摘 要：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在“順逆共生”中不斷前行、深入的過程，其間有經(jīng)驗的對接和沖突、求知過程中的“順境”和“逆境”，也有知識的建構(gòu)和解構(gòu)、局部化和整體化，以及思維的正向與逆向、聚合與發(fā)散等。課堂上，加強“順”與“逆”的對接，把握“順”與“逆”的坡度，調(diào)控“順”與“逆”的節(jié)奏，讓學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，淬煉靈動深入的思維，最終指向?qū)W科素養(yǎng)的培育。

關(guān)鍵詞：順逆共生；經(jīng)驗；結(jié)構(gòu)；思維；坡度

一、“順逆共生”的提出

初為人師時，辦公室窗前有一棵銀杏樹，歷經(jīng)數(shù)十年風(fēng)雨仍枝繁葉茂。我常常凝望著它，它伴隨我走過了工作初期的迷茫。而后的歲月里，雖然工作地點變動多次，但這棵樹仍給予我思想的養(yǎng)分，改革的勇氣。

開始時，我想讓自己長成一棵樹，讓學(xué)生在我的樹蔭下成長。在課堂上，我會考慮到每一個學(xué)生有可能產(chǎn)生的困惑，然后做足知識的鋪墊，搭好上行的階梯。如教學(xué)“9加幾”時，先進行三個層次的課前練習(xí)，第一層次進行“4=1+（ ）”這類練習(xí)，第二層次進行“10+3”這類練習(xí)，第三層次進行“9+1+2”這類練習(xí)，通過以上練習(xí)，學(xué)生就能夠更順利地研究出“9加幾”的計算方法?；谶@樣比較扎實的鋪墊，學(xué)生學(xué)起新知來，自然能夠輕松不少，這不禁令我沾沾自喜。但在一次調(diào)研考試中我發(fā)現(xiàn)：面對一道平時沒有做過的題目，我們班的正確率明顯低于其他班級。為什么會這樣？我開始不斷地追問自己。

當(dāng)我陷入迷惘，又想起窗前的那棵樹，在共同的生命季候中，年復(fù)一年，樹木經(jīng)歷著發(fā)芽、開花、葉落、枝枯，經(jīng)歷著陽光沐浴、風(fēng)雨洗禮，經(jīng)歷著順境與逆境，既向上長葉，也向下扎根。學(xué)生的學(xué)習(xí)也應(yīng)該這樣，如果教學(xué)過程中的課前鋪墊過多、探索步驟過碎，學(xué)習(xí)過程看起來順暢了、輕松了，但實際上課堂是單向的、封閉的，剝奪了學(xué)生本該自己經(jīng)歷的思維過程。學(xué)生獨自經(jīng)歷完整的、有順有逆的知識探索過程，也許會成長得很慢，會有些艱難，但是這樣的學(xué)習(xí)才具有挑戰(zhàn)性，習(xí)得的知識才有生命力。

二十余年來，經(jīng)過不斷地實踐和反思，我對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的認識愈發(fā)清晰。其實，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程曲折復(fù)雜，除了前述學(xué)習(xí)經(jīng)歷中常出現(xiàn)的“順境”“逆境”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗、知識、思維等方面都普遍存在“順逆”雙向性，只有引導(dǎo)學(xué)生正確面對并有效處理真實的“順逆共生”現(xiàn)象，才能更好地開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

