黃發(fā)長

【摘要】中考數(shù)學(xué)試題中，平面直角坐標(biāo)系中的三角形面積和二次函數(shù)最值是中考的壓軸題熱門考點(diǎn)，所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重對學(xué)生總結(jié)能力與分析能力的培養(yǎng)，最終提高學(xué)生應(yīng)對考試的能力。

【關(guān)鍵詞】拋物線；最值；切線；尺規(guī)作圖

在中考數(shù)學(xué)試題中，有一類考點(diǎn)一直是壓軸題熱門選項(xiàng)，它主要涉及平面直角坐標(biāo)系中的三角形面積和二次函數(shù)最值兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。命題設(shè)計(jì)通常以拋物線上某動(dòng)點(diǎn)為一頂點(diǎn)、拋物線和兩坐標(biāo)軸相交的其中兩個(gè)點(diǎn)（一般在x軸、y軸上各取一個(gè)點(diǎn)）為另兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形面積為考查對象，要求考生構(gòu)建相關(guān)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值解決有關(guān)三角形面積最大化等問題。對這類題作深入研究，會(huì)發(fā)現(xiàn)一些非常有價(jià)值的結(jié)論，把這些結(jié)論拿來再解相關(guān)中考題可以為分析解題思路找到捷徑，運(yùn)用其中某些結(jié)論還可以嚴(yán)格作出過拋物線上任意點(diǎn)處的切線，這種以尺規(guī)作拋物曲線切線的方法可以當(dāng)作用解析法通過求斜率來求切線的幾何法補(bǔ)充，并且，這種用尺規(guī)作拋物線切線的方法，相比用導(dǎo)數(shù)求拋物線切線的方法更直觀、快捷、實(shí)用，其意義顯而易見。

為后續(xù)行文需要，先介紹一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，“斜三角形”面積的一種計(jì)算公式。如圖1，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條垂線之間的距離叫△ABC的“水平寬”，用a表示，中間的垂線在△ABC內(nèi)部截得的線段長叫△ABC的“鉛垂高”，用h表示。則△ABC的面積=×水平寬×鉛垂高，即（具體證明略）。

一、源題與啟發(fā)

1.樣例。如圖2，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，請求出△BCE面積的最大值，并指出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)。

分析與略解：易知拋物線為y=-x2+2x+3，下可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，-t2+2t+3），過點(diǎn)E作EF∥y軸交線段BC于點(diǎn)F，如圖2，易知直線BC為y=-x+3，則F

（t，-t+3），而S△BCE=×OB×EF=×3×EF，顯然△BCE面積最大時(shí)，線段EF最長。接下來通過構(gòu)建EF關(guān)于t的二次函數(shù)，即EF=-t2+2t+3-（-t+3），求此二次函數(shù)最值便可得EF長的最大值。經(jīng)計(jì)算易得△BCE面積的最大值為，此時(shí)點(diǎn)E為（，）。

2.思考與啟發(fā)。上述樣例多次出現(xiàn)在中考壓軸題中，細(xì)心觀察其解會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)三角形（如樣例中的△BCE）面積取最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)都“恰好”是拋物線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)（如樣例中點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3、點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0）之“水平線段”（即為樣例中線段OB）中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（即樣例

中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為）。

這種現(xiàn)象是偶然的，還是確定的？多觀察一些類似壓軸題，發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論看起來都是“確定成立的”，于是值得進(jìn)行深入研究。在深入進(jìn)行“嚴(yán)格推理”前，不妨先用“幾何畫板”作特例研究，從感性角度再“印證”一下前述發(fā)現(xiàn)的可能性。用幾何畫板先做如下畫圖研究：在同一直角坐標(biāo)系中，先選擇均經(jīng)過同樣兩點(diǎn)，且開口相同的幾條拋物線，然后連接這兩點(diǎn)，并找到這兩點(diǎn)的水平線段的中垂線與各個(gè)拋物線的交點(diǎn)，分別過這些交點(diǎn)作那兩點(diǎn)連線段的平行線，觀察這些平行線是否為相應(yīng)拋物線的切線？觀察方法是：若平行線與相應(yīng)拋物線除了交點(diǎn)外，沒有其他交點(diǎn)，則該平行線是相應(yīng)拋物線的切線；否則不是切線。

1，下設(shè)直線x=1與這四條拋物線依次交于點(diǎn)E1、E2、E3、E4，分別過這些點(diǎn)作與線段BC平行的直線。容易觀察發(fā)現(xiàn)：每條直線與它對應(yīng)的拋物線不存在除點(diǎn)E1、E2、E3、E4以外的其他交點(diǎn)，也就是說每條直線都是相應(yīng)拋物線的切線。此時(shí)，根據(jù)兩平行直線間距離處處相等以及等積變換相關(guān)知識(shí)，不難證明“切點(diǎn)”是三角形（△BCEi（i=1，2，3，4））面積取大值時(shí)，拋物線上動(dòng)點(diǎn)Ei所應(yīng)到達(dá)的位置，換種說法，如圖3，動(dòng)點(diǎn)Ei在直線BC上方拋物線上，當(dāng)△BCEi面積最大時(shí)，其動(dòng)點(diǎn)Ei一定是與直線BC平行的拋物線切線的切點(diǎn)。

