考慮供應(yīng)商和客戶風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的服務(wù)備件供應(yīng)鏈的PBC合同設(shè)計(jì)

摘 要：基于績(jī)效的服務(wù)備件供應(yīng)鏈PBC模式，降低了總的維修服務(wù)成本，但PBC的實(shí)施也將風(fēng)險(xiǎn)全部轉(zhuǎn)移給了供應(yīng)商。本文以可靠性和庫(kù)存水平作為決策變量，考慮合同雙方的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，設(shè)計(jì)了成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)來(lái)規(guī)避PBC合同運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。研究表明，成本分配系數(shù)主要用來(lái)分?jǐn)偝杀撅L(fēng)險(xiǎn)，績(jī)效懲罰系數(shù)主要保障運(yùn)營(yíng)績(jī)效目標(biāo)，兩者存在著互補(bǔ)關(guān)系。成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)的設(shè)立與供應(yīng)商和客戶的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度直接相關(guān)，在供應(yīng)商和客戶都屬于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情形下，隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度和客戶與供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)的增加，成本分配系數(shù)下降，績(jī)效懲罰系數(shù)提高。

關(guān)鍵詞：PBC合同;風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度;服務(wù)備件供應(yīng)鏈

中圖分類號(hào)：F274文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2097-0145（2022）02-0049-07doi：10.11847/fj.41.2.49

PBC Contract Design of Service Parts Supply Chain by ConsideringRisk Attitude of Supplier and Customer

DAI Yong

（Faculty of Economics and Management， East China Normal University， Shanghai 200063， China）

Abstract：The performance based service spare parts supply chain PBC model reduces the total maintenance service cost， but the implementation of PBC also transfers all risks to supplier. Taking reliability and inventory level as decision variables and considering the risk attitude of supplier and customer，this paper designs cost allocation coefficient and performance penalty coefficient to avoid PBC contract operation risk. The research shows that the cost allocation coefficient is mainly used to share the cost risk， and the performance penalty coefficient is mainly used to guarantee the operation performance goal. There is a complementary relationship between the two. The cost allocation coefficient and performance penalty coefficient are directly related to the risk attitude of supplier and customer. When both supplier and customer are risk averse， with the increase of suppliers risk aversion and the multiple of customer and suppliers risk attitude， the cost allocation coefficient should decrease and the performance penalty coefficient should increase.

Key words：PBC contract; risk attitude; service parts supply chain

1 引言

隨著競(jìng)爭(zhēng)的激烈，愈來(lái)愈多的企業(yè)開(kāi)始從售后服務(wù)領(lǐng)域獲取競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)[1]。傳統(tǒng)的售后服務(wù)模式主要采用基于時(shí)間和物料的合同（Time & Material Contract，TMC），即客戶根據(jù)設(shè)備維修備件的價(jià)格、勞動(dòng)力資源、維修時(shí)間付費(fèi)。隨著設(shè)備的高新技術(shù)化，復(fù)雜化，維修內(nèi)容大幅增加，維修難度和工作量也相應(yīng)大幅提升，近年來(lái)PBC合同模式（Performance Based Contract， PBC）逐步興起，這類合同采用基于績(jī)效的維修服務(wù)整體外包模式，即由制造商負(fù)責(zé)從提供設(shè)備到完成設(shè)備售后服務(wù)任務(wù)的整體供應(yīng)鏈服務(wù)，客戶根據(jù)績(jī)效水平對(duì)制造商進(jìn)行一定的獎(jiǎng)懲[2，3]。該模式構(gòu)建了全生命周期的系統(tǒng)工程管理方法，實(shí)現(xiàn)了服務(wù)備件供應(yīng)鏈雙方合作雙贏的可持續(xù)發(fā)展，已經(jīng)成為裝備工程管理的新型供應(yīng)鏈服務(wù)模式，在軍事裝備工程、核電工程等領(lǐng)域得到了重要應(yīng)用。

