龔靜

(北京建筑大學 電氣與信息工程學院， 北京 100044)

0 引 言

智能電網(wǎng)的發(fā)展使得大量電力電子器件和非線性、波動性負荷不斷增加，進而帶來了各種電能質(zhì)量問題。在實際應(yīng)用中，由于設(shè)備安裝的位置、外界的電磁干擾等因素，利用監(jiān)測設(shè)備測量、傳輸電能質(zhì)量信號的過程中不可避免地會受到隨機噪聲的干擾。噪聲的存在會嚴重影響信號擾動點的分析和定位，因此，有效去噪是治理電能質(zhì)量的重要基礎(chǔ)[1-3]。

目前提出了各種去噪方法，主要包括：S變換、小波變換、數(shù)學形態(tài)學、經(jīng)驗模態(tài)分解、非線性中值濾波器等，這其中小波變換又以其具有低熵性、多分辨率特性和去相關(guān)性而廣泛用于電能質(zhì)量檢測中。為了實現(xiàn)去噪，要先設(shè)定閾值，然后對小波系數(shù)進行置零或者收縮等處理，對處理后的小波系數(shù)進行逆變換，重構(gòu)信號將較好地還原原始信號。傳統(tǒng)傅里葉變換的母函數(shù)確定就是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，而小波變換的母函數(shù)卻不固定。在進行電能質(zhì)量信號去噪時，各小波所具有的不同特性會使得去噪效果大不一樣，選擇什么小波去分解和重構(gòu)信號會對去噪效果有著重要影響[4-14]。但目前卻并沒有文獻在小波選取上進行深入的研究，不同的文獻選擇了不同的小波，如文獻[6]選擇的rbio 3.1小波，文獻[7-8]選擇了db 4小波，文獻[9]采用db 6小波，文獻[10]采用db 2和db 8小波，文獻[11-12]采用sym 8小波，但這些文獻都沒有詳細說明具體的小波選取原則，也并沒有深入探索這些不同小波所具有的不同特性對去噪結(jié)果的影響。

文中提出一種含有可調(diào)參數(shù)的新閾值函數(shù)，在研究小波諸多特性對去噪結(jié)果影響的基礎(chǔ)上，給出了在電能質(zhì)量信號去噪中所選取的小波應(yīng)該滿足的五個特點。

1 可調(diào)閾值函數(shù)和閾值的選取

1.1 新閾值函數(shù)的提出

閾值函數(shù)的選取對去噪重構(gòu)信號高頻信息和平滑性有著直接的影響，軟閾值函數(shù)因其過渡光滑會造成高頻信息的損失，硬閾值函數(shù)因其不連續(xù)會產(chǎn)生一些間斷點，提出的可調(diào)閾值函數(shù)，通過對其參數(shù)m的控制，可以實現(xiàn)多種不同的軟硬特性，其數(shù)學表達式如下：

(1)

式中m為可調(diào)節(jié)因子，可取任意正常數(shù)。

當m→∞時，有：

(2)

顯然，式(2)變成了硬閾值函數(shù)表達式。

同理，當m→0時，將變?yōu)檐涢撝岛瘮?shù)。

當參數(shù)m∈(0，∞)，改變參數(shù)m的值，新閾值函數(shù)可以在軟硬閾值函數(shù)之間變動，其示意圖如圖1所示，圖中分別展示了m取0.8、1.3、2、3、5、14時的閾值函數(shù)，當m=14時，新閾值函數(shù)比較接近硬閾值函數(shù)，隨著m值的逐漸減小，新閾值函數(shù)慢慢趨于軟閾值函數(shù)特征，當m=0.8，新閾值函數(shù)已經(jīng)比較接近軟閾值函數(shù)了。從圖1可見，m取不同值時，新閾值函數(shù)分別軟硬閾值函數(shù)之間的不同區(qū)域，反應(yīng)了多種不同的軟硬特性，實際中m一般可以在0～30之間取值。

圖1 新閾值函數(shù)示意圖Fig.1 Schematic diagram of new threshold function

1.2 閾值的選取

(3)

式中j為小波分解尺度；N為在j尺度上的小波細節(jié)系數(shù)cdj,k的總個數(shù)，噪聲標準差σj計算如下:

(4)

