逯貴禎，王猛，陳軍文,2

（1.中國傳媒大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100024；2.中國航天科工集團(tuán)第二研究院科技委，北京 100854）

1 引言

微波成像是一種典型的近場成像技術(shù)，已經(jīng)在無損檢測、醫(yī)學(xué)診療、安檢等方面得到了廣泛的應(yīng)用并獲得良好性能[1,2]。微波成像問題的核心是通過得到的散射場數(shù)據(jù)，求解散射體材料系數(shù)、位置和形狀等參數(shù)。目前大部分成像算法都是基于Lippman-Schwinger 方程，由于方程的非線性與高度病態(tài)性，給求解過程帶來了一定的困難。因此，研究者們一直致力于性能良好的微波成像算法研究。但是由于微波成像算法具有嚴(yán)格的指向性，故算法種類多樣。

傳統(tǒng)微波成像算法主要包括隨機(jī)優(yōu)化算法[3]，例如：粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)，遺傳算法(genetic algorithm,GE)和差分進(jìn)化算法(differential evolution,DE)等；時(shí)間反轉(zhuǎn)成像(decomposition of the time reversal operator,DORT)[4],對比源反演(Contrast Source Inversion,CSI)[5,6]，子空間優(yōu)化策略(Subspace Optimization Method,SOM)[7-9]及其相關(guān)改進(jìn)算法以及基于壓縮感知(Compressive Sensing,CS)[10]理論的成像算法等。

大多數(shù)微波成像算法都需要進(jìn)行迭代運(yùn)算，比如：隨機(jī)優(yōu)化方法在合理的構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行多次迭代進(jìn)而有效的解決微波成像問題；CSI 與SOM 算法需要梯度優(yōu)化算法進(jìn)行迭代計(jì)算。雖然迭代運(yùn)算具有很強(qiáng)的適用性，但是在時(shí)間成本與硬件成本上是非常高的。同時(shí)，微波成像是嚴(yán)格的物理場問題，以物理場問題為例，研究者們在過去的幾年中提出了很多有效的解決方法，這些方法已被用于改進(jìn)反演模型，以避免傳統(tǒng)的黑盒求解[11,12]。

對比源反演是一種經(jīng)典的成像算法，其求解過程是一個病態(tài)性嚴(yán)重的問題，其中的測量矩陣是一個病態(tài)矩陣，測量矩陣與散射點(diǎn)位置有著密切關(guān)系，研究散射場測量的采樣點(diǎn)，可以有效改善測量矩陣的矩陣條件數(shù)，從而使該參數(shù)在數(shù)值計(jì)算中更易于求解。

針對目前對比源反演算法采用的梯度優(yōu)化算法計(jì)算繁瑣的劣勢與隨機(jī)優(yōu)化算法存在迭代收斂計(jì)算時(shí)間長的缺點(diǎn)，本文從矩陣角度出發(fā)，研究基于矩陣運(yùn)算的反演算法。為了提高成像分辨率，需要更多的目標(biāo)區(qū)域尺寸，傳統(tǒng)對比源反演算法為了得到更多的散射數(shù)據(jù)，入射場采用不同位置。由于對比源與入射場有關(guān)，入射場的恒定能夠保證對比源的恒定。本文首先提出了一種對比源微波成像反演模型，激勵源固定，對散射場數(shù)據(jù)進(jìn)行多圈層測量，以確保對比源這一物理量不發(fā)生變化；其次基于Lippman-Schwinger方程推導(dǎo)了矩陣算法的運(yùn)算過程。該算法無需進(jìn)行迭代運(yùn)算，提高了計(jì)算效率，同時(shí)可以適用于更加廣泛的散射體類型。

本文各章節(jié)安排如下：第二節(jié)介紹了一種對比源微波成像反演模型，第三節(jié)介紹了基于矩陣運(yùn)算的微波成像算法，第四節(jié)對提出的算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，最后對現(xiàn)有工作的不足和局限性進(jìn)行了闡述，對未來的工作方向進(jìn)行了展望。

2 對比源微波成像反演模型

微波成像通常是指采用微波輻射信號深入到散射物體，通過采集散射物體的散射信號，對散射物體的形狀和內(nèi)部參數(shù)進(jìn)行反演的過程。典型的微波成像如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)微波成像方法

如圖1 所示，在傳統(tǒng)的微波成像模型中，入射微波信號通常采用點(diǎn)源作為激勵源，圖中所示的二維微波成像問題采用線電流源。散射信號通常在圍繞散射物體的圓周上進(jìn)行均勻采樣。受到固定頻率的入射波的波長影響，在一個圓周上針對固定頻率采集的散射信號通常只能是有限個信號。散射樣本信號的缺乏，會導(dǎo)致散射體信息的丟失，更嚴(yán)重的會造成反演成像的失敗。為了克服散射信號樣本少的問題，一般可以通過改變?nèi)肷湮⒉ㄐ盘栐次恢?，進(jìn)行多位置采集，假設(shè)一共采用N個位置的入射位置，采用M個接收位置，此時(shí)采樣點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)目一共需要N×M個，這樣就可以增加采集的樣本數(shù)目，提高散射信息的完整性。

