丁杰

[摘 ?要] 正方形及矩形中的“十字架垂直”模型在數(shù)學(xué)幾何中十分常見，雖然模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但其轉(zhuǎn)化策略及模型結(jié)論有著廣泛的應(yīng)用. 文章將對(duì)一道引例加以分析并提煉解讀模型，結(jié)合實(shí)例拓展應(yīng)用，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 正方形;垂直;十字架;模型;變式

引例探究

例題 ?如圖1所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E和F分別是邊AD和AB上的點(diǎn)，且DF⊥CE，回答下列問題.

（1）求證：DF=CE;

（2）若點(diǎn)F是邊AB的中點(diǎn)，試連接BG，證明BG=BC，并求出此時(shí)sin∠GBC的值;

（3）分析點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，BG的最小值.

解析 ?（1）由于DF⊥CE，則△DEG為直角三角形，則∠EDG+∠DEG=90°，四邊形ABCD為正方形，則∠ADF+∠AFD=90°，可推知∠DEG=∠AFD，結(jié)合AD=DC，∠A=∠EDC=90°，可證△ADF≌△DCE，由全等性質(zhì)可得DF=CE.

（2）設(shè)定點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，可通過精準(zhǔn)計(jì)算線段長(zhǎng)來(lái)證明等線段.

解法1 ?過點(diǎn)G作BC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)I，如圖2所示. 可證圖中除△BGI外，其余的直角三角形均為相似關(guān)系，且三邊的相似比均為1 ∶ 2 ∶ ，進(jìn)而可計(jì)算出BI=，GI=，由勾股定理可得BG=4，可證BG=BC. 在Rt△GBI中，sin∠GBC=sin∠GBI==.

解法2 ?DC長(zhǎng)為定值4，所對(duì)∠DGC=90°為定角，結(jié)合“定弦定角”模型可知，其中含有隱形圓，即點(diǎn)G位于以DC為直徑的圓上，設(shè)圓心為M，連接GM，如圖3所示. 可證BG和BC均為☉M的切線，由切線長(zhǎng)相等可得BG=BC=4. 連接BM，可得∠GBC=2∠MBC，而在Rt△MBC中，可得tan∠MBC=，進(jìn)而可推得sin∠GBC=.

（3）點(diǎn)F是AB上的動(dòng)點(diǎn)，但垂直條件DF⊥CE不變，故點(diǎn)G的軌跡依然是以DC為直徑的半圓，顯然當(dāng)點(diǎn)G為BM與☉M的交點(diǎn)時(shí)，BG的長(zhǎng)度最小，此時(shí)BG=BM-r=BM-DC=2-2，即BG的最小值為2-2.

引例解讀

上述引例探究正方形中的幾何關(guān)系，所涉問題的核心特征有兩個(gè)：一是四邊形ABCD為正方形;二是DF⊥CE. 從外形來(lái)看，可視為是正方形中的“十字架垂直”結(jié)構(gòu)，即初中數(shù)學(xué)常見的“十字架”模型. 該模型常見的類型有兩種：①正方形中存在兩條十字交叉垂直的線段;②矩形中存在兩條十字交叉垂直的線段. 圍繞“十字架”模型可以推導(dǎo)出一些較為實(shí)用的結(jié)論，合理利用結(jié)論可提升解題效率，下面深入探究模型的拆解方式，并探究模型結(jié)論.

模型1：正方形中的“十字架垂直”模型

引例中所給出的“十字架垂直”模型是一種特殊形式，在圖形中構(gòu)建三角形全等關(guān)系可直接證明“十字架”所對(duì)應(yīng)的兩條線段等長(zhǎng). 而圖4是該模型的常規(guī)結(jié)構(gòu)，即在正方形ABCD中有EF⊥HG，若要證明EF和HG的長(zhǎng)度關(guān)系，則需另外構(gòu)建模型.

思路 ?基本策略依然是利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，可采用平移變換的方式來(lái)構(gòu)建三角形，作圖過程如下.

