錢宜鋒

[摘 ?要] 結(jié)合溫州中考第24題，闡述如何基于素養(yǎng)導(dǎo)向，創(chuàng)造性地使用教材進(jìn)行建模的全過程. 該題考查學(xué)生的建模能力，不過分依賴模型結(jié)果的應(yīng)用，有利于學(xué)生建模素養(yǎng)的培育.

[關(guān)鍵詞] 中考壓軸題;素養(yǎng)導(dǎo)向;函數(shù)建模;目標(biāo)意識

數(shù)學(xué)建模作為初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是指初中學(xué)生對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識構(gòu)建、優(yōu)化模型，進(jìn)而解決問題的整個(gè)過程. 但目前，能有效地考查初中學(xué)生此類素養(yǎng)培養(yǎng)情況的題目較少，且偏重考查模型的應(yīng)用能力，忽視模型的建構(gòu)和優(yōu)化過程. 下面以2019年浙江省溫州市中考試題第24題為例，簡要地談?wù)勗擃}是如何引領(lǐng)學(xué)生在動(dòng)點(diǎn)問題中建構(gòu)、優(yōu)化勻速運(yùn)動(dòng)等數(shù)學(xué)模型，以提高初中學(xué)生建構(gòu)復(fù)合模型的能力，為提升初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定良好的基礎(chǔ).

試題呈現(xiàn)

（2019年浙江溫州卷第24題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，正方形AOCD的頂點(diǎn)D在第二象限，E是BC中點(diǎn)，OF⊥DE于點(diǎn)F，連接OE.動(dòng)點(diǎn)P在AO上從點(diǎn)A向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在直線BC上從某一點(diǎn)Q向終點(diǎn)Q勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長.

（2）設(shè)Q為（m，n），當(dāng)=tan∠EOF時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合.

①延長AD交直線BC于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在線段QQ上時(shí)，設(shè)QQ=s，AP=t，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)PQ與△OEF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的AP的長.

試題“特色”解讀

1. 聚焦核心知識，內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)

本題涉及大量的初中數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)，有正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似（全等）、解直角三角形、函數(shù)的表達(dá)式、方程（組）、代數(shù)式變形等，能全面地考查初中學(xué)生的初中數(shù)學(xué)核心知識掌握情況.

該題圖形的原形取材于教材，通過“∠EOF的正切值與點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)（m，n）的數(shù)量關(guān)系，確定終點(diǎn)Q的位置”的巧妙設(shè)置，對前、后設(shè)問進(jìn)行緊密關(guān)聯(lián)，能促進(jìn)學(xué)生建立系統(tǒng)性的邏輯推理能力.

2. 考查核心素養(yǎng)，培養(yǎng)目標(biāo)意識

命題人將平面直角坐標(biāo)系中斜放的直角三角形作為本試題背景，意圖考查學(xué)生的幾何直觀、運(yùn)算能力（利用勾股定理、面積法直接求的值，或利用“K”型圖把邊的比值進(jìn)行顯性轉(zhuǎn)化）、推理能力和模型思想.

此外，該題的解題目標(biāo)明確，使得學(xué)生可通過圍繞此目標(biāo)，初步構(gòu)建所需的基本圖形或模型，進(jìn)而發(fā)掘隱含條件，從而提高解題效率，使學(xué)生有更多的時(shí)間來攻克其他難題.

3. 考查建模過程，完善解題途徑

本題第（3）問的①小問對學(xué)生自主建模過程進(jìn)行了全面檢驗(yàn). 其巧妙之處在于動(dòng)點(diǎn)不知從何處來，速度為多少，要確定s關(guān)于t的函數(shù)類型，先要了解兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，依此確定函數(shù)類型. 在確定函數(shù)類型之后，學(xué)生可從待定系數(shù)法、兩個(gè)變量（s，t）之間的數(shù)量關(guān)系等多個(gè)角度入手，求得函數(shù)表達(dá)式. 這一整個(gè)過程，可被視為濃縮的函數(shù)建模過程——不僅涉及函數(shù)類型的確定過程，而且還有函數(shù)表達(dá)式的求解.

試題多解

1. 第（2）問的多解過程

解法1 ?如圖2，設(shè)DE交CO于點(diǎn)N，作EM⊥OC于點(diǎn)M，則EM∥CD，由△CDN≌△MEN，易得CN=MN=1，EN=.由EN·OF=ON·EM，得OF==.

由勾股定理得EF=，所以tan∠EOF=，=×=.又因?yàn)閚=-m+4，所以Q為（6，1）.

解法2 ?如圖3，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，CG⊥EH于點(diǎn)G，連接DO，S=S-S-S-S=12，DE=2，所以O(shè)F=. 又因OE=2，由勾股定理得EF=，所以tan∠EOF=，以下同解法1（略）.