二、拓展與研究

1.拓展研究一：（在樣例中，讓拋物線變化：只須開口向下、經(jīng)過B、C兩點(diǎn)）。

結(jié)論：對任意開口向下，且同時(shí)經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線，在直線BC上方拋物線上都存在點(diǎn)E，使得

△BCE面積最大，并且點(diǎn)E始終是直線x=與拋物線的交點(diǎn)。

分析與略解：設(shè)拋物線為y=ax2+bx+c，由于經(jīng)過B（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，于是方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為3，且c=3，則32a+3b+3=0，即3a+b+1=0，所以b=-3a-1，則拋物線可化為y=ax2+（-3a-1）x+3，

易知直線BC為y=-x+3，下設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，at2+

（-3a-1）t+3），過點(diǎn)E作EF∥y軸交線段BC于點(diǎn)F，如圖2，易有F（t，-t+3），則EF=at2+（-3a-1）t+3-（-t+3）=at2-3a=a（t2-3）=a（t2-3+

（）2）-=a（t-）2-。即當(dāng)t=時(shí)，線段EF

取得最大值（-）。由此可以看出，拋物線在變化

（任意）時(shí)，雖然線段EF的最大值和△BCE面積的最大值也跟著在變化，但使得線段EF取最大值、△BCE面積取最大值的動(dòng)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)始終不

變，它始終在直線x=上，它的橫坐標(biāo)取值只與兩點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）有關(guān)。

2.拓展研究二：（在上述拓展基礎(chǔ)上，把0B=0C=3改為只需0B=0C）。

結(jié)論：拋物線y=ax2+bx+c與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，若0B=0C，如圖2，則：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（，0）；（2）當(dāng)△BCE面積最大時(shí)，點(diǎn)E是直

線x=與拋物線的交點(diǎn)。

分析與略解：（1）易知C（0，c），由0B=0C，易

得B（c，0），即方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根為c，則ac2+bc+c=0，即ac+b+1=0，所以b=-ac-1，則

有y=ax2+bx+c=ax2+（-ac-1）x+c＝（ax-1）

（x-c）。因此有x1=、x2=c，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（，0）。（2）易知直線BC為y=-x+c，可設(shè)點(diǎn)E的

坐標(biāo)為（t，at2+（-ac-1）t+c），過點(diǎn)E作EF∥y軸交線段BC于點(diǎn)F，易有F（t，-t+c），則EF=at2+（-ac-1）t+c-（-t+c）=at2-ac=a（t2-c）=a

（t2-c+（）2）-=a（t-）2-，顯然△BCE

面積的最大時(shí)，點(diǎn)E是直線x=與拋物線的交點(diǎn)，

即點(diǎn)E是直線x=與拋物線的交點(diǎn)。

3.拓展研究三：（繼續(xù)拓展，無須0B=0C，只需滿足開口向下的拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸有交點(diǎn)）。

結(jié)論：拋物線y=ax2+bx+c與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，如圖4，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，

當(dāng)△BCE面積最大時(shí)，點(diǎn)E還是直線x=

與拋物線的交點(diǎn)。

分析與略解：設(shè)點(diǎn)A（x1，0）、點(diǎn)B（x2，0），易知C（0，c）下可設(shè)拋物線為y=a（x-x1）（x-x2）=ax2+a（-x1-x2）x+ax1x2，則有c=ax1x2，即a=，

所以，y=x2+（-x1-x2）x+c，可設(shè)點(diǎn)E的

坐標(biāo)為（t，t2+（-x1-x2）t+c），過點(diǎn)E作

EF∥y軸交線段BC于點(diǎn)F，易有直線BC：y=·x+c，

則F（t，t+c），則EF=t2-t=（t-）2+

，顯然△BCE面積的最大時(shí)，點(diǎn)E是直線x=與

拋物線的交點(diǎn)，即點(diǎn)E是直線x=與拋物線

的交點(diǎn)，亦即當(dāng)三角形面積取最大值時(shí)，任意拋物線上動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)等于拋物線和x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半。

4.拓展研究四：（在圖4的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)E作EN∥BC）。

結(jié)論：如圖5，當(dāng)△BCE面積的最大時(shí)，顯然直線EN為拋物線y=ax2+bx+c在點(diǎn)E處的切線。（證明略）

（注：為簡化敘述和后面應(yīng)用的方便，不妨把點(diǎn)E叫做B、C兩點(diǎn)間“拋物線上的水平中點(diǎn)”；把直線EN叫做與拋物線上兩點(diǎn)B、C相關(guān)的“最值切線”。）

推論：事實(shí)上，上述結(jié)論中B、C兩點(diǎn)可以是拋物線上任意兩點(diǎn)，即當(dāng)B、C兩點(diǎn)是拋物線上任意兩點(diǎn)時(shí)，其“拋物線上的水平中點(diǎn)”“最值切線”依然存在、成立。