圖2 去噪算法流程圖Fig.2 Flow chart of wavelet de-noising algorithm

2 小波特性分析

2.1 正交性

在小波分析中，討論比較多的是平移的系統(tǒng)，即有：

2.2 支撐長度

隨著時間或頻率逐漸趨于無窮大，小波函數(shù)和尺度函數(shù)逐步收斂，支撐長度表明了其從有限值收斂到零的速度。小波的支撐長度越小，則局部化能力越強，對檢測信號的突變點越有利，但同時也會導致光滑性變差。濾波過程中會產(chǎn)生人為截斷，緊支小波能很好地避免截斷導致的誤差，從而提高精度[16]。時域快速衰減、頻域緊支的小波函數(shù)在分解信號時，能夠提供系數(shù)有限的沖擊響應(yīng)濾波器。

2.3 正則性

對函數(shù)f，若|f(x)-f(x0)|≤C|x-x0|α，x∈(x0-δ,x0+δ)(C、α>0為常數(shù))，則稱f在x0具有局部Lipschitz指數(shù)α，如果g在x0具有局部Lipschitz指數(shù)β，而β>α，則g比f在x0具有較高的局部正則性[17]。如果ψ(t)的正則性高，則近似計算的穩(wěn)定性好，否則，幾乎到處會出現(xiàn)近似計算不穩(wěn)定的問題。如果信號在某一點或者在某一區(qū)間是可微的，那么稱信號在該點或者在該區(qū)間是正則的，反之就是奇異的。

2.4 消失矩階數(shù)

2.5 對稱性

設(shè)函數(shù)f(t)∈L2(R)，如果滿足：

f(a+t)=f(a-t)

則稱f(t)具有對稱性。

如果滿足：

f(a+t)=-f(a-t)

則稱f(t)具有反對稱性。

對稱性主要用來表征信號的相位信息。緊支小波函數(shù)的線性相位性可以等同于其對稱性，也就是說，若小波的對稱性越好，則其具有更好的線性相位性。

2.6 小波選取遵循的五個特點

基于以上對小波特性的分析，為取得更好的去噪效果，選取的小波應(yīng)滿足以下特點：

(1)具有正交性。

利用正交小波函數(shù)處理信號，能夠減少誤差，避免信號能量和特征的丟失。在小波分解過程中，正交性能夠保證沒有冗余；在基函數(shù)平移過程中，正交性可以實現(xiàn)信息的不重疊；

(2)較長的支撐長度。

支撐長度越長越適于做頻域信號的局部分析，反之則適于時域信號。在電能質(zhì)量信號的去噪中，對時域要求不高而更關(guān)注頻域的信息，故應(yīng)該選擇具有較長支撐長度的小波函數(shù)；

(3)較高的正則性。

正則性越高，小波越能快速收斂，頻域的局部性也就越好。小波函數(shù)的正則性會在一定程度上影響小波重構(gòu)系數(shù)的穩(wěn)定性，具有一定的正則性則可以獲得更穩(wěn)定的小波重構(gòu)信號；

(4)較高的消失矩階數(shù)。

消失矩階數(shù)越高，則小波變換后的能量主要集中在低頻部分，小波分解后信號的能量也越集中，因此在檢測高階導數(shù)不連續(xù)的信號時，局部化能力得以提升；

(5)對于對稱性要求不高。

去噪并不一定要求小波的濾波特性要具有線性相位。

3 實驗研究

3.1 從細節(jié)圖對比去噪結(jié)果

利用小波對信號進行分解時，必須確定合理的分解尺度，對信號的頻帶進行正確的劃分，頻帶劃分不宜過細以防止采樣點數(shù)過少，也不宜過寬以防止準確性降低，綜合考慮后，確定分解到第4尺度。依據(jù)IEEE 1159電能質(zhì)量監(jiān)控標準建立擾動信號，基準頻率取為50 Hz。因?qū)嶋H中電能質(zhì)量數(shù)據(jù)的采樣通常都是12.8 kHz,故文中選取采樣頻率為12.8 kHz,即每周波256個采樣點[19]。實驗時長0.3 s,共計3 840個采樣點。限于篇幅，下面以一含有暫升、中斷、諧波三種擾動的復合電能質(zhì)量信號為例，選擇有代表性的db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四種小波按照圖2流程進行去噪后的信號如圖3所示。從圖3初步可以看出，rbio 3.1小波去噪后波形很不光滑，效果差，為能更清晰地觀察其他三種小波的去噪效果，將A、B、C三處(如圖3中虛線框標示)的波形進行局部放大，對應(yīng)的細節(jié)放大如圖4所示，進一步將C點細節(jié)圖中的D點局部放大，得到圖4中的D點細節(jié)圖。

