姜恒坤,張華振,,候仰青,伍 科

(1.中國空間技術(shù)研究院西安分院,陜西 西安 7 1 0 0 0 0;2.上海躍盛信息技術(shù)有限公司,上海 200240)

1 前 言

隨著太空空間研究事業(yè)的發(fā)展,需采用直徑更大的星載天線,并且對天線型面精度的要求也越來越高?？臻g拋物柱面天線具有方向性強、增益高、易于光束自動掃描等優(yōu)點,因而近幾年成為了空間天線研究的一大熱點。

拋物柱面天線在20 世紀(jì)末得到了初步研究,在21世紀(jì)初得到了進一步的發(fā)展。2003年John等[1]通過研制膜結(jié)構(gòu),驗證了其滿足型面精度要求的技術(shù)可行性。2004年Soykasap 等[2]研究了雙向可展開彈性薄殼拋物柱面天線。2004年Greschik 等[3]研究了重力加速度與邊界條件對在軌薄膜拋物柱面反射面的影響。2007年Im 等[4]采用薄膜材料設(shè)計了半尺寸PR-2拋物柱面天線原型模型。2010年Leifer等[5]研究了不同重力對拋物形膜反射面的型面影響。

研究初期天線反射面多采用金屬材料等制成,其缺點為質(zhì)量重、剛度大等,而薄膜材料因為容易產(chǎn)生褶皺影響精度而限制了它的設(shè)計口徑及應(yīng)用范圍[6-7]。

蜂窩結(jié)構(gòu)與其它傳統(tǒng)材料相比,具有輕質(zhì)、高比強度、高比剛度、高剪切模量,抗沖擊、隔熱、可設(shè)計性強、可減小應(yīng)力集中等特點。零泊松比的結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)正交方向的變形不會產(chǎn)生耦合,而當(dāng)其受到彎曲時,通常情況下會表現(xiàn)為圓柱形[8]。 類似于Silicomb[9-10],Chevron[11]和Accordion[12]這類蜂窩結(jié)構(gòu),它們的泊松比通常表現(xiàn)為0。彎曲型面如圖1所示,這使得零泊松比結(jié)構(gòu)更適合于只表現(xiàn)出單曲率彎曲或一個方向變形的結(jié)構(gòu)[8,13]。

圖1 三種泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)柱面成型 (a)ZPR 單曲面;(b)PPR 鞍 型 面;(c)NPR 凸 面Fig.1 Images of“tubes”formed from honeycombs with(a)ZPR-single curve;(b)PPR-concave;(c)NPR-convex

Arrow型蜂窩是一種結(jié)構(gòu)較為簡單的零泊松比蜂窩,它的性能只與胞壁厚度、長度、高度以及夾角四個幾何參數(shù)相關(guān),在一定情況下與其他蜂窩相比具有近似甚至更加優(yōu)異的力學(xué)性能。本研究將采用Arrow 型蜂窩結(jié)構(gòu)變形擬合拋物柱面天線的反射面,通過蟻獅優(yōu)化算法優(yōu)化型面精度,以此驗證零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)用于拋物柱面天線的可行性以及蟻獅優(yōu)化算法的有效性。

2 柱面成型

本研究選取Arrow 型零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)作為研究對象,目標(biāo)曲面為拋物柱面。由于Arrow 型蜂窩本身具有零泊松比的特性,所以在幾何分析中可以忽略蜂窩板寬度方向的影響,將其視為二維平面結(jié)構(gòu)來分析加載的具體情況。利用UG-NX 建立蜂窩板的三維模型(122 mm×100 mm×2.5 mm)如圖2所示,分析計算采用ABAQUS,單元屬性為S4R。

圖2 Arrow 型蜂窩板幾何模型Fig.2 Geometry of Arrow honeycomb

假設(shè)蜂窩板變形前后長度不會發(fā)生變化,在蜂窩板兩側(cè)施加對稱的轉(zhuǎn)角和位移載荷,如圖3所示。

圖3 柱面成型加載方式示意圖Fig.3 Illustration of loading method

圖中參數(shù)表示為:

式中:L為蜂窩板原長,y為目標(biāo)曲線。

由于整體結(jié)構(gòu)的尺寸限制,計算過程中不能直接忽略厚度的影響。在彎曲加載過程中,壓縮面板長會減小而拉伸面相比原長會增加,這使得在上述計算中按蜂窩板原長計算得到的Δl值可能偏小,所以在計算中需要考慮蜂窩板厚度帶來的影響,如圖4所示。