二、“順逆共生”的內(nèi)涵闡釋

（一）經(jīng)驗的順逆共生

1.經(jīng)驗的對接與沖突

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已有的各種經(jīng)驗有時能對接新知，在經(jīng)驗的對接過程中自然產(chǎn)生新知，但有時也會與新知產(chǎn)生沖突，引發(fā)內(nèi)心一時的矛盾。無論是經(jīng)驗的順利對接還是矛盾沖突，最終都會實現(xiàn)經(jīng)驗的自然生長。如學(xué)習(xí)“認識分米和毫米”前，學(xué)生對分米的認識并不完全為零。課堂上，先讓學(xué)生在臺階上把已經(jīng)認識的3個長度單位排隊。一開始，學(xué)生對接已有經(jīng)驗，自然想到根據(jù)樓梯的樣子從低到高把三個長度單位逐級排隊（如圖1），但他們注意到每級臺階的高度相等，而毫米與厘米之間的進率是10，厘米與米之間的進率是100，長度單位之間的關(guān)系與臺階高度的關(guān)系不吻合，由此認知沖突引發(fā)學(xué)生思考：如果這兩種關(guān)系要吻合。則需要把第三級臺階空出來，把“米”放在第四級臺階（如圖2），為在第三級臺階上創(chuàng)造出一個新的長度單位提供了可能。

2.經(jīng)歷的“順境”與“逆境”

學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累需要經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程、完善過程，其中的磕磕碰碰、曲曲折折，對于知識本身來說沒有意義，但是對于學(xué)習(xí)者來說，是一條積累新知學(xué)習(xí)經(jīng)驗、產(chǎn)生深度理解的路徑。課堂中，教師還需給予學(xué)生一定的挑戰(zhàn)性任務(wù)，讓學(xué)生常經(jīng)歷逆境，此間有時會出現(xiàn)暫時性后退的現(xiàn)象，實屬自然。要讓學(xué)生接受多元“考驗”，增添突破逆境的經(jīng)驗，從而在今后的學(xué)習(xí)中走上更順的路。例如，教學(xué)“9加幾”，須要讓學(xué)生掌握“湊十法”，將不熟悉的計算轉(zhuǎn)化成為熟悉的計算，這對初學(xué)進位加法的一年級學(xué)生是有挑戰(zhàn)性的。在學(xué)習(xí)“湊十法”之前，學(xué)生對“9+3”這樣的算式往往有自己的計算方法，比如從9往后數(shù)3個數(shù)。當(dāng)學(xué)生剛剛使用“湊十法”將新知轉(zhuǎn)化成舊知時，計算的正確率也許會出現(xiàn)暫時性下降，但這只是只暫時的、表面的現(xiàn)象。實際上，學(xué)生正由一開始的數(shù)數(shù)計算轉(zhuǎn)向運用轉(zhuǎn)化方法計算，能根據(jù)這種轉(zhuǎn)化的方法得出8加幾，7加幾等其他算式的計算方法，并進一步延伸到其他的計算。在此學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生面對新算法的新經(jīng)驗正在不斷生成，克服逆境的經(jīng)驗也在不斷積累，變成后繼學(xué)習(xí)的寶貴經(jīng)驗財富。

（二）知識結(jié)構(gòu)的順逆共生

1.知識的建構(gòu)和解構(gòu)

知識的建構(gòu)指新舊知識相互聯(lián)系、反復(fù)作用，形成意義、組建和調(diào)整知識結(jié)構(gòu)的過程。知識的解構(gòu)是指打破原有的知識結(jié)構(gòu)，再進行重新整合。陳葆在《解構(gòu)主義與建構(gòu)主義的異質(zhì)同一性》一文中指出：“從概念上看，解構(gòu)主義理論強調(diào)在固有思維模式基礎(chǔ)上的‘破壞和‘粉碎；建構(gòu)主義理論強調(diào)在原有認知基礎(chǔ)上的‘重新建構(gòu)。從形式上看，一個是將‘已形成的思維整體分解成‘碎片，再進行創(chuàng)新性的‘整合。一個是將吸收的新信息與頭腦中現(xiàn)存的經(jīng)驗‘同化、順應(yīng)和平衡形成‘新的認知?！彪m然建構(gòu)和解構(gòu)看起來是一對“立”和“破”的矛盾體，但是在知識學(xué)習(xí)的過程中，面對同樣的內(nèi)容，無論是分解再整合，還是基于原有認知的重新建構(gòu)，都產(chǎn)生于內(nèi)在的不斷沖突與調(diào)和，從而形成新的認識的循環(huán)往復(fù)的過程。例如，教學(xué)“整數(shù)乘法”時，教師引導(dǎo)學(xué)生基于加法的結(jié)構(gòu)，自主建構(gòu)出乘法的意義：幾個相同的數(shù)相加。這樣，在教學(xué)“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生基于整數(shù)乘法的意義，自主建構(gòu)出表示“量”的分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的意義，從中揭示出分?jǐn)?shù)乘法的第一種意義：求幾個相同分?jǐn)?shù)的和。還要超越學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)，教學(xué)表示“率”的分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘時，揭示分?jǐn)?shù)乘法的第二種意義：表示一個數(shù)的幾分之幾是多少。進一步拓寬原有的對“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的認識，理解求一個數(shù)的幾分之幾不僅可以利用“先除再乘”的方法去解決，還可以利用分?jǐn)?shù)乘法去解決。這一過程，即對原有的認知進行解構(gòu)，生長整合出新的理解，進而解決基于這兩層意義生成的新問題。