過點(diǎn)A作GH的平行線，與DC的交點(diǎn)為M，再過點(diǎn)B作EF的平行線，與AD的交點(diǎn)設(shè)為N，如圖5所示. 根據(jù)正方形中的平行性質(zhì)，可得HG=AM，EF=NB，即只需探究NB和AM的線段長(zhǎng)度關(guān)系即可. 而變形后的圖形與上述引例圖形相一致，只需證明△AMD≌△BNA，由全等性質(zhì)可得NB=AM，進(jìn)而可證EF=HG.

模型2：矩形中的“十字架垂直”模型

若將背景更換為矩形，則可構(gòu)建矩形中的“十字架垂直”模型，在該模型中同樣存在兩條互相垂直的線段，但顯然由于矩形的邊長(zhǎng)不等，線段便不再相等，下面結(jié)合具體圖形來(lái)探究. 在圖6所示的矩形ABCD中，有EF⊥HG，探究線段EF和GH的長(zhǎng)度關(guān)系.

思路 ?EF和GH不具有相等關(guān)系，采用類比思維，正方形背景下線段關(guān)系與正方形的邊長(zhǎng)相關(guān)，則矩形背景下可能與矩形的兩條邊長(zhǎng)比例相關(guān). 可以考慮采用“幾何平行+三角形相似轉(zhuǎn)化”的策略，即通過平移形成閉合三角形，然后證明三角形相似，由相似性質(zhì)來(lái)證明.

過點(diǎn)A作GH的平行線，與DC的交點(diǎn)為M，再過點(diǎn)B作EF的平行線，與AD的交點(diǎn)設(shè)為N，如圖7所示. 根據(jù)平行性質(zhì)，可得HG=AM，EF=NB，且AM⊥BN. 由∠ABN=∠MAD，∠D=∠BAN，可證△ADM∽△BAN，由相似性質(zhì)可得BN ∶ AM=AB ∶ DA，即EF ∶ GH=AB ∶ AD.

總結(jié)拓展

1. 模型總結(jié)

“十字架垂直”模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)極為鮮明，主要有上述兩種結(jié)構(gòu)，即正方形和矩形中的兩條十字交叉垂直線段. 該類模型的基本破題策略可概括如下：對(duì)兩條相互垂直的線段進(jìn)行平行，構(gòu)建封閉的三角形，然后證明相關(guān)三角形全等或相似. 通常有如下對(duì)應(yīng)結(jié)論：

①正方形的“十字架”模型中，兩條互相垂直的線段長(zhǎng)度相等;

②矩形的“十字架”模型中，兩條相互垂直的線段的比等于矩形的長(zhǎng)寬之比.

2. 拓展探究

“十字架垂直”模型的解析策略和模型結(jié)論在解題中有著廣泛的應(yīng)用，合理利用可有效轉(zhuǎn)化條件，顯著提升解題效率. 應(yīng)用時(shí)需要同時(shí)滿足模型的兩大特征條件，而模型應(yīng)用有兩種思路：一是直接利用模型中與線段相關(guān)的條件，二是巧妙利用模型解析的策略，即通過全等或相似轉(zhuǎn)化來(lái)推導(dǎo)條件. 對(duì)于隱藏模型的問題，實(shí)際解題需分兩步進(jìn)行：第一步，補(bǔ)全或挖掘模型，提取“十字架垂直”模型;第二步，利用模型的結(jié)論或轉(zhuǎn)化策略求解問題. 下面結(jié)合實(shí)例探索應(yīng)用.

應(yīng)用1：直接利用模型結(jié)論

例1 ?如圖8所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為24 cm，折疊正方形使得點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)E處，壓平后的折痕為FG，如果FG的長(zhǎng)為25 cm，則線段CE的長(zhǎng)為______.

解析 ?連接AE，由折疊性質(zhì)可知折痕FG和AE為垂直關(guān)系，故問題圖形滿足“十字架垂直”模型，由模型性質(zhì)可知AE=GF=25 cm. 而在Rt△ADE中，已知AD=24 cm，AE=25 cm，由勾股定理可得DE=7 cm，所以CE=CD-DE=17 cm.