在PBC的合同構(gòu)建中，通過(guò)合同條款的設(shè)定可以實(shí)現(xiàn)供應(yīng)商和客戶的雙贏與可持續(xù)發(fā)展，其中包括了有效的激勵(lì)和風(fēng)險(xiǎn)的分配[4]，一定的激勵(lì)政策可以引導(dǎo)供應(yīng)商努力提高裝備可靠性， 改善供應(yīng)鏈績(jī)效。為了實(shí)現(xiàn)合同給定的績(jī)效水平，庫(kù)存和可靠性是兩個(gè)重要的變量，在PBC合同下，不僅僅通過(guò)庫(kù)存管理[5]來(lái)實(shí)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)優(yōu)化，提高設(shè)備自身的可靠性也是一個(gè)非常有效的途徑。由于可靠性的提升會(huì)降低庫(kù)存水平，如何實(shí)現(xiàn)可靠性與庫(kù)存之間的均衡就成為PBC模式下服務(wù)備件供應(yīng)鏈研究的重點(diǎn)[6～9]。然而隨著PBC合同的實(shí)施，服務(wù)提供商接管了原先客戶自行負(fù)責(zé)的維修與服務(wù)，同時(shí)也帶來(lái)了風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移，既包括由于對(duì)某些客戶提供獨(dú)家的PBC服務(wù)而喪失了中立性帶來(lái)的其他客戶流失的戰(zhàn)略風(fēng)險(xiǎn)[10]，又包括實(shí)施PBC的投資風(fēng)險(xiǎn)的加大。PBC的引入從本質(zhì)上將風(fēng)險(xiǎn)全部轉(zhuǎn)移給了供應(yīng)商，因此風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題將成為PBC下影響服務(wù)備件供應(yīng)鏈運(yùn)營(yíng)效果的重要組成部分[11]，并成為影響企業(yè)實(shí)施基于PBC的裝備工程供應(yīng)鏈管理的關(guān)鍵因素[12]。429ADB67-BE87-4E5C-990E-44F10EED108E

由于PBC合同也是典型的委托代理合同，因此可以運(yùn)用委托代理理論來(lái)分析PBC的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題[13]，在PBC中道德風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)主要的考慮，包括考慮到客戶使用設(shè)備中的魯莽行為可能存在雙重道德風(fēng)險(xiǎn)[14]?？蛻艉推髽I(yè)的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度如何影響委托代理合同的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)重要的研究方向[15]。Niak[16]運(yùn)用多任務(wù)的委托代理模型來(lái)優(yōu)化PBC合同，設(shè)計(jì)了三種合同類型研究了由于PBC績(jī)效不確定性所帶來(lái)的不同的風(fēng)險(xiǎn)變化。Kim等[17，18]構(gòu)建了一個(gè)PBC合同的兩階段分析框架，將可靠性和庫(kù)存水平結(jié)合在一起，但是更多的是考慮備件所有權(quán)對(duì)于合同優(yōu)化的影響，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的影響沒(méi)有深入分析。由于PBC的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題是合同優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要組成方面，因此本文將風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題納入到合同設(shè)計(jì)的范疇。考慮到供應(yīng)商和客戶的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度構(gòu)成了PBC合同的基礎(chǔ)性風(fēng)險(xiǎn)，因此本文的創(chuàng)新之處在于引入供應(yīng)商和客戶的風(fēng)險(xiǎn)厭惡假設(shè)，研究風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度影響下的PBC合同參數(shù)該如何設(shè)計(jì)，以有效規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，從而為基于PBC的服務(wù)備件供應(yīng)鏈模式在裝備工程管理中的應(yīng)用提供對(duì)策。

2 PBC合同的模型構(gòu)建

2.1 基于可靠性和庫(kù)存水平的期望缺貨和期望方差函數(shù)

首先，我們對(duì)運(yùn)營(yíng)環(huán)境進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)備件的平均故障間隔時(shí)間MTBF=τ，作為可靠性的衡量指標(biāo)，τ∈（τ，），故障需求發(fā)生服從泊松分布D（τ），備件的庫(kù)存水平為s?？紤]典型的備件庫(kù)存管理方法：當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)利用備件庫(kù)存進(jìn)行替換，如果庫(kù)存不夠，則產(chǎn)生缺貨，部件進(jìn)入維修系統(tǒng)，修復(fù)完畢后返回備件庫(kù)存。期望缺貨數(shù)量可以表示為B|τ，s=（D（τ）-s）+?？紤]到本文的主要內(nèi)容是關(guān)于合同優(yōu)化的問(wèn)題，因此為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們引入正態(tài)分布來(lái)替代泊松需求。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)取樣樣本數(shù)N很大時(shí)，泊松分布可以近似于正態(tài)分布。

因此我們考慮需求服從（1τ，1τ）的正態(tài)分布，令z=s-1τ1τ，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換我們得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)和密度函數(shù)：φ（z）=1