2.知識的局部和整體

知識的發(fā)生、發(fā)展伴隨著順逆關(guān)系：一方面要從知識點的學(xué)習(xí)到建立其間的聯(lián)系，從局部結(jié)構(gòu)的構(gòu)建到整體結(jié)構(gòu)的形成，讓學(xué)生既見樹木又見森林；另一方面也要引導(dǎo)學(xué)生從整體結(jié)構(gòu)的視角把握局部結(jié)構(gòu)，居高臨下地認識各知識點或知識塊的意義和價值，從統(tǒng)一的觀點理解已學(xué)的零散知識。如教學(xué)“平面圖形的面積”時，由長方形的面積公式推導(dǎo)出正方形和平行四邊形的面積公式，再由平行四邊形的面積公式推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式，這是局部結(jié)構(gòu)的自然生成。而后，通過回溯教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從梯形面積公式的視角回看三角形、平行四邊形、長方形和正方形的面積公式。回過頭來重新理解這些平面圖形面積公式與梯形面積公式之間的關(guān)聯(lián)，從而發(fā)現(xiàn)梯形的面積公式是一個通用公式，并進一步聯(lián)系到數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中求等差數(shù)列之和也可以類比使用梯形的面積公式，將數(shù)與形結(jié)合，這是知識整體結(jié)構(gòu)觀的體現(xiàn)。從局部結(jié)構(gòu)到整體結(jié)構(gòu)，從順向延伸到回溯性學(xué)習(xí)，打通了同一領(lǐng)域知識間、不同領(lǐng)域知識間的關(guān)聯(lián)，完善了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，在順遞共生中形成對數(shù)學(xué)知識的整體理解。

（三）思維的順逆共生

1.思維的正向與逆向

思維的方向性決定了思維過程常有與之相反的思維過程。如，加和減的互逆，乘和除的互逆，整數(shù)的乘法和因數(shù)分解，舉出正反例，公式的正向、逆向應(yīng)用，分析與綜合，抽象化與具體化等，都是思維的正向與逆向的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)正是在“正逆”思維的循環(huán)往復(fù)中從淺表走向深入，正逆向思維相輔相成，缺一不可，讓學(xué)生全方位、多角度地分析問題，有助于推動學(xué)生思維的發(fā)展。例如，教學(xué)“公因數(shù)與最大公因數(shù)”時，前面的學(xué)習(xí)過程中，都是先找到了兩個數(shù)的公因數(shù)，再從公因數(shù)中去尋找兩個數(shù)的最大公因數(shù)。接著可以引導(dǎo)學(xué)生逆向思考：能不能根據(jù)兩個數(shù)的最大公因數(shù)，想到它們所有的公因數(shù)呢？引發(fā)學(xué)生根據(jù)公因數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，先找到最大公因數(shù)，然后找公因數(shù)，并且利用分解質(zhì)因數(shù)的知識以及數(shù)與數(shù)組合的知識去理解其中的道理。這里運用正向和逆向兩種思維，學(xué)生可由此體會到數(shù)學(xué)知識之間的相互關(guān)聯(lián)。