“對比源”這一概念于1997 年由Peter M van den Berg提出[5]。對比源的物理意義是成像域內(nèi)總場與材料參數(shù)（對于非磁性材料，通常是介電常數(shù)）的乘積。采用Born 近似的框架下，對比源與入射波信號有明顯的關(guān)系。在相關(guān)的文獻(xiàn)中，利用對比源方法進(jìn)行微波成像，通常需要構(gòu)造合適的目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化迭代過程進(jìn)行反演成像。

為了解決已有成像算法的局限性，本文提出一種入射源固定，通過采用不同半徑圓周收集微波散射信號的方法，實(shí)現(xiàn)微波成像的求解，對比源成像反演模型如圖2 所示。在入射源固定的條件下，不論是散射成像計(jì)算，還是散射物體區(qū)域內(nèi)部總場的計(jì)算，對比源都是相同的。在對比源一致的條件下，可以大大簡化微波成像反演過程，通過矩陣運(yùn)算就可以得到微波成像結(jié)果。

圖2 對比源微波成像反演模型

在第3節(jié)，根據(jù)圖2的微波成像反演模型，本文給出基于矩陣運(yùn)算的微波成像方法，該方法避免了優(yōu)化算法的迭代計(jì)算。

3 基于矩陣運(yùn)算的微波成像算法

目前常用的微波成像算法都是基于電場積分方程實(shí)現(xiàn)微波成像的反演計(jì)算。在二維空間內(nèi)的矢量電磁場問題，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算電磁場一個坐標(biāo)分量的問題，這樣可以簡化為標(biāo)量積分方程的問題。采用參考文獻(xiàn)[5]的符號，電場積分方程如下所示:

4 仿真與驗(yàn)證

本節(jié)采用五種不同的散射體進(jìn)行矩陣算法的驗(yàn)證。入射波頻率采用常用的ISM（Industry Science Medicine）頻段中的2.4GHz，成像域?yàn)檫呴L0.1m的正方形。采用矩量法計(jì)算微波成像中的正演問題。背景為自由空間。每一個圓周上等間距分布著90個接收點(diǎn)。一共設(shè)置3個接收圓周，總計(jì)270個接收點(diǎn)。激勵源距離成像域中心為0.25m，三個測量圓周的半徑分別為0.05m、0.10m和0.15m。對比源單位為V/m。

4.1 環(huán)形散射體

首先采用環(huán)形散射體，相對介電常數(shù)設(shè)置為5，散射體外尺寸0.07m×0.07m，內(nèi)尺寸0.05m×0.05m，成像域中相對介電常數(shù)分布如圖3所示。

圖3 環(huán)形散射體相對介電常數(shù)分布

利用提出的矩陣算法得到的環(huán)形散射體相對介電常數(shù)的反演結(jié)果如圖4所示。

圖4 環(huán)形散射體相對介電常數(shù)反演結(jié)果

為將原相對介電常數(shù)與反演結(jié)果進(jìn)行比較，將兩組相對介電常數(shù)在二維空間的分布變換到一維分布。如圖5 所示。其中，橫坐標(biāo)表示網(wǎng)格劃分時(shí)的一維編號。其中ε1為預(yù)先設(shè)置的相對介電常數(shù)，ε2為根據(jù)矩陣算法得到的相對介電常數(shù)。

圖5 環(huán)形散射體相對介電常數(shù)對比結(jié)果

從圖4 和圖5 的反演結(jié)果可以看出，提出的矩陣算法可以很好的實(shí)現(xiàn)相對介電常數(shù)的反演，并且反演結(jié)果沒有受到環(huán)形散射體內(nèi)部場耦合現(xiàn)象的影響，反演結(jié)果與預(yù)設(shè)參數(shù)吻合度較高。

4.2 三個均勻散射體

在成像域內(nèi)放置三個相對介電常數(shù)分布均勻的散射體，相對介電常數(shù)分別設(shè)置為3，6和9，每一個散射體尺寸0.03m×0.03m，空間中相對介電常數(shù)分布如圖6所示。

圖6 三個散射體相對介電常數(shù)分布

利用提出的矩陣算法得到的三個散射體的相對介電常數(shù)反演結(jié)果如圖7所示。

圖7 三個散射體相對介電常數(shù)反演結(jié)果

一維分布下相對介電常數(shù)的對比結(jié)果如圖8所示。

圖8 三個散射體相對介電常數(shù)對比結(jié)果

從圖7和圖8的反演結(jié)果可以看出，提出的矩陣算法可以很好的實(shí)現(xiàn)三個散射體的成像問題，散射體的數(shù)量、位置以及相對介電常數(shù)數(shù)值與預(yù)設(shè)結(jié)果一致。