2πe-z22，（z）=∫z-∞φ（x）dx，從而獲得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的期望缺貨數(shù)量和期望缺貨方差

E[B|τ，s]=（z（z）+φ（z）-z）τ（1）

var[B|τ，s]=（z2τ+1τ）（1-（z））-

zτφ（z）-（（z（z）+φ（z）-z）τ）2（2）

根據(jù)Kim等[17，18]的研究，E[B|τ，s]和var[B|τ，s]具有如下性質(zhì)：期望缺貨均值和期望缺貨方差是庫(kù)存水平和故障可靠性的凸減函數(shù)。

2.2 供應(yīng)商與客戶的PBC的合同模型框架

與傳統(tǒng)合同模式下不同，PBC下客戶自己不擁有庫(kù)存，此時(shí)客戶的運(yùn)營(yíng)成本函數(shù)Cc（τ，s）=0，客戶的總支出成本函數(shù)為E[T（τ，s）]=ω-vE[B|τ，s]，其中ω為固定的支付金額，v為供應(yīng)商缺貨造成的績(jī)效懲罰系數(shù)。即PBC合同支付包含了固定部分和績(jī)效獎(jiǎng)懲部分，如果此時(shí)供應(yīng)商的運(yùn)營(yíng)成本為Cs（τ，s），則供應(yīng)商的利潤(rùn)函數(shù)可以寫成ω-vE[B|τ，s]-Cs（τ，s）。因此PBC合同的目標(biāo)為優(yōu)化{ω，v}實(shí)現(xiàn)客戶總支出最小化，滿足約束條件：E[B|τ*，s*]≤B0;（τ*，s*）∈arg max{ω-vE[B|τ，s]-Cs（τ，s）};ω-vE[B|τ，s]-Cs（τ*，s*）≥u，其中u為保留效用，B0為合同規(guī)定系統(tǒng)的最低可靠性要求，例如95%的保障要求下，當(dāng)N=80時(shí)，缺貨數(shù)量B0=4。

3 PBC合同設(shè)計(jì)：供應(yīng)商和客戶風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的影響

風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度一般分為三種：風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)偏好。由于PBC合同的風(fēng)險(xiǎn)較高，這里我們假設(shè)供應(yīng)和客戶都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的（風(fēng)險(xiǎn)中性看成是一個(gè)特例），他們的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度影響到了用期望-方差模式表征的效用函數(shù)

E[U（X）]=E[X]-12γivar（X）

其中γi為風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，γc為客戶的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，γs為供應(yīng)商的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。

3.1 引入成本分配系數(shù)的PBC合同模式設(shè)計(jì)

（1）合同模式設(shè)計(jì)

在PBC的合同設(shè)計(jì)中，客戶參與供應(yīng)商的成本分擔(dān)，可以有效地分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，因此我們?cè)赑BC合同模式的構(gòu)建中，引入成本分配系數(shù)，構(gòu)建合同模型T（CT，B）=ω+αCT-vB，其中ω為固定的支出費(fèi)用，α為客戶分擔(dān)供應(yīng)商的成本比例，v為由于供應(yīng)商缺貨造成的賠償損失比例，即績(jī)效的懲罰系數(shù)，CT為供應(yīng)商的運(yùn)營(yíng)成本，合同滿足E[B|τ，s]≤B0。

（2）成本函數(shù)

由于本文的內(nèi)容主要是針對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的研究，因此我們簡(jiǎn)化成本函數(shù)的構(gòu)成。主要考慮兩種成本：①庫(kù)存成本。定義單位庫(kù)存成本為h，因此庫(kù)存成本為hs。②提升可靠性的成本。我們引入k（τ）+ε表示供應(yīng)商通過(guò)研發(fā)提高產(chǎn)品可靠性的投資成本，其中ε為受到外部環(huán)境不確定性影響的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，ε～（0，σ2），服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此成本函數(shù)可以寫為CT=hs+k（τ）。假設(shè)k′（τ）>0，k″（τ）>0，limτ→τk（τ）=0，limτ→k（τ）=∞，意味著隨著可靠性的提升， 相應(yīng)的成本在增加，并且增幅在增大。當(dāng)可靠性要求處于下限即最低時(shí)， 供應(yīng)商不需要做任何努力;而要達(dá)到部件可靠性的上限即最高要求時(shí)， 供應(yīng)商面臨著非常大的努力成本。

（3）效用函數(shù)