解法1，2分析：由于點(diǎn)Q在直線y= -x+4上，因此要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，只需另找m與n的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而只需知道tan∠EOF的值. 在Rt△OFE中易得OE的長，因此還需求OF（或FE）的長，而由OF的值的確定，自然聯(lián)想到用面積法尋找等量關(guān)系.

因此，求解本題的關(guān)鍵是利用面積法得到OF的長. 本題著重考查了學(xué)生的幾何直觀及復(fù)雜運(yùn)算能力的核心素養(yǎng).

解法3 如圖4，設(shè)EF為x，因?yàn)镈E=2，OD=4，OE=2，由OF2=OD2-DF2=OE2-EF2得（4）2-（2-x）2=（2）2-x2，解得x=，由勾股定理得OF=，所以tan∠EOF=，以下同解法1（略）.

解法3分析：要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，只需知道tan∠EOF的值，在Rt△OFE中易得OE的長，因此還需求FE（或OF）的長，而由EF的值的確定，自然聯(lián)想到用勾股定理尋找等量關(guān)系.

因此，求解本題的關(guān)鍵是利用勾股定理得到EF的長. 本題著重考查了學(xué)生利用勾股定理解決問題的能力.

解法4 ?如圖5（“K”型1），過點(diǎn)F作FH⊥y軸于點(diǎn)H，EI⊥FH于點(diǎn)I，直線DE（FE）的表達(dá)式為：y=-x+3，所以直線OF的表達(dá)式為：y=4x. 聯(lián)立方程

y=-x+3，

y=4x，解得F

，. 由△HOF∽△IFE，得tan∠EOF===. 以下同解法1（略）.

解法5 ?如圖6（“K”型2），作FK⊥x軸于點(diǎn)K，JE⊥FK于點(diǎn)J，由直線DE和直線OF聯(lián)立方程，求出F

，

，所以FK=，EJ=. 由于△EFJ∽△FOK得tan∠EOF===，以下同解法1（略）.

解法4，5分析：要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，只需知道tan∠EOF的值，即需要知道的值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對應(yīng)邊的比值，而由求對應(yīng)邊的比值，自然聯(lián)想到通過構(gòu)造“K”型圖，利用直角三角形相似性質(zhì)求解.

因此，求解本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造的“K”型圖把邊的比值進(jìn)行顯性轉(zhuǎn)化. 這種通過“切割、構(gòu)造”含已知數(shù)量關(guān)系的基本圖形，尋找圖形之間顯性關(guān)系的問題解決過程，就是引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注建構(gòu)、優(yōu)化基本圖形模型的過程. 這對學(xué)生幾何直觀的應(yīng)用提出了較高層次的要求，達(dá)到了考查學(xué)生幾何直觀的應(yīng)用意識的目的.

解法6 ?如圖7，過點(diǎn)O作OM⊥OE交DE于點(diǎn)M，直線OE的表達(dá)式為：y=x，直線OM的表達(dá)式為y=-2x，聯(lián)立方程

y=-x+3，

y=-2x，解得M

-

，. 由勾股定理得OM=所以tan∠EOF=tan∠1= ==，以下同解法1（略）.

解法7 ?如圖8，作DG⊥OE于點(diǎn)G，延長DA，EO交于點(diǎn)H，易得∠EOF=∠1，∠2=∠3，直線OE的表達(dá)式為y=x，H（-4，-2），DH=4+2=6，tan∠2=tan∠3=，所以HG==，DG=. 所以EG=4-=. 所以tan∠EOF=tan∠1===，以下同解法1（略）.

解法8 ?如圖9，過點(diǎn)E作EG⊥OB于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EG于點(diǎn)H，因?yàn)椤螼GE=∠OFE=90°，所以F，O，G，E四點(diǎn)共圓. 所以∠FOE=∠FGE.由直線DE和直線OF聯(lián)立方程，求出F

，

，所以FH=4-=，HG=y=. 所以tan∠FOE=tan∠FGE==.以下同解法1（略）.

解法6，7，8分析：要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，只需知道tan∠EOF的值，進(jìn)而需要知道相等角的正切值，而由求相等角的正切值，自然聯(lián)想到通過構(gòu)造“K”型圖（或輔助圓），利用同角的余角相等（或同弧所對的圓周角相等）找到相等角的正切值.

因此，求解本題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造的“K”型圖（或輔助圓）把角的正切值進(jìn)行顯性轉(zhuǎn)化. 這種通過基本圖形“構(gòu)造”還原，顯化圖形之間角的正切值關(guān)系的解法，為建構(gòu)、優(yōu)化基本圖形指明方向，能有效考查學(xué)生的幾何直觀能力.