2.思維的聚合和發(fā)散

聚合思維將所有思考集中于一點，發(fā)散思維則是從一點出發(fā)，沿多個方向或路徑達到思維目標(biāo)。抽象化、一般化、形式化以及邏輯推理，多屬于聚合思維，而具體化、形象化以及聯(lián)想、類比、想象等，多屬于發(fā)散思維。數(shù)學(xué)思維需要綜合地運用聚合思維和發(fā)散思維這兩種總體上互為順逆的思維方式，才能有效地解決問題，增進知識理解，提高思維的深刻性、廣闊性。如計算新授課的教學(xué)，應(yīng)著重鼓勵學(xué)生結(jié)合對數(shù)的認知經(jīng)驗、對生活中數(shù)量關(guān)系的了解以及相關(guān)的計算經(jīng)驗，借助直觀圖形、計算工具、聯(lián)想類比等，開展計算實驗，放飛思維，從多種途徑積極探索有效的計算方法，同時也要理解同伴的探索過程，進行交流比較，這是思維發(fā)散的過程。然后，在此基礎(chǔ)上及時反思總結(jié)，找出最佳計算方法，揭示計算規(guī)律、本質(zhì)和原理，并及時提煉數(shù)學(xué)方法，積累探索算法的經(jīng)驗，這是思維聚合的過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也正是在“聚合和發(fā)散”的思維交融中從單一到多元再到優(yōu)化，助力學(xué)生思維的發(fā)展。

三、“順逆共生”的教學(xué)實施

行走不止，思考不息。“順逆共生”既然在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中如此普遍地存在，處理好“順逆共生”對學(xué)生積累經(jīng)驗、探索知識、發(fā)展思維具有積極有效的作用，那在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以從哪些方面具體實施呢？

（一）加強“順”與“逆”的對接

“順”與“逆”是對立統(tǒng)一的關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“順”與“逆”相反相成，兩者之間也存在共生的關(guān)系，需要做好對接。

例如，抽象與具體是一對順逆關(guān)系，屬于聚合思維與發(fā)散思維的關(guān)系。兒童，尤其是低年級兒童是感性的精靈，其思維以具體的感性思維為主，而數(shù)學(xué)思維以抽象的理性思維為主，教學(xué)中應(yīng)將抽象與具體相對接。一方面，要將理性的知識用感性的形式來表達，將抽象的知識具體化、形象化；另一方面，要助力學(xué)生逐漸從具體的感性思維過渡到抽象的理性思維，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化（如抽象概括、符號化）的過程。如此，從具體到抽象再到具體，讓學(xué)生經(jīng)歷多次順逆對接過程，可以讓學(xué)生內(nèi)在的理性精神得以萌發(fā)。

又如，運算中的加法和減法、乘法和除法，是兩對順逆關(guān)系。減法、除法源自加法、乘法，前者與后者的教學(xué)過程中，需要處理好兩者的對接關(guān)系。以思考、計算5-3為例，“5-3=？”相當(dāng)于求“3+？=5”，這就需要基于加減法的順逆關(guān)系，將加法和減法進行有效對接、過渡。教學(xué)時，從學(xué)生熟悉的加法情境引入，再創(chuàng)設(shè)減法情境，使學(xué)生想到可以依據(jù)先前經(jīng)驗列出加法算式。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生體會形如“3+？=5”的加法也可以用減法來表示。然后結(jié)合具體背景說出算式的含義，感悟減法的含義，最后讓學(xué)生經(jīng)歷多情境多層次的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生進一步理解減法算式中各個量的含義，了解加法和減法之間的關(guān)系。