根據(jù)效應(yīng)函數(shù)，我們分別得到供應(yīng)商期望效用函數(shù)Us和客戶的期望效用函數(shù)Uc如（3）、（4）式所示

E[Us（T（CT，B）-CT）|τ，s]

=ω-（1-α）（hs+k（τ））-vE[B|τ，s]-

γs（1-α）2σ22-12γsv2var（B|τ，s）（3）

E[Uc（T（CT，B））|τ，s]

=-（ω+α（hs+k（τ））-vE[B|τ，s]+429ADB67-BE87-4E5C-990E-44F10EED108E

γcα2σ22+γcv2var（B|τ，s）2）（4）

3.2 集中決策的情形

首先我們考慮集中決策下，當(dāng)供應(yīng)商的行為可以觀測(cè)時(shí)，即能夠觀測(cè)供應(yīng)商的努力水平k（τ），此時(shí)激勵(lì)約束失效，從而得到

ω=（1-α）（hs+k（τ））+vE[B|τ，s]+

γs（1-α）2σ22+γsv2var（B|τ，s）2（5）

這時(shí)客戶期望效用優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)可以整理為如下函數(shù)的最小值：hs+k（τ）+（γcα2+γs（1-α）2）σ22+（γs+γc）v2var（B|τ，s）2，很明顯v=0時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，因此在集中決策的情況下，績(jī)效懲罰系數(shù)失去意義，所以我們可以去除v的影響，引入拉格朗日乘數(shù)θ，則目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

hs+k（τ）+（γcα2+γs（1-α）2）σ22+θ（E[B|τ，s]-B0）（6）

分別求Uθ=0，Uτ=0，Uα=0，Us=0，我們分別得到參數(shù)τ，s的優(yōu)化解：（z）=1-hθ;z=-1（1-θ）;s=-1（1-hθ）τ+1τ;αB=γsγs+γc。由于（6）式關(guān)于（α，τ）的Hessian矩陣

-k″（τ）000θ（z）000γs+γc>0

我們認(rèn)為該問(wèn)題的二階充分必要條件滿足，其解是優(yōu)化解。我們可以得到以下的定理1。

定理1 客戶和供應(yīng)商的風(fēng)險(xiǎn)偏好決定了成本的分配比例。當(dāng)供應(yīng)商是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，即γs=0，客戶是風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)（γc>0），成本分配系數(shù)為零，意味著客戶不必分?jǐn)偤贤杀尽?/p>

定理1表明了成本分配系數(shù)受到客戶和供應(yīng)商的風(fēng)險(xiǎn)偏好的影響。進(jìn)一步觀察，在集中決策的情形下，供應(yīng)商的期望效用為零，客戶的期望效用為

-hs*-k（τ* ）-12γcγsσ2γs+γc

3.3 分散決策下的PBC合同風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)

與之前的分析類似，這也是一個(gè)兩階段的委托代理問(wèn)題。第一階段，給定合同參數(shù)（w，α，v），供應(yīng)商優(yōu)化（τ，s）最大化自己的期望效用，即（τ*，s*）∈arg max E[Us（T（CT，B）-CT）|τ，s]。第二階段，當(dāng)供應(yīng)商選定（τ，s）時(shí)，客戶如何優(yōu)化合同參數(shù)（w，α，v）滿足目標(biāo)保障條件的成本最小化即min E[Uc（Ti（CT，B））|τ，s]。約束條件包括：E[B|τ，s]≤B0;E[Us（T（CT，B）-CT）|τ，s]≥0;0≤α≤1。

3.3.1 供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)優(yōu)化決策的影響

首先我們考慮供應(yīng)商最大化期望效用函數(shù)Us，即

max （ω-（1-α）（hs+k（τ））-vE[B|τ，s]-

γs（1-α）2σ22-γsv2var（B|τ，s）2）（7）

（1）庫(kù)存水平的優(yōu)化

對(duì)（7）式求s的一階導(dǎo)數(shù)，Uss=-（1-α）h+v（1-（z））+γsv2（z）E[B|τ，s]，令其等于0得到

E[B|τ，s*]=（1-α）h-v（1-（z））γsv2（z）

將（3）式帶入，得到

（1-α）h-v（1-（z））γsv2（z）=（z（z）+φ（z）-z）τ

如果v（1-（z））≥（1-α）h，則Uss≥0?？疾於A導(dǎo)數(shù)2Uss2=-vφ（z）+γsv2φ（z）τE[B|τ，s]-γsv2（z）（1-（z）），將E[B|τ，s*]代入，2Uss2|s=s*=（-v-（1-α）h）φ（z*）（z*）-γsv2（z*）（1-（z*））<0。根據(jù)Uss≥0，lims→∞Uss=-（1-α）<0，因此我們認(rèn)為存在唯一的最優(yōu)解使得供應(yīng)商獲得最大的效用