圖4 板厚h 的蜂窩板加載方式示意圖Fig.4 Illustration of loading method considering thickness-h

式中:h為蜂窩板厚度。

按照計算出的載荷進行有限元分析,變形后云圖表現(xiàn)出在寬度方向變形的一致性,如圖5所示,尤其是彎曲撓度的一致性,這點證明了拋物柱面成型的有效性及忽略其寬度方向變形影響的可行性。

圖5 蜂窩板變形有限元仿真Fig.5 FE simulation of honeycomb deformation

上述通過幾何計算得出了曲面成型所需載荷,雖然考慮了蜂窩板厚度的影響,但由于變形過程中可能會產(chǎn)生的非線性變形,計算得出的載荷并不是使得型面精度最高的最優(yōu)解,因此可以針對型面精度進行優(yōu)化。

3 蟻獅優(yōu)化算法(ALO)概述

3.1 ALO 背景

ALO 算法模擬了自然界中蟻獅誘捕螞蟻,最早由Mirjalili[14]于2015年提出。

蟻獅的幼蟲會在沙地上一邊旋轉(zhuǎn)一邊向下鉆而形成一個漏斗狀的陷阱[15-17],自身藏在漏斗最底端沙子下面將沙子往外彈拋,使得陷阱周圍平滑陡峭[18]。

當(dāng)螞蟻或其他小蟲爬入陷阱時因為沙子松動而滑下,蟻獅則不斷向外彈拋沙子,使獵物被流沙推進陷阱中心而吃掉。然后把尸體扔出陷阱準(zhǔn)備下一次的捕獵[19]。

ALO 算法的流程如圖6所示。

圖6 蟻獅優(yōu)化算法的流程圖Fig.6 Flow chart of ALO algorithm

3.2 ALO 算法

ALO 算法是模擬蟻獅和螞蟻在捕食過程中的相互關(guān)系而得出的,為了構(gòu)建這種關(guān)系的模型。需要螞蟻在搜索空間中移動,而蟻獅來捕捉它們,并且通過構(gòu)建陷阱捕食而變得適應(yīng)度更高。因為在自然界中螞蟻是隨機移動的,因此采用如下所示的一個隨機步長來模擬螞蟻的活動過程:

式中:n為迭代的最大次數(shù),t為表示迭代次數(shù),cumsum是計算累積的步長和的函數(shù),r(t)是一個隨機函數(shù),可以表示為:

優(yōu)化過程中,螞蟻的位置矩陣表示為:

式中:Anti,j為第i只螞蟻的第j個變量值(變量維度),n為螞蟻數(shù),d為變量數(shù)。

每一只螞蟻的位置都表示問題的一個優(yōu)化參數(shù)值。為了得到每只螞蟻的適應(yīng)度,需在優(yōu)化過程中采用目標(biāo)函數(shù)計算出螞蟻的適應(yīng)度矩陣:

式中:F為適應(yīng)度函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))。

式中:AntLi,j為第i只蟻獅的第j個變量值(變量維度),n為蟻獅數(shù),d為變量數(shù),F為適應(yīng)度函數(shù)(目標(biāo)函數(shù))。

3.2.1 螞蟻活動的隨機步長 在優(yōu)化過程中,螞蟻通過式(5)來保證隨機活動,為了保證活動范圍包含在搜索空間內(nèi),需要對其進行正規(guī)化:

式中:ai為第i個變量活動的最小隨機步長,bi為第i個變量活動的最大隨機步長,c為第i個變量在第t次迭代時的最小值,d為第i個變量在第t次迭代時的最大值。

3.2.2 選取獵物 如上文所述,螞蟻活動隨機步長的大小會受到蟻獅所挖陷阱的影響,這種行為具體可以描述為下式:

式中:ct為第t次迭代時所有變量中的最小值;dt為第t次迭代時所有變量中的最大值;c為第i只螞蟻所有變量的最小值;d為第i只螞蟻所有變量的最大值;Antlion為第j只蟻獅在第t次迭代時的位置。

3.2.3 建造陷阱 蟻獅優(yōu)化算法采用輪盤算子來模仿自然界中蟻獅捕食的行為,選取標(biāo)準(zhǔn)按照每只蟻獅在優(yōu)化過程中的適應(yīng)度,適應(yīng)度越高的蟻獅捕捉到螞蟻的的可能性越高。