（二）把握“順”與“逆”的坡度

知識的學(xué)習(xí)要有一定的思維含量，要有適當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性，知識的生成和發(fā)展過程，常需逆勢而上、逆向思維，以此促進學(xué)生思維的進階。在一組“正向、逆向思維”中，往往“逆向思維”較難。因此，教學(xué)中需要處理好思維的正向與逆向、聚合與發(fā)散之間的關(guān)系，把握好“順”與“逆”的坡度。

比如，教學(xué)“兩步連乘解決實際問題”，學(xué)生根據(jù)條件提出兩步連乘的問題之后，可再要求學(xué)生倒過來，根據(jù)問題補充相應(yīng)的條件，使之能用兩步連乘來解決。從由條件想問題到由問題想條件，對學(xué)生來說，無疑是一個挑戰(zhàn)，而我們出示的問題直接決定了學(xué)生是否能夠達成思維的生長。比較以下幾個問題：（1）3只燕子4天吃多少只害蟲？（2）燕子一共吃了多少只害蟲？（3）3只燕子一共吃了多少只害蟲？分別讓學(xué)生補充條件。很顯然，如果出示問題（1），學(xué)生會補充“1只燕子1天吃多少只”這個條件，思維顯得過于單一和封閉。如果出示問題（2），學(xué)生會陷入毫無頭緒的處境，思維顯得過于開放。而如果出示問題（3），學(xué)生的思考不僅有了范圍，而且能在這個范圍內(nèi)提出多樣化的條件，這樣的問題才是比較適切的。因此，從“順”到“逆”的過程中，坡度太緩，學(xué)生會索然無味；坡度太陡，學(xué)生會望而生畏。只有設(shè)好適當(dāng)?shù)钠露龋白寣W(xué)生跳一跳能夠得著”，才能促使學(xué)生思維不斷向高處攀爬。

（三）調(diào)控“順”與“逆”的節(jié)奏

著眼于具體的一堂課的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)是有順有逆，如此才能有課堂節(jié)奏的變化，課堂才有張有弛。正如馮衛(wèi)東老師說的那樣：“在‘順的時候，學(xué)生思維涌動、對話踴躍，課堂流程推進速度較快。在‘不順的時候，學(xué)生苦思冥想、糾結(jié)焦灼，教學(xué)行進放緩。在波動的變化中，學(xué)生既能體會‘勝任挑戰(zhàn)的欣悅，從而信心再增；也會品悟戰(zhàn)勝困難的艱辛，從而意志彌堅。”

著眼于整個數(shù)學(xué)知識體系，知識并不是勻速生長的，有時需要在“順向”知識處逗留一段時日，再教學(xué)“逆向”知識，有時則需要教完“順向”知識后即刻教學(xué)“逆向”知識。如學(xué)完整數(shù)乘法后，并未即刻教學(xué)整數(shù)除法，而是給了學(xué)生充分內(nèi)化吸收“順向”知識的時間，做好乘除法“順逆對接”的準(zhǔn)備、過渡。而學(xué)完長方形的面積公式以后，就緊接著進行已知面積和長，計算寬是多少等逆向的應(yīng)用。知識體系中“順”和“逆”節(jié)奏的調(diào)控源自學(xué)生對“順向”知識的接受度。接受度高則節(jié)奏放快，接受度低則節(jié)奏放緩。

我期待，順逆共生的課堂能在適切的坡度、適宜的節(jié)奏中讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的起伏、思維的波折，從而打通“順”與“逆”的關(guān)聯(lián)。讓學(xué)生在順逆共生的學(xué)習(xí)過程中，積累豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，淬煉靈動深入的思維，最終形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]陳葆.解構(gòu)主義與建構(gòu)主義的異質(zhì)同一性.[J].教學(xué)與管理，2007（12）.

[2]馮衛(wèi)東.“不太順”的課也許才是真正的好課.[J].初中生世界，2014（16）.

（陳晶，江蘇省南通市崇川小學(xué)，郵編：226014）