Us=ω-（1-α）（hs+k（τ））-（1-α）hγsv（z）+1-（z）γs（z）-

γs（1-α）2σ22-γsv2var（B|τ，s）2

其期望效用最大化的可行解滿足

（1-α）h=v（1-（z*））+γsv2（z* ）E[B|τ，s*]

即γs=0時(shí)，v（α，τ，s）=（1-α）h1-（z）;γs>0時(shí)，v（α，τ，s）=1-（z）2γs（z）E[B|τ，s]·（-1+1+4γsh（1-α）（z）E[B|τ，s]（1-（z））2），我們得到

s*γs=v2（z*）E[B|τ，s*]vφ（z* ）-γsv2φ（z*）τE[B|τ，s]+γsv2（z*）（1-（z*））>0

意味著隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度γs的增長(zhǎng)，供應(yīng)商趨向于選擇更多的庫(kù)存水平，從而減少風(fēng)險(xiǎn)。同理，我們還可以得到α，v，τ與s*的關(guān)系為

s*α>0， s*v>0， s*τ<0

因此我們得到：

命題1 隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度γs的增加、成本分配系數(shù)以及績(jī)效懲罰系數(shù)的增加，供應(yīng)商趨向于選擇更多的庫(kù)存水平，從而減少風(fēng)險(xiǎn)。隨著可靠性的增長(zhǎng)，供應(yīng)商將降低庫(kù)存水平。

（2）可靠性的優(yōu)化

對(duì)供應(yīng)商效用函數(shù)，我們求τ的一階導(dǎo)數(shù)得到：

Usτ=-（1-α）k′（τ）+v（φ（z）2τ32+1-（z）τ2）-γsv2var[B|τ，s]τ=-（1-α）k′（τ）+G（α，v，τ），其中G（α，v，τ）=v（φ（z）2τ32+1-（z）τ2）-γsv2var[B|τ，s]τ，容易看出隨著τ的增長(zhǎng)，G（α，v，τ）增加，因此我們可以將G（α，v，τ）看成τ提高的邊際收益，所以可靠性的優(yōu)化取決于k′（τ）分擔(dān)的邊際成本和邊際收益的均衡。假設(shè)k′（τ）<11-αG（α，v，τ），此時(shí)提高可靠性努力的邊際收益大于邊際成本，

Usτ>0，2Usτ2<0，存在著唯一的最優(yōu)解τ*使得供應(yīng)商效應(yīng)最大化。此時(shí)τ*由下式給出429ADB67-BE87-4E5C-990E-44F10EED108E

-（1-α） k′（τ* ）- v（-φ（z*）2τ*32-

1-（z*）τ*2）=γsv2var[B|τ*，s]（8）

由τ*=τ（α，v，s），對(duì)（8）式求導(dǎo)，結(jié)合2Usτ2<0

τ*α=k′（τ* ）（1-α）k″（τ*）-v（3φ（z*）4τ*52+2（1-（z*））τ*3）+γsv22var[B|τ*，s]τ*2>0

同理我們得到τ*v>0，τ*γs>0，因此發(fā)現(xiàn)：

命題2 隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度γs的增加，供應(yīng)商傾向于提高可靠性水平。成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)將激勵(lì)供應(yīng)商提高可靠性水平，成本分配和績(jī)效懲罰比例越高，對(duì)可靠性提升的激勵(lì)越大。

將命題1和命題2整合在一起，我們可以得到：

定理2 成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)的引入，將會(huì)促使供應(yīng)商實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品可靠性提升和庫(kù)存設(shè)置的均衡決策，從而降低供應(yīng)商運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。

定理2說(shuō)明隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡的增加，可以通過(guò)增加成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)激勵(lì)供應(yīng)商增加庫(kù)存水平或者提高可靠性水平，但可靠性水平和庫(kù)存設(shè)立之間存在著替換關(guān)系。

3.3.2 客戶與供應(yīng)商的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)合同參數(shù)設(shè)計(jì)的影響

