張 剛

(安徽省宿州應(yīng)用技術(shù)學(xué)校 234000)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.若集合A={x∈Z|x2+2x≤0}，則集合A的子集個(gè)數(shù)為( ).

A.3 B.6 C.8 D.9

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.如圖1，戰(zhàn)國(guó)商鞅銅方升是公元前344年商鞅督造的標(biāo)準(zhǔn)量器.秦始皇統(tǒng)一中國(guó)后，仍以商鞅所規(guī)定的制度和標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一全國(guó)的度量衡.經(jīng)測(cè)量，該銅方升內(nèi)口(長(zhǎng)方體)深1寸，內(nèi)口長(zhǎng)是寬的1.8倍，內(nèi)口的表面積(不含上底面)為33平方寸，則該銅方升內(nèi)口的容積為( ).

圖1

A.5.4立方寸 B.8立方寸

C.16立方寸 D.16.2立方寸

4.若a∈R+,二項(xiàng)式(ax+1)6的展開(kāi)式中所有的系數(shù)之和為729，則實(shí)數(shù)a的值為( ).

A.-3 B.-2 C.3 D.2

5.若正六邊形ABCDEF是圓O的內(nèi)接正六邊形，則在圓O中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自正六邊形ABCDEF內(nèi)(含邊界)的概率為( ).

6.已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為( ).

圖2

A.(0，ln2] B.(-∞,-ln2]∪[ln2,+∞)

C.(-∞,ln2] D.[-ln2,ln2]

A.g(1)>x1x2B.g(1)

C.g(1)=x1x2D.無(wú)法比較

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)

16.甲、乙、丙、丁四人玩數(shù)字游戲，其中一人進(jìn)行監(jiān)督，每人從標(biāo)有數(shù)字1到12的12張卡片中抽取4張.

甲說(shuō)：我抽到的數(shù)字有6和11；

乙說(shuō)：我抽到的數(shù)字有10和12；

丙說(shuō)：我抽到的數(shù)字特別有意思，你們能猜中其中兩個(gè)嗎？

監(jiān)督員丁看了丙抽到的數(shù)字，說(shuō)：真奇妙，你們?nèi)齻€(gè)所抽到的數(shù)字之和相等.

從他們的對(duì)話，你可以推斷丙所抽到的數(shù)字中必有兩個(gè)數(shù)字為_(kāi)___.

三、簡(jiǎn)答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

17.(12分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S5=S3+24，a2a7+a4a5=256.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

18.(12分)如圖3，三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB⊥BB1,BB1=2,O,D分別為棱AB1,A1C1的中點(diǎn).

圖3

(1)求證：OD∥平面BCC1B1；

(2)若平面ABC⊥平面ABB1A1，求直線OD與平面AB1C所成的角的正弦值.

19.(12分)某班主任對(duì)本班40名同學(xué)每天參加課外活動(dòng)的時(shí)間(分鐘)進(jìn)行了詳細(xì)統(tǒng)計(jì)，并繪制成頻率分布直方圖，如圖4所示：

圖4

(1)求實(shí)數(shù)a的值以及參加課外活動(dòng)時(shí)間在[10,20]中的人數(shù)；

(2)從每天參加活動(dòng)不少于40分鐘的人中任選3人，用X表示參加課外活動(dòng)不少于50分鐘的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l與橢圓C相切，求證：點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之積為定值.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2-4x+4+alnx.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(1)求曲線C1的一般方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)P在曲線C1上，點(diǎn)Q在曲線C2上，求|PQ|的最小值．

23.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-a+1|．

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求解不等式f(x)≥8；

參考答案

1.C.A={x∈Z|x2+2x≤0}={-2,-1,0}，則集合A的子集個(gè)數(shù)為23=8.

4.D.當(dāng)x=1時(shí)，可得二項(xiàng)式展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，即(a+1)6=729，所以a+1=±3，解得a=2或a=-4(舍去).

5.B.設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，則正六邊形的外接圓半徑為a，則

14.延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使|AD|=|DE|,則四邊形ABEC是平行四邊形，由余弦定理知，|AE|2+|BC|2=2(|BA|2+|AC|2)，解得|BC|2=14>|AB|2+|AC|2，則△ABC的形狀為鈍角三角形.

16.由題意知，所有數(shù)字之和為78，則甲乙丙三人每人抽到的4個(gè)數(shù)字之和均為26，則乙抽到的另外兩張卡片必為1，3，甲抽到的另外兩張卡片為2，7或5，4則丙所抽到的數(shù)字必有8，9.

18.(1)連接A1B，則A1B與AB1交于點(diǎn)O.如圖5所示，連接BC1.顯然四邊形ABB1A1為矩形，O,D分別為棱AB1,A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A1BC1的中位線.所以O(shè)D∥BC1.而OD?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以O(shè)D∥平面BCC1B1.

圖5

(2)若平面ABC⊥平面ABB1A1，如圖6，取AB的中點(diǎn)P,因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以CP⊥AB.

圖6

因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ABB1A1=AB，所以CP?平面ABC，所以CP⊥平面ABB1A1.所以CP⊥PB,CP⊥PO.

19.(1)因?yàn)樗行【匦蚊娣e之和等于1，所以可得方程10a+0.02×10+0.0375×10+0.0175×10+10a=1，解得a=0.0125，由于參加課外活動(dòng)時(shí)間在[10,20]內(nèi)的頻率等于0.0125×10=0.125，因此參加課外活動(dòng)時(shí)間在[10,20]中的人數(shù)為40×0.125=5.

X0123P7442144722122

20.(1)曲線|y|=x+1與x軸的交點(diǎn)為(-1,0)，所以F1(-1,0),a2-b2=1.

綜上可知，可得直線l與橢圓C相切時(shí)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之積為定值1.

21.(1)因?yàn)閒(x)=x2-4x+4+alnx，

設(shè)g(x)=2x2-4x+a，則△=8(2-a).

當(dāng)a≥2時(shí)，△≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)cosθ=1時(shí)，|PO|min=3.

所以|PQ|的最小值3-1=2．

23.(1)當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=|2x-4|+|x-3|.

當(dāng)x≥3時(shí)，2x-4+x-3≥8，解得x≥5;

當(dāng)2

綜上可得，a的范圍為[-2，1]．