解不等式

第(1)問用賦值法求f(1);對(duì)于第(2)問f(x)的單調(diào)性,取自變量大于0的兩個(gè)點(diǎn)即可判斷出f(x)的單調(diào)性,證明該結(jié)論需構(gòu)造一個(gè)“大”自變量,讓它利用當(dāng)x＞1時(shí),f(x)＞0這一題設(shè)條件,故可想到＞1,f)＞0,之后的證明就自然而然了;第(3)問先根據(jù)f＝f(x)-f(y)與f(4)＝2猜出函數(shù)f(x)＝log2x,得到4＝log216＝f(16),之后用“穿脫”法解決.

(1)在f＝f(x)-f(y)中,令x＝y(tǒng)＝1,得f(1)＝0.

(2)由題意,設(shè)0＜x1＜x2,所以＞1,所以＞0,即f(x2)-f(x1)＞0,所以f(x1)＜f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

解得6＜x≤8,所以原不等式解集為(6,8].

例11定義在R上的函數(shù)y＝f(x),f(0)≠0,當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,f(2)＝3,且對(duì)任意的a,b∈R,有f(a＋b)＝f(a)f(b).

(1)求f(4)和f(0);

(2)求證:對(duì)任意的x∈R,恒有f(x)＞0;

(3)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

(4)不等式f(3-ax)f(ax2-3x)≤9在R上恒成立,求a的取值范圍.

第(1)問類比f(a＋b)＝f(a)f(b)用賦值法可求出f(0)和f(4);第(2)問根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,只需求證當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＞0即可,通過設(shè)x＜0,則-x＞0,再代入f(a＋b)＝f(a)·f(b)即可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的關(guān)系;第(3)問判斷f(x)的單調(diào)性,由f(0)與f(4)就可判斷出f(x)的單調(diào)性,證明需構(gòu)造一個(gè)“大”自變量,讓它利用當(dāng)x＞0 時(shí),f(x)＞1這一題設(shè)條件,故可想到x2-x1＞0,之后的證明就順理成章了;第(4)問根據(jù)第(3)問的單調(diào)性脫去函數(shù)符號(hào)“f”,之后蛻變?yōu)槎涡筒坏仁?再分類討論求解即可.

(1)在f(a＋b)＝f(a)f(b)中,令a＝b＝2,得f(4)＝9,再令a＝b＝0,結(jié)合f(x)≠0,得f(0)＝1.

(2)當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,故設(shè)x＜0,則-x＞0,f(-x)＞1在f(a＋b)＝f(a)f(b)中,令a＝x,b＝-x,得1＝f(x)f(-x),即

則0＜f(x)＜1,再有f(0)＝1.

綜上,對(duì)任意的x∈R,恒有f(x)＞0.

(3)由f(0)＝1,f(4)＝9猜測(cè)y＝f(x)在R 上為增函數(shù),下面給出證明.

設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,因?yàn)?/p>

因?yàn)閤2-x1＞0,所以f(x2-x1)＞1,1-f(x2-x1)＜0.由第(2)問f(x1)＞0,故f(x1)[1-f(x2-x1)]＜0,得f(x1)＜f(x2),所以f(x)在R上為增函數(shù).

(4)因?yàn)椴坏仁絝(3-ax)f(ax2-3x)≤9在R上恒成立,而f(4)＝9,故f(3-ax)f(ax2-3x)≤f(4),又因?yàn)閒(a＋b)＝f(a)f(b),所以f(3-ax＋ax2-3x)≤f(4),即

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R 上為增函數(shù),所以ax2-(a＋3)x＋3≤4,即ax2-(a＋3)x-1≤0在R 上恒成立,這是一個(gè)二次型不等式,下面分類討論.

當(dāng)a＝0時(shí),x≥-在R上不是恒成立,不滿足題意;

當(dāng)a≠0時(shí),不等式為ax2-(a＋3)x-1≤0,這是二次不等式,由ax2-(a＋3)x-1≤0在R上恒成立,必須滿足解得-9≤a≤-1,所以原不等式解集為[-9,-1].

第(2)問中,由當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞1,聯(lián)想到設(shè)x＜0,則-x＞0,f(-x)＞1,進(jìn)而利用1＝f(x)f(-x),轉(zhuǎn)化得出f(x)＝,體現(xiàn)出解題時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化與理性思維的重要性.

從本文可以看出,選擇合適的方法策略對(duì)解決抽象函數(shù)問題能起到十分重要的作用,對(duì)于五種方法策略的理解、掌握、應(yīng)用,則需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中多體會(huì)與感悟,這樣才能游刃有余地解決此類問題.另外,由于抽象函數(shù)問題題設(shè)的抽象性,解析式隱而不露,它的解答鍛煉了抽象思維能力、邏輯思維能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力,培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維,更激發(fā)了探索與創(chuàng)新精神.

(完)