2. 第（3）問①小問的多解過程

解法1 ?因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，所以s關(guān)于t成一次函數(shù)關(guān)系. 設(shè)s=kt+b，將t=2，

s=2和t=4，

s=5 代入得

2k+b=2，

4k+b=5，解得

k=

，

b=-，所以s=t-.

解法1分析：要確定s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，先要確定函數(shù)的類型，由動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，可知該函數(shù)為一次函數(shù)類型，要確定該函數(shù)的表達(dá)式需要兩組獨(dú)立的關(guān)于s，t的數(shù)據(jù)，根據(jù)第（2）問所求的點(diǎn)Q坐標(biāo)，易獲得所需的數(shù)據(jù). 求解本題的關(guān)鍵是利用已知條件動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)特征確定函數(shù)類型，這種通過兩個(gè)變量之間關(guān)系確定函數(shù)類型的考查，直擊對函數(shù)的本質(zhì)意義的理解.

解法2 ?當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合，可知，當(dāng)點(diǎn)P從AO中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q從C運(yùn)動(dòng)到Q，所以CQ=CQ=3，QQ=. 所以===，于是有=，即s=t-.

解法3 ?設(shè)從起點(diǎn)到任意時(shí)刻運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a，從起點(diǎn)到終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為b，s=-，t=，化簡得s=t-.

解法2，3分析：要確定s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，只需找到變量s，t之間的數(shù)量關(guān)系的等式，由動(dòng)點(diǎn)P，Q均勻速運(yùn)動(dòng)及時(shí)間相同，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q的速度比等于路程比（或點(diǎn)P，Q的路程=速度×?xí)r間），因此易獲得s，t之間的數(shù)量關(guān)系的等式. 求解本題的關(guān)鍵是利用動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)規(guī)律找到變量s，t之間的關(guān)系，這種通過數(shù)量關(guān)系確定表達(dá)式的方法能更好地完善求函數(shù)表達(dá)式的途徑.

教學(xué)建議

1. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向，引導(dǎo)教學(xué)轉(zhuǎn)向

在選取教材圖形作為本題原形時(shí)，應(yīng)基于該圖形所承載的考查核心素養(yǎng)（直觀想象、運(yùn)算能力、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等）的功能，考慮評價(jià)其反撥教學(xué)的作用. 這就要求命題人要把以“知識立意”“能力立意”的教育轉(zhuǎn)為以“知識為基、能力為重、素養(yǎng)導(dǎo)向”的素養(yǎng)教育.

學(xué)生通過解決具有素養(yǎng)導(dǎo)向的創(chuàng)新情景的綜合性問題，能有效地融會不同知識. 此外，以素養(yǎng)為導(dǎo)向的創(chuàng)新情景，有利于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性地思考問題、解決問題.

2. 活用基本圖形，培養(yǎng)目標(biāo)意識

基于以上解法可知，通過圍繞明確的解題目標(biāo)，活用基本圖形（如三角形全等、三角形外接圓、“K”型圖、新矩形等），使得本題的解法豐富多樣，思維容易形成. 此外，由于此題還考查了復(fù)雜運(yùn)算的能力，這就對初中學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求. 若學(xué)生還沒達(dá)到相應(yīng)的要求，將導(dǎo)致其不能熟練駕馭復(fù)雜運(yùn)算、基本圖形. 因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師要重視解題目標(biāo)的確立和基本圖形的形成過程. 通過經(jīng)歷解決問題全過程，積累為目標(biāo)而運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，為培養(yǎng)良好的解題目標(biāo)意識奠定基礎(chǔ).

3. 積累函數(shù)建模經(jīng)驗(yàn)

本題強(qiáng)化對一次函數(shù)刻畫勻速運(yùn)動(dòng)模型的考查，精確描述運(yùn)動(dòng)問題需要確定出發(fā)點(diǎn)、終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)速度、時(shí)間等關(guān)鍵要素. 本題創(chuàng)新之處在于可直接利用的信息非常有限，一是兩個(gè)變量（s，t）做勻速運(yùn)動(dòng)，二是已知終點(diǎn)位置. 因此平時(shí)教學(xué)應(yīng)展示運(yùn)動(dòng)全過程，從兩個(gè)變量的變化規(guī)律、數(shù)量關(guān)系入手，助力學(xué)生確定函數(shù)類型、表達(dá)式. 這一整個(gè)過程就是有效地積累函數(shù)建模經(jīng)驗(yàn)的過程.

總之，壓軸題常承載著核心素養(yǎng)導(dǎo)向，突出數(shù)學(xué)思想方法. 課本練習(xí)題的創(chuàng)新應(yīng)用也許能成為以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的一大新的應(yīng)用方向.