4.3 帶氣泡的散射體

成像域中放置一個相對介電常數(shù)分布均勻散射體，相對介電常數(shù)設(shè)置為5，散射體上隨機(jī)分布兩個氣泡，散射體尺寸0.07m×0.07m，氣泡尺寸0.02m×0.02m。空間中相對介電常數(shù)分布如圖9所示。

圖9 帶氣泡散射體相對介電常數(shù)分布

相對介電常數(shù)的反演結(jié)果如圖10所示。

圖10 帶氣泡散射體相對介電常數(shù)反演結(jié)果

一維分布下相對介電常數(shù)的對比結(jié)果如圖11所示。

圖11 帶氣泡散射體相對介電常數(shù)的對比結(jié)果

從圖10和圖11的反演結(jié)果可以看出，提出的矩陣算法可以很好的解決帶有氣泡的散射體的成像問題。散射體內(nèi)部存在的氣泡數(shù)量和位置與預(yù)設(shè)參數(shù)保持一致。

4.4 非均勻散射體

成像域放置一個相對介電常數(shù)分布不均勻的“L”型散射體，存在三個數(shù)值的相對介電常數(shù)，分別設(shè)置為5，7和10。長邊尺寸為0.06m，短邊尺寸為0.3m，空間中相對介電常數(shù)分布如圖12所示。

圖12 非均勻散射體相對介電常數(shù)分布

相對介電常數(shù)的反演結(jié)果如圖13所示。

圖13 非均勻散射體相對介電常數(shù)反演結(jié)果

一維分布下相對介電常數(shù)的對比結(jié)果如圖14所示。

圖14 非均勻散射體相對介電常數(shù)對比結(jié)果

從圖13 和圖14 的反演結(jié)果可以看出，提出的矩陣算法可以很好的解決非均勻散射體的成像問題。相對介電常數(shù)的重構(gòu)結(jié)果與設(shè)置參數(shù)保持一致。

4.5 具有復(fù)介電常數(shù)的非規(guī)則散射體

前四個算例采用的相對介電常數(shù)皆為實(shí)數(shù)，本算例采用具有復(fù)介電常數(shù)的非規(guī)則散射體對提出的矩陣算法性能進(jìn)行驗(yàn)證。復(fù)介電常數(shù)設(shè)置為3+5i，如圖15所示。

圖15 非規(guī)則散射體復(fù)相對介電常數(shù)分布

利用矩陣算法得到的復(fù)介電常數(shù)反演結(jié)果如圖16所示。

圖16 非規(guī)則散射體復(fù)相對介電常數(shù)反演結(jié)果

一維分布下非規(guī)則散射體的復(fù)介電常數(shù)對比結(jié)果如圖17所示。

圖17 非規(guī)則散射體復(fù)相對介電常數(shù)對比結(jié)果

從圖16 和圖17 的反演結(jié)果可以看出，提出的矩陣算法可以很好的解決具有復(fù)介電常數(shù)的非均勻散射體的成像問題。由相關(guān)系數(shù)矩陣可以看出，復(fù)介電常數(shù)的實(shí)部與虛部重構(gòu)結(jié)果與設(shè)置的參數(shù)具有很強(qiáng)的相關(guān)性。

綜上所述，從各個算例的反演結(jié)果可以看出，提出的基于對比源的矩陣算法可以很好的多樣化的微波成像問題，反演得到相對介電常數(shù)與預(yù)設(shè)參數(shù)具有高度一致性。

同時(shí)，相對于傳統(tǒng)的迭代算法，提出的矩陣算法無需進(jìn)行迭代運(yùn)算，節(jié)約了時(shí)間成本與硬件成本，具有更廣泛的適用性。

5 總結(jié)與展望

本文提出的基于對比源的微波成像矩陣算法由Lippman-Schwinger 方程推導(dǎo)而來，具有嚴(yán)格的物理意義和數(shù)學(xué)意義；同時(shí)，基于對比源的散射場反演模型采用了一個固定的激勵源，有益于保證對比源的一致性，從而利于將復(fù)雜的成像問題轉(zhuǎn)換成矩陣運(yùn)算分步求解。仿真結(jié)果表明，提出的基于對比源的矩陣算法能夠很好的解決均勻散射體與復(fù)雜散射體的成像問題。

通過對散射體介電常數(shù)的計(jì)算與總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有文獻(xiàn)中散射體介電常數(shù)實(shí)部與虛部的數(shù)值選取相對較小。隨著人工超材料的飛速發(fā)展，越來越多具有復(fù)雜介電常數(shù)的材料被提出，巨大的損耗與較大的反射系數(shù)對算法的性能提出了新的考驗(yàn)。將提出的算法應(yīng)用于這類復(fù)雜成像問題，是下一步的目標(biāo)與研究動力。