3.2.4 螞蟻墜入陷阱 按照這種模仿的捕食機制,蟻獅會依照其適應(yīng)度大小建造相應(yīng)大小的陷阱,而螞蟻則在其周圍隨機活動。然而,蟻獅一旦意識到有螞蟻進入陷阱,它會將陷阱中心里的沙粒拋出使得螞蟻慢慢滑下,而螞蟻則會盡力掙脫試圖爬出。以下式來模擬螞蟻的這種行為:

式中:I為比例系數(shù)。

3.2.5 抓住獵物并且重建陷阱 這是整個捕食過程的最后一步,螞蟻掉到陷阱底部被蟻獅抓住到沙子里然后吃掉。在這一步中,調(diào)用目標(biāo)函數(shù)分別計算螞蟻和捕食它的蟻獅的適應(yīng)度,假設(shè)當(dāng)螞蟻的適應(yīng)度大于捕食它的蟻獅時(被拖入沙子)螞蟻就被抓住了,然后蟻獅的位置移動到其最近捕食的螞蟻的位置重新構(gòu)建陷阱來進行下一次捕食。具體表示為:

式中:t為當(dāng)前迭代次數(shù),Antlion為第j只蟻獅在第t次迭代時的位置,Ant為第i只螞蟻在第t次迭代時的位置。

3.2.6 精英選擇 在優(yōu)化算法迭代的過程中,精英選擇是選取每一次迭代中最優(yōu)解的重要步驟。在ALO 算法中,選取每一次迭代中最優(yōu)的蟻獅作為精英個體,它可以影響所有螞蟻在迭代過程中的活動,因此可以假設(shè)每只螞蟻同時在其由輪盤選出的對應(yīng)蟻獅和精英個體周圍活動,具體表示為:

式中:R為第t次迭代中在有輪盤選出的蟻獅周圍活動的隨機步長,R為第t次迭代中在精英個體周圍活動的隨機步長。

4 目標(biāo)函數(shù)

本研究優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為輸入不同的載荷r(rotation轉(zhuǎn)角)和d(displacement位移),分析計算后輸出變形曲面的RMS。表示為:

函數(shù)示意圖如圖7所示。

圖7 目標(biāo)函數(shù)示意圖Fig.7 Schematic diagram of objective function

4.1 ABAQUS計算

本研究中對于蜂窩板模型的變形計算采用有限元分析軟件ABAQUS,模型為用Python 語言編寫的Inp文件。為蟻獅算法中的螞蟻和蟻獅賦予兩個變量值,分別用Anti,1;AntLi,1和Anti,2;AntLi,2表示施加的載荷r和d。第一次初始化螞蟻和蟻獅的位置后,需要用蟻獅的位置參數(shù)改寫Inp文件中的輸入載荷。之后的每一次迭代過程中,在改變了螞蟻的位置后,分別用每一只螞蟻的位置參數(shù)改寫Inp文件中的輸入?yún)?shù)r和d,然后調(diào)用ABAQUS軟件計算新的有限元模型。

4.2 曲面擬合與RMS計算

函數(shù)輸出RMS表示加載不同載荷變形后的結(jié)果與理想曲面之間的差值[20-21],根據(jù)拋物柱面的幾何表達式,可以表示為:

由于不同的載荷下蜂窩板的變形量并不相同,為了保證上式適用于每一個模型,需要先進行曲面擬合后再計算RMS。提取計算結(jié)果中蜂窩板彎曲內(nèi)側(cè)表面所有節(jié)點的坐標(biāo)數(shù)據(jù),采用最小二乘法進行拋物面擬合,然后計算其表面RMS。

5 計算結(jié)果

假定目標(biāo)拋物柱面焦距取為40 mm,標(biāo)準(zhǔn)曲線表示為y=x2/160,首先采用幾何計算的方法求得該模型變形成理想拋物柱面所需轉(zhuǎn)角和位移載荷,當(dāng)不考慮蜂窩板厚度時(式(2),式(3))計算的轉(zhuǎn)角和位移載荷為:r=0.616 rad,d=4.4 mm;

若考慮蜂窩板厚度,采用式(4)對位移載荷修正后結(jié)果為:r=0.616 rad,d=5.12 mm。

分別在ABAQUS中為蜂窩板施加上述載荷,然后計算變形后的型面精度。結(jié)果如圖8所示。

圖8 幾何計算結(jié)果Fig.8 Results of geometric loads

圖中A 表示不考慮蜂窩板厚度,B表示考慮厚度影響計算出的轉(zhuǎn)角、位移和加載變形后型面的RMS。由圖可得在幾何計算中,蜂窩板厚度對于柱面成型所需載荷的影響只存在于位移載荷d,當(dāng)施加考慮蜂窩板厚度計算得出的載荷時,變形后曲面的型面精度大幅提高,RMS 降低了86.0%。這表明當(dāng)蜂窩板厚度相比其長度和寬度并不能忽略時,其載荷計算中必須考慮厚度的影響。由于變形過程中的非線性變化,板厚對于型面精度的影響并不能通過簡單的幾何計算得到,因此需對其進行優(yōu)化。