評(píng)析 ?在上述題目中，雖沒有直接指明圖形滿足“十字架垂直”模型，但結(jié)合折疊特性，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可獲知正方形中存在兩條交叉垂直的線段，故可直接利用模型結(jié)論來(lái)推導(dǎo)線段關(guān)系.

應(yīng)用2：巧用模型補(bǔ)全策略

例2 ?在圖9所示的四邊形ABCD中，已知∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M和N分別位于BC和AB上，試求DN和AM的比值.

解析 ?本題目中以普通四邊形為背景，其中存在交叉線段垂直關(guān)系，則可以考慮采用補(bǔ)全模型的策略，即依托交叉垂直線段構(gòu)建矩形.

過點(diǎn)D作AB的平行線，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，再過點(diǎn)A作AB的垂線，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，再連接AC，如圖10所示. 根據(jù)已知條件可得△ADC≌△ABC，可證△ADF∽△DCE，由相似性質(zhì)可得DE ∶ AF=DC ∶ AD=1 ∶ 2. 設(shè)DE=x，則AF=2x，DF=10-x. 在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2，可解得x=4，所以AF=2x=8，進(jìn)而可推得DN ∶ AM=AF ∶ AB=4 ∶ 5.

評(píng)析 ?上述問題中雖沒有直接顯現(xiàn)出矩形中的“十字架垂直”模型，但可以通過模型補(bǔ)全的方式，構(gòu)建出矩形，進(jìn)而利用矩形背景中模型的解析策略來(lái)轉(zhuǎn)化條件.

解后反思

模型探究是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生能力的提升，而在實(shí)際教學(xué)中建議關(guān)注教材，循序引導(dǎo)，重視拓展，下面提出相應(yīng)教學(xué)建議.

1. 關(guān)注教學(xué)模型，認(rèn)識(shí)模型結(jié)構(gòu)

上述對(duì)正方形及矩形中的“十字架垂直”模型進(jìn)行了探究，實(shí)際上所涉模型源于教材習(xí)題，是基礎(chǔ)圖形中的特殊結(jié)構(gòu). 雖模型簡(jiǎn)單，但其中隱含的轉(zhuǎn)化策略和特殊結(jié)論有著極高的價(jià)值，可有效提升學(xué)生的解題能力. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材習(xí)題，注重模型提取，特征總結(jié)，尤其是總結(jié)模型中的基本結(jié)構(gòu)，如上述模型中交叉線段的構(gòu)建方式，線段的垂直關(guān)系. 通過結(jié)構(gòu)分析、特征總結(jié)來(lái)使學(xué)生認(rèn)識(shí)模型.

2. 循序引導(dǎo)深入，挖掘模型本質(zhì)

模型探究建議采用“由淺入深、循序引導(dǎo)”的策略. 上述模型是基于特殊圖形、特殊三角形關(guān)系所構(gòu)建的，并隱含了線段平移或補(bǔ)全的建模方式，其中的“圖形與關(guān)系”是對(duì)全等三角形、相似三角形等知識(shí)的重現(xiàn)，而“平移與補(bǔ)全”是對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)、動(dòng)態(tài)變換的突出體現(xiàn). 教學(xué)中建議首先引導(dǎo)學(xué)生重溫三角形的特殊關(guān)系，掌握全等及相似的證明方法;然后開展模型探究，關(guān)注模型的本質(zhì)、結(jié)構(gòu);最后將模型與圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)，形成模型構(gòu)建、解析轉(zhuǎn)化的策略.

3. 拓展遷移模型，提升數(shù)學(xué)思維

遷移模型有助于強(qiáng)化模型應(yīng)用、拓展學(xué)生思維. 實(shí)際探究中建議引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖C明過程，在此基礎(chǔ)上開展模型遷移，如從“一線三直角”的視角認(rèn)識(shí)模型，從輔助線構(gòu)建方式的角度總結(jié)模型，從模型結(jié)論與圖形結(jié)構(gòu)的視角分析模型. 教學(xué)中注重學(xué)生的思維培養(yǎng)，采用由特殊到一般的探究方法，引導(dǎo)學(xué)生合理討論、充分思考，使學(xué)生在自主探究中掌握模型、再生應(yīng)用，獲得思維升華.