（1）供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)績(jī)效懲罰系數(shù)的影響

根據(jù)供應(yīng)商的優(yōu)化決策，我們得到了績(jī)效懲罰系數(shù)v（α，τ，s）的表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)γs>0時(shí)

v*α=-h1-（z）11+γs（1-α）4c（z）E[B|τ，s]（1-（z））2<0

2v*α2=-12h1-（z）γs4h（z）E[B|τ，s]（1-（z））2（1+γs（1-α）4h（z）E[B|τ，s]（1-（z））2）32<0

因此，v（α，τ，s）是關(guān)于α的減函數(shù)，這就意味著當(dāng)成本分配系數(shù)α增加時(shí)，需要降低績(jī)效懲罰系數(shù)v。γs=0的情形可以得出相同的結(jié)論。因此我們可以發(fā)現(xiàn)v的激勵(lì)作用體現(xiàn)在績(jī)效目標(biāo)的保障如庫(kù)存水平或者可靠性的改善，1-α則主要激勵(lì)于成本的節(jié)約，兩者是一種互補(bǔ)關(guān)系。根據(jù)供應(yīng)商期望效用最大化的可行解滿足（1-α）h=v（1-（z* ））+γsv2（z* ）E[B|τ，s*]，容易發(fā)現(xiàn)，隨著γs的增加，α下降，考慮v和α的互補(bǔ)性，此時(shí)v增加。

因此我們得到

定理3 隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度γs的增加，成本分配系數(shù)下降，績(jī)效懲罰系數(shù)提高。

從定理3可以看出，隨著供應(yīng)商對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的重視，客戶可以減少直接的成本分配比例，但相應(yīng)的績(jī)效懲罰系數(shù)需要增加。

（2）客戶風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度對(duì)成本分配系數(shù)的影響

接下來(lái)我們考慮在v確定之后，客戶如何通過(guò)成本分配系數(shù)的調(diào)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)控制。我們提出如下定理：

定理4 隨著客戶風(fēng)險(xiǎn)厭惡度γc的增加，客戶可以通過(guò)降低成本分配系數(shù)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

證明 引入拉格朗日乘數(shù)θ，將E[B|τ，s]≤B0 的約束條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我們得到客戶的期望效用為

Uc=hs+k（τ）+（γcα2+γs（1-α）2）σ22+

（γs+γc）v（α，τ，s）2var（B|τ，s）2+

θ（E[B|τ，s]-B0）將v（α，τ，s）代入，當(dāng)γs≠0時(shí)，令Ucα=0

α*=（1+γ）h2var（B|τ，s）（z）E[B|τ，s]（1-

11+γs（1-α*）4h（z）E[B|τ，s]（1-（z））2）+γsσ2

γs（1+γ）σ2

很明顯，α*>αB，這是由于分散決策下委托代理關(guān)系造成的合同績(jī)效風(fēng)險(xiǎn)所帶來(lái)的結(jié)果。同時(shí)

α*γc=-γ2sσ2Γ2ρvar（B|τ，s）

σ2Γ2ρvar（B|τ，s）+12Γ

1+γs（1-α）Γ1（γs+γc）21γ2s<0

其中Γ=4h（z）E[B|τ，s]（1-（z））2， ρ=h2（1-（z））2，這意味著隨著客戶風(fēng)險(xiǎn)厭惡的增加，需要降低成本分配系數(shù)。當(dāng)γs=0時(shí)，同理我們得到

α*=h2γcvar（B|τ，s）（1-（z））2γcσ2+h2γcvar（B|τ，s）（1-（z））2=11+σ2（1-（z））2h2var（B|τ，s）

我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)的α*>αB=0，σ2（1-（z））2h2var（B|τ，s）可以看成合同執(zhí)行中出現(xiàn)的與績(jī)效相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，隨著缺貨方差的增大，α減少。從定理4可以看出，α可以有效地調(diào)節(jié)績(jī)效風(fēng)險(xiǎn)，防止合同的失效。當(dāng)供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，成本分配系數(shù)隨著缺貨方差的增加而增加。當(dāng)客戶風(fēng)險(xiǎn)厭惡度增加時(shí)，需要降低成本分配系數(shù)。

（3）客戶與供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)對(duì)合同參數(shù)的影響

我們引入客戶和供應(yīng)商的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)γ，考察客戶和供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的相對(duì)性的影響，令γ=γcγs，得到

α*γ=-γ2sσ2Γ2ρvar（B|τ，s）

σ2Γ2ρvar（B|τ，s）+12Γ1+γs（1-α）Γ

1（γs+γγs）2<0

因此得到：

定理5 隨著客戶與供應(yīng)商相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度即風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)γ的增加，成本分配系數(shù)將降低，績(jī)效懲罰系數(shù)將提高。