采用ALO 算法求解使得型面精度最高的最優(yōu)載荷r和d,用Matlab自帶優(yōu)化函數(shù)fmincon(有效集法Active Set)作為對照組,驗證ALO 的有效性和優(yōu)異性能,算法迭代過程如圖9,10所示。

圖9 ALO 算法優(yōu)化迭代過程Fig.9 Convergence curve of ALO algorithm

分析結(jié)果充分證明了對于零泊松比的Arrow 型蜂窩結(jié)構(gòu),當(dāng)施加適當(dāng)?shù)妮d荷時,其完全可形成具有一定精度的拋物柱面,證明了將其應(yīng)用到柱面天線的可行性。

同時可以看出,應(yīng)用ALO 算法求解目標(biāo)問題最優(yōu)解時,迭代過程很快趨于收斂,最終優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 ALO 與fmincon計算結(jié)果Table 1 Results of ALO and fmincon

結(jié)果很好地證明了ALO 算法的有效性,相比于考慮板厚的幾何計算結(jié)果,RMS下降了45.5%,這一結(jié)果與fmincon的計算結(jié)果相差不大,二者RMS 都達到了0.071 mm 左右。但是由圖9和圖10對比可以看出,ALO 算法在迭代的第6步開始趨于收斂,而fmincon則從迭代的第42 步開始才趨于平穩(wěn),是ALO 算法的7 倍。這表明相比于一般傳統(tǒng)算法,ALO 算法可以更加高效快速的解決優(yōu)化問題,而且其迭代過程中目標(biāo)值的變化趨勢平穩(wěn),也證明了其具有很高的計算效率。

圖10 Fmincon優(yōu)化迭代過程Fig.10 Convergence curve of fmincon optimism

圖11表示了在迭代過程中根據(jù)螞蟻位置計算的每一只螞蟻的適應(yīng)度,可以看出隨著優(yōu)化進行,所有螞蟻的位置逐漸接近,這表明螞蟻的活動范圍在不斷減小,為ALO 算法的收斂性提供了依據(jù)。而每一次迭代中適應(yīng)度最高的螞蟻位置將會更新精英蟻獅的位置,所有個體位置最后逐漸接近,由此得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解。

圖11 優(yōu)化中每只螞蟻的適應(yīng)度Fig.11 Search history of ALO algorithm

此外,在采用fmincon算法的分析過程中,變量初值的選取會直接影響到計算結(jié)果,如果變量初值與目標(biāo)值相差過大,則很容易出現(xiàn)局部收斂,文中結(jié)果是采用幾何計算載荷作為初值才得到了與ALO算法近似的結(jié)果,而ALO 算法并不需要設(shè)定變量初值,它可以通過個體的隨機移動來避免局部最優(yōu)的出現(xiàn)。

6 結(jié) 論

本研究采用轉(zhuǎn)角載荷和位移載荷結(jié)合的方式,對零泊松比Arrow 型蜂窩結(jié)構(gòu)進行了拋物柱面成型的幾何計算及有限元模擬,并采用ALO 算法對成型曲面型面精度進行了優(yōu)化,得到了兩個優(yōu)化載荷(r=0.5883 rad,d=5.0530 mm)使得變形后拋物柱面型面精度進一步提高,達到了RMS=0.0713 mm,與計算板厚的型面精度(RMS=0.1308 mm)相比下降了45.5%。優(yōu)化結(jié)果充分證明了將Arrow 型零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)應(yīng)用到拋物柱面天線,用來制造高精度反射面的可行性。同時相比于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法,本研究中采用的ALO 算法也表現(xiàn)出優(yōu)異的求解性能,收斂過程更加平穩(wěn)高效,相比于文中的有效集法迭代步數(shù)減少了7倍,而且對于優(yōu)化變量較少的問題,它可以很好得避免局部最優(yōu)。算法本身與目標(biāo)問題相互獨立,與目標(biāo)函數(shù)初值選取無關(guān),證明了采用ALO 算法解決現(xiàn)實中初值未知的優(yōu)化問題的可行性。