三、歸納與應(yīng)用

應(yīng)用上述研究結(jié)論或思想方法，可以得到用尺規(guī)精確作過拋物線上任意一點(diǎn)的該拋物線的切線，這與利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的斜率不同，可以看成是作切線的幾何化畫法，是對導(dǎo)數(shù)法求切線斜率的一種幾何化方法補(bǔ)充。在生活實(shí)踐中，類似拋物線的曲線均可采用這種尺規(guī)方法作相應(yīng)曲線的切線，這種作線法簡潔實(shí)用。另外，應(yīng)用上述研究結(jié)論或思想方法，可以重新審視相關(guān)中考壓軸題，得到“新”的解題途徑。

1.用求導(dǎo)或用尺規(guī)作拋物線上任意點(diǎn)處切線方法的比較。

例：過拋物線y=-x2+2x+3上的點(diǎn)（2，3）作該拋物線的切線。

（1）解析作圖法。對拋物線方程求導(dǎo)，易有y'=

-2x+2，則點(diǎn)（2，3）處的斜率k=-2，下設(shè)過點(diǎn)（2，3）處的切線方程是y=-2x+b，代入點(diǎn)（2，3）則b=7，即切線方程為y=-2x+7，它與y軸的交點(diǎn)為（0，7），則過點(diǎn)（2，3）、（0，7）易作出該切線（具體畫圖略）。

（2）尺規(guī)作圖法。設(shè)點(diǎn)（2，3）為E，通過逆向思考，要作出“最值切線”，關(guān)鍵在于尋找到拋物線上的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)B、C，而這兩點(diǎn)與“拋物線上的水平中點(diǎn)”在哪無關(guān)，也就是說作圖時(shí)，無須關(guān)注其橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的具體數(shù)值，只須：如圖6，（1）過點(diǎn)E作鉛垂線EM；（2）在鉛垂線EM右側(cè)拋物線上任取一點(diǎn)，如取點(diǎn)B；（3）過點(diǎn)B作BH⊥EM于H，并延長到點(diǎn)D，使得DH=BH；（3）過點(diǎn)D作直線EM的平行線交拋物線于點(diǎn)C；（4）連結(jié)B、C兩點(diǎn)；（5）過點(diǎn)E作EN∥BC。則直線EN為過拋物線上點(diǎn)E處的切線，點(diǎn)E為與B、C兩點(diǎn)相關(guān)的“拋物線上的水平中點(diǎn)”，直線EN為“最值切線”。

上述作法完全是用無刻度的直尺和圓規(guī)可以完成的，所以可以稱之為尺規(guī)作圖法。下面考慮：這種作法是否與“上面（1）”中解析法作圖所得切線y=-2x+7一致？

這里不妨用“特殊值法”進(jìn)行簡易說明。在尺規(guī)法作圖中，在取點(diǎn)B時(shí)沒有刻意選取其坐標(biāo)值，換言之，點(diǎn)B的坐標(biāo)是具有任意性的，但為后續(xù)“證明”方便，下面不妨設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，由于點(diǎn)E（2，3）是“拋物線上的水平中點(diǎn)”，則易得C點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，把B的橫坐標(biāo)3、C的橫坐標(biāo)1分別代入拋物線y=-x2+2x+3，可得B（3，0）、C（1，4），則易得直線BC為y=-2x+6，于是直線EN可設(shè)為y=-2x+b，把點(diǎn)E（2，3）代入直線EN得b=7，即直線EN為y=-2x+7，這與解析法中得到過E（2，3）的切線方程是完全一致的。

特別值得一提的是，從這個(gè)特殊值法“證明”中，還可以看到點(diǎn)B（3，0）、點(diǎn)C（1，4）并非都是拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，具有“任意性”，也就是說它印證了“二.4拓展研究四”中“推論”這個(gè)結(jié)論。

2.解壓軸題“新”思路舉例。

（2022重慶沙坪壩九年級期末·部分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，6）、B（2，0）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)Р為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，當(dāng)線段PM的長度取得最大值時(shí)，求點(diǎn)Р的坐標(biāo)和線段PM的長度。

分析與略解：（1）；（2）當(dāng)線段PM的長度取得最大值時(shí)，亦即△ABP面積最大，此時(shí)點(diǎn)P為與兩點(diǎn)A、B相關(guān)的“拋物線上的水平中點(diǎn)”，由點(diǎn)A（-1，6）、B（2，0）知點(diǎn)P為直線x=與拋物

線的交點(diǎn)，所以（，）；易有直線的解析

式為，則Q（，3），S△ABP=·AB的

水平寬·PQ==·AB·PM=×·PM，所以

PM=。

評：這個(gè)解題方法與常規(guī)解法中構(gòu)建線段PQ（或線段PM）與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之二次函數(shù)、利用求解二次函數(shù)最值解題完全不同，它抓住了點(diǎn)P這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的不動(dòng)性，即“當(dāng)線段PM的長度取得最大值時(shí)”，點(diǎn)P是“拋物線上的水平中點(diǎn)”，所以解題過程簡潔明了。