定理5表明風(fēng)險(xiǎn)倍數(shù)的增加，即客戶的風(fēng)險(xiǎn)厭惡大于供應(yīng)商時(shí)，成本分配系數(shù)將下降，考慮到成本分配系數(shù)與績(jī)效懲罰系數(shù)的反比關(guān)系，績(jī)效懲罰系數(shù)將上升。

（4）外生環(huán)境不確定性的影響

我們還可以考察外生環(huán)境不確定變量σ2的影響，得到：

定理6 外部不確定性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，將會(huì)通過(guò)PBC的風(fēng)險(xiǎn)分配系數(shù)的調(diào)節(jié)來(lái)應(yīng)對(duì)，外部不確定性越大，成本分配系數(shù)越小，績(jī)效懲罰系數(shù)越高。即面對(duì)較大的環(huán)境不確定性，需要降低成本分配系數(shù)，提高績(jī)效懲罰系數(shù)來(lái)規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。429ADB67-BE87-4E5C-990E-44F10EED108E

總之，供應(yīng)商根據(jù)自己的庫(kù)存和可靠性的優(yōu)化決策提出對(duì)績(jī)效懲罰系數(shù)v的優(yōu)化解，在此基礎(chǔ)上客戶根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，通過(guò)α的調(diào)節(jié)保證了優(yōu)化均衡解的實(shí)現(xiàn)。因此我們可以明顯看出，從某種程度上來(lái)說(shuō)，α可以看作風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)比例。通過(guò)對(duì)α的引入，避免了單純通過(guò)v所帶來(lái)的波動(dòng)性，通過(guò)α和v的互補(bǔ)性關(guān)系，保證了風(fēng)險(xiǎn)在供應(yīng)商和客戶之間的有效分配。在實(shí)踐中，我們可以將α理解為備件的所有權(quán)，客戶和供應(yīng)商可以通過(guò)對(duì)備件所有權(quán)比例的分配來(lái)實(shí)現(xiàn)合同風(fēng)險(xiǎn)的控制。

4 算例設(shè)計(jì)

（1）數(shù)值計(jì)算

數(shù)值模擬中PBC運(yùn)行系統(tǒng)的核心參數(shù)主要參考文獻(xiàn)[19]，τmin=0.01，τmax=0.1，ω=5000，B0=4，對(duì)于研發(fā)成本函數(shù)我們則采用Huang等[20]的定義如下：k（τ）=β（exp（Bτ-τminτmax-τ）-1），該定義在ner等[8]，Jin和Tian[7]關(guān)于PBC的研究中得到了采用，參數(shù)為B=0.2，β=50。其他參數(shù)σ2=10，h=1。我們計(jì)算得到了客戶-供應(yīng)商不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度情形下的合同參數(shù)（α，v）的數(shù)值，如表1所示。

（2）合同雙方風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的影響

當(dāng)客戶屬于風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，γc→0，α*≈1，v*≈0，此時(shí)客戶完全承擔(dān)了成本風(fēng)險(xiǎn)和績(jī)效風(fēng)險(xiǎn)，PBC合同v不起作用。因此我們重點(diǎn)考慮供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度變化的影響。

當(dāng)供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，γs=0，α*<1，v*>0，意味著客戶可以通過(guò)設(shè)計(jì)績(jī)效懲罰系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移，同時(shí)客戶需要承擔(dān)一定的成本風(fēng)險(xiǎn)，來(lái)警惕供應(yīng)商對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不關(guān)注帶來(lái)的合同風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)α*承擔(dān)了合同績(jī)效風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的任務(wù)。當(dāng)雙方都屬于風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)，γc=γs=0，與供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)的情形相同。從表1中可以看出，與前述理論結(jié)果一致，當(dāng)供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)，隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度γs的增長(zhǎng)，PBC合同中的績(jī)效懲罰系數(shù)v增加，成本分配系數(shù)α降低。

（3）合同雙方風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)的影響

從表1還可以明顯地看出，隨著γ的增長(zhǎng)，α下降，v上升，和前面的理論分析結(jié)果一致。為了更好地比較集中與分散決策下的參數(shù)設(shè)計(jì)的差異，我們以α*為例（v的結(jié)果相反）繪出了α*、α*B與風(fēng)險(xiǎn)倍數(shù)的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 集中與分散決策下的α*與γ的比較

