姜向前，王 瑩，宋 揚，趙春宇，張 宇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 物理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

光波遇到障礙物時發(fā)生偏離直線傳播的現(xiàn)象稱為光的衍射，是光波動性的一個重要特征.衍射現(xiàn)象具有兩個鮮明的特點，即限制與擴展[1]，只要光在波前傳播方向受到限制則產(chǎn)生衍射，那么遠(yuǎn)處屏上的衍射光強就沿該方向擴展開來.障礙物的尺度與波長之間的關(guān)系決定了衍射現(xiàn)象的強弱.只要障礙物的尺寸在λ～103λ之間就會得到明顯衍射現(xiàn)象.

由于衍射結(jié)構(gòu)與衍射圖樣是一一對應(yīng)的，因此可利用衍射圖樣進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、形貌表征.大學(xué)物理實驗中利用衍射進(jìn)行測量的簡單例子是光柵衍射測光柵常數(shù)和波長[2,3].激光入射光柵，由衍射光斑即可實現(xiàn)對波長的測量.直尺刻線亦可認(rèn)為是光柵結(jié)構(gòu)，利用直尺衍射也可實現(xiàn)對光波長的測定.但在測量過程中發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，當(dāng)入射光斑照射到直尺邊緣或鋼尺表面非刻度區(qū)時衍射屏上出現(xiàn)半圓形衍射光斑.由于衍射光斑與衍射結(jié)構(gòu)一一對應(yīng)，本文將理論結(jié)合實驗針對直尺的衍射現(xiàn)象開展研究.

1 直尺衍射圖樣及其表面形貌

無論對于塑料尺還是鋼尺，如圖1(a)所示，不論入射光照射刻度線側(cè)邊緣還是照射非刻度線邊緣都會出現(xiàn)如圖1(c)所示的衍射圖樣.若將激光束入射直尺表面空白區(qū)域如圖1(b)所示，對于塑料尺與亞光鋼尺衍射屏上只有反射光斑，無半圓形衍射光斑出現(xiàn).對于拋光鋼尺，衍射光斑沿x方向向兩側(cè)擴展，有半圓形衍射圖樣出現(xiàn)如圖1(d)所示.由此可判斷，對于塑料尺與亞光鋼尺表面無規(guī)則結(jié)構(gòu), 而對于拋光直尺表面應(yīng)該存在規(guī)則結(jié)構(gòu).無論入射鋼尺表面與邊緣都會有半圓形衍射圖樣出現(xiàn)意味著表面與側(cè)面具有類似的微觀結(jié)構(gòu).為了證實這種判斷，將利用光學(xué)顯微鏡對直尺表面與側(cè)面進(jìn)行表征, 如圖2所示.

直尺邊緣衍射 直尺表面衍射

拋光鋼尺表面成像 亞光鋼尺表面成像

由表征結(jié)果可知，塑料直尺與亞光鋼尺表面并無規(guī)則結(jié)構(gòu)，因此只在反射點處得到一個亮斑，光斑并未發(fā)生擴展.塑料直尺側(cè)面與拋光鋼尺表面、側(cè)面發(fā)現(xiàn)復(fù)雜條形結(jié)構(gòu).盡管出現(xiàn)規(guī)則的條形結(jié)構(gòu)卻并不能得到明確的周期，但可認(rèn)為是多套條形光柵的疊加.雖然由表征結(jié)果得到了規(guī)則的衍射結(jié)構(gòu)，但這種條形結(jié)構(gòu)的衍射圖樣為什么是半圓形仍不得而知，為了解釋半圓形衍射光斑，下面我們將從簡單的二值光柵的衍射理論出發(fā)給出結(jié)果分析.

2 直尺衍射圖樣理論分析

為了解釋直尺側(cè)面與拋光鋼尺表面的半圓形衍射圖樣，考慮最簡單的情況，即二值光柵的衍射.文獻(xiàn)中已有很多二值光柵的衍射行為的討論[4-8]，Harvey和Vernold[5]利用方向余弦解決了二值光柵的圓錐衍射問題.基于圓錐衍射我們將討論存在微結(jié)構(gòu)的直尺表面的衍射問題.

首先考慮一束光入射標(biāo)準(zhǔn)光柵如圖3所示，θi為入射角，φ0和φ為方位角，θ0為極角.光柵矢量G平行于α軸，而光柵槽沿β軸，直角坐標(biāo)系中r(x,y,z)在方向余弦空間中的3個分量為

圖3 方向余弦空間中反射光柵的圓錐衍射

(1)

α,β,γ滿足α2+β2+γ2=1.

入射光與單位球面的交點在αβ平面上的投影為(αi,βi)，由圖可知

(2)

整理得

(3)

由圖3可知β軸方向波矢分量為βm=ky/k0=sinθisinφ，由于入射角θi與方位角φ是確定的值，則β方向波矢分量為定值，即所有衍射級次位于同一個垂直β軸的平面上，進(jìn)而可得βm+βi=0.由式(3)可得

βm=-sinφ0

(4)

(5)

由式(5)可知αm、γm在半徑為|cosφ0|的圓周上.下面我們進(jìn)一步討論各衍射級次的間距問題.由光柵方程αm+αi=mλ/d(m為整數(shù)，d為光柵周期)[6]可得

(6)

由式(6)可得

(7)

由式(5)和式(7)可知，所有衍射級次等間距分布在同一圓上.下面給出衍射光斑的尺寸，假定光柵距衍射屏距離為L，考慮特殊情況即入射面為βγ平面，入射角為θi，則有tanθi=L/r，其中r為衍射屏上對應(yīng)圓衍射光斑的半徑，整理得

(8)

至此，我們已經(jīng)推導(dǎo)了光入射條形光柵各衍射階次的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)對于標(biāo)準(zhǔn)二值光柵各衍射級次離散分布在一個與柵屏距L、入射角θi相關(guān)的一個圓上.若入射反射光柵，衍射光斑為半圓；若入射透射光柵，衍射光斑離散分布在整圓上.由二值光柵衍射結(jié)果可知，對于存在條形結(jié)構(gòu)分布的直尺側(cè)面與表面，均可看成是多套光柵的疊加，疊加的結(jié)果導(dǎo)致衍射光斑不再離散分布，而是連續(xù)分布形成一個圓.

為了驗證式(8)，表1給出了兩個入射角下衍射光斑半徑r與衍射屏距離為L的關(guān)系.由式(8)可得到衍射角分別為34.7°和65.2°.由表1可看出當(dāng)改變不同的衍射距離L時，半圓形衍射光斑的半徑隨之改變，二者滿足式(8).

表1 衍射光斑半徑與入射角的關(guān)系

3 結(jié)論

本文理論結(jié)合實驗解釋了直尺表面、邊緣的衍射問題，研究發(fā)現(xiàn)直尺側(cè)面與拋光鋼尺表面的衍射光斑呈半圓形.光學(xué)顯微鏡觀察直尺側(cè)面與鋼尺表面存在類光柵結(jié)構(gòu).基于二值光柵衍射理論，給出了圓形衍射光斑的定性解釋.直尺表面的類光柵結(jié)構(gòu)可看作是多套二值光柵的疊加，光柵衍射的疊加導(dǎo)致了半圓形衍射光斑的出現(xiàn).另外，對于標(biāo)準(zhǔn)的光柵，衍射光斑并不存在展寬.但直尺表面不同周期的光柵的槽深是不同的.與深槽和淺槽對應(yīng)的零級衍射斑在衍射屏上的高度不同，因此深淺不一的光柵的衍射導(dǎo)致了衍射光斑在Z方向出現(xiàn)一定程度展寬.