圖3 四種小波去噪后的信號Fig.3 De-noised signals by four kinds of wavelets

圖4 ABCD點的細節(jié)圖Fig.4 Details of ABCD points

波形分析：從圖4的C點細節(jié)圖可以清晰地看到，采用rbio 3.1小波去噪后波形與原始信號波形相差甚遠，毫無規(guī)則且大幅度的偏離原始信號，其去噪效果明顯遠遠差于db 5、haar、bior 2.2小波。再從圖4 的A、B、D點細節(jié)圖對比db 5、haar、bior 2.2三種小波，顯然haar小波去噪后波形偏離原始波形較大且不光滑，db 5小波去噪后波形幾乎與原始波形重合，達到了最好的去噪效果。bior 2.2小波去噪后波形盡管與原始波形較為接近，但仍然存在偏離較大的位置，如A點細節(jié)圖[0.065，0.0655]、B點細節(jié)圖的[0.195，0.1955]、D點細節(jié)圖的[0.267，0.268]等區(qū)間出現(xiàn)的冒尖點，故bior 2.2小波去噪效果優(yōu)于haar小波，但劣于db 5小波。

原因分析：結(jié)合各小波的特性來進一步分析深層次的原因。db 5、bior 2.2、haar小波的支撐長度分別為9、6、1，上述的波形分析驗證了2.6節(jié)提出的選取特點(2):較長的小波支撐長度具有更好的去噪效果。而通常支撐長度越長則正則性也越好，這也驗證了2.6節(jié)提出的選取特點(3):選擇較高正則性的小波將更有利于去噪。db 5、bior 2.2、haar小波的消失矩階數(shù)分別為5、1、1，驗證了2.6節(jié)提出的選取特點(4):較高的消失矩階數(shù)更有利于頻域的分析。對稱的haar和rbio 3.1小波的去噪效果不如近似對稱的db 5小波和不對稱的bior 2.2小波，可見對稱性對去噪效果影響不大，這驗證了2.6節(jié)提出的選取特點(5):去噪中對于對稱性無特殊要求。另外，bior 2.2和rbio 3.1小波都無正交性，但bior 2.2小波消失矩階數(shù)為1，而rbio 3.1無消失矩階數(shù)，前者去噪效果尚可，故可見相比于正交性，消失矩階數(shù)是影響去噪的關(guān)鍵因素。

綜上可知， db 5小波的去噪效果優(yōu)于bior 2.2，這兩者又明顯優(yōu)于haar、rbio 3.1小波。

3.2 從SNR和MSE指標對比去噪結(jié)果

去噪效果的評價指標[20-21]通常是信噪比SNR(Signal-to-Noise Ratio)和均方誤差MSE(Mean Square Error)，其定義式為:

(5)

(6)

式(5)、式(6)中，s(t)表示原始信號；s′(t)表示去噪后的信號。

建立電壓暫降、中斷、振蕩、諧波四種電能質(zhì)量擾動模型，利用db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1四種小波按照圖2流程進行去噪后的SNR和MSE值,如表1所示?？梢?，無論輸入信噪比為何值，無論是哪種擾動類型，去噪后的SNR值從高到低排列、去噪后的MSE值,從低到高排列對應(yīng)的小波依次為db 5、bior 2.2、haar、rbio 3.1，信噪比越大，均方誤差越小，則去噪效果越好，這進一步證明了滿足2.6節(jié)提出的小波選取特點的db 5小波去噪效果最好。

表1 四種小波去噪后的SNR和MSE對比Tab.1 Comparison of SNR and MSE after different wavelets de-noising

當輸入SNR=18 dB時，針對電壓暫降、中斷、振蕩、諧波四種擾動情況，利用db 5小波進行去噪，波形如圖5所示，可見db 5小波去噪后的波形光滑，選用db 5小波達到了較好的去噪效果。

圖5 含噪信號和db 5小波去噪后的信號Fig.5 Noisy signals and de-noised signals by db 5 wavelet

4 結(jié)束語

文章提出的可調(diào)閾值函數(shù)兼具軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點，閾值修正算子的引入更好地反映了信號和噪聲小波系數(shù)在不同尺度間的傳播特性。對小波的特性進行了深入研究，進而提出了在電能質(zhì)量信號去噪中小波選取應(yīng)滿足的五個特點，即應(yīng)該選擇具有較長支撐長度、較高正則性和消失矩階數(shù)的正交小波，而對小波的對稱性沒有特殊要求。針對電壓暫降、暫升、中斷、振蕩、諧波五種電能質(zhì)量擾動，采用db 5、haar、bior 2.2、rbio 3.1四種小波進行去噪，實驗結(jié)果表明，db 5小波去噪后波形幾乎與原始波形重合，且去噪后SNR最大、MSE最小，去噪效果遠優(yōu)于其他三種小波，這證明了所提小波選取原則的正確性。