出于分散決策下委托代理風(fēng)險(xiǎn)的防范，α*始終大于集中決策下的α*B，但是γ較小的時(shí)候（α*B=0.909）差距并不明顯，隨著γ的增長(zhǎng)，客戶和供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度差別增大，客戶比供應(yīng)商更加注重風(fēng)險(xiǎn)防范的時(shí)候，α*下降速度小于α*B，造成α*和α*B差距增大，這是由于客戶的成本分配系數(shù)承擔(dān)了防范供應(yīng)商因風(fēng)險(xiǎn)警戒過(guò)小造成的合同運(yùn)營(yíng)績(jī)效不達(dá)標(biāo)的作用，體現(xiàn)為需要保持相對(duì)高的成本分?jǐn)偙壤齺?lái)防范風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)供應(yīng)商比客戶更加注重風(fēng)險(xiǎn)防范的時(shí)候，即γ較小的時(shí)候，考慮到供應(yīng)商的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度較高，這時(shí)候客戶可以縮小α*與集中決策下α*B的差距，從而降低投資成本風(fēng)險(xiǎn)。

（4）σ2的影響

為了觀察外部環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)不確定性的影響，我們假設(shè)供應(yīng)商和客戶的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度相同（γs=γc=0.1），我們給出σ2 與α*以及σ2 與v*之間的關(guān)系，如圖2，圖3所示。容易看出，外部風(fēng)險(xiǎn)不確定的影響體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一方面帶來(lái)了缺貨的未知性，即合同的績(jī)效風(fēng)險(xiǎn)，另外一個(gè)方面帶來(lái)了投資成本的風(fēng)險(xiǎn)。我們可以發(fā)現(xiàn)隨著外部風(fēng)險(xiǎn)不確定性的增長(zhǎng)，α*下降而v*在增長(zhǎng)，意味著客戶需要通過(guò)較少的α，實(shí)現(xiàn)更多的成本風(fēng)險(xiǎn)防范，因此供應(yīng)商承擔(dān)了一定的成本風(fēng)險(xiǎn)責(zé)任，即使在成本風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度一樣的情況下，PBC依然使得供應(yīng)商承擔(dān)了較多的成本風(fēng)險(xiǎn)。隨著外部不確定性的增長(zhǎng)，績(jī)效懲罰系數(shù)增加意味著供應(yīng)商承擔(dān)的績(jī)效風(fēng)險(xiǎn)也在增加。

5 結(jié)論與啟示

本文基于委托代理的合同模型，從風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的角度出發(fā)研究了服務(wù)備件供應(yīng)鏈PBC合同激勵(lì)的相關(guān)問(wèn)題，提出了合同設(shè)計(jì)中通過(guò)設(shè)置合理的成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)規(guī)避合同運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)。研究發(fā)現(xiàn)：（1）成本分配系數(shù)主要用來(lái)分?jǐn)偝杀撅L(fēng)險(xiǎn)，績(jī)效懲罰系數(shù)主要保障運(yùn)營(yíng)績(jī)效目標(biāo)，兩者之間存在著互補(bǔ)關(guān)系，成本分配系數(shù)的增長(zhǎng)會(huì)要求降低績(jī)效懲罰系數(shù)，并且隨著外界環(huán)境不確定性的增加，成本分配系數(shù)下降，績(jī)效懲罰系數(shù)增加。（2）PBC合同下的成本分配系數(shù)應(yīng)大于集中決策下的成本分配系數(shù)，并且隨著風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)的增長(zhǎng)，兩者的差距增大。（3）成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)與供應(yīng)商和客戶的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度直接相關(guān)。本文對(duì)于PBC合同的風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)研究，對(duì)PBC的實(shí)施推廣具有較好的啟示意義。作為供應(yīng)商的企業(yè)在實(shí)施PBC合同的時(shí)候，需要根據(jù)自身和客戶的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度來(lái)合理地調(diào)節(jié)和設(shè)置成本分配系數(shù)和績(jī)效懲罰系數(shù)。當(dāng)供應(yīng)商和客戶都屬于風(fēng)險(xiǎn)厭惡的情形下，隨著供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)厭惡度和客戶與供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度倍數(shù)的增加，成本分配系數(shù)下降，績(jī)效懲罰系數(shù)提高。今后的研究將進(jìn)一步圍繞PBC風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題，通過(guò)實(shí)證案例的方式展開(kāi)合同的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)。

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