進階視域下空間觀念的培養(yǎng)策略
——以“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)為例

■福建省龍巖市永定區(qū)實驗小學(xué) 曾秀珍

數(shù)學(xué)課程標準（2011版）把空間觀念的培養(yǎng)列為十大核心概念之一，并指出空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。小學(xué)生的空間觀念主要表現(xiàn)在對所學(xué)幾何形體的原型、幾何圖形與它們的名稱、特征之間建立起“刺激——反應(yīng)（聯(lián)想）——抽象”。從心理學(xué)的視角看，空間知覺、空間表象、空間想象和空間能力四者之間是相互聯(lián)系、密不可分的，呈遞進式發(fā)展；空間表象是在空間知覺的基礎(chǔ)上建立的，空間想象是空間表象的發(fā)展；空間表象作為一種信息表征，起著承前啟后的作用。小學(xué)階段是空間觀念發(fā)展的重要時期。怎樣培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念，筆者結(jié)合“圖形的旋轉(zhuǎn)”教學(xué)從學(xué)習(xí)進階視域下談幾點感受。

一、視覺直觀與思考相結(jié)合，從空間知覺進階到空間表象

空間知覺是指關(guān)于物體或圖形的形狀、大小及距離、方位及相互位置關(guān)系的知覺。在大量空間知覺的基礎(chǔ)上，形成的關(guān)于物體或圖形的形狀、大小及相互位置關(guān)系的印象就是空間表象。荷蘭學(xué)者范.希爾夫婦的幾何發(fā)展理論指出，幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進的，只有掌握了低水平內(nèi)容，才能達到高一級水平。觀察和操作是發(fā)展空間觀念的重要途徑，培養(yǎng)小學(xué)生觀察能力和空間觀念是同步進行的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要加強學(xué)生視覺直觀，引導(dǎo)學(xué)生從觀察入手，通過視覺感官逐步建立表象概念，引導(dǎo)學(xué)生在比較中辨析圖形的異同；在運動變化中觀察圖形，在各種情境中識別圖形的特征、位置、變化和互相關(guān)系等。如，“旋轉(zhuǎn)”隸屬于“圖形的運動”，縱觀人教版的教材，有關(guān)“圖形的旋轉(zhuǎn)”的知識，在義務(wù)教育階段分三個學(xué)段來學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段編排《圖形的運動（一）》，通過實例讓學(xué)生初步感知圖形的旋轉(zhuǎn)，在初步感受生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象時，教材提供許多生活中的旋轉(zhuǎn)教材，而這些素材都是生活中旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。第二學(xué)段五年級下冊第五單元進一步探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，當(dāng)學(xué)生再次學(xué)習(xí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”時，對學(xué)生進行課前測試，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生因為受前面學(xué)習(xí)因素的干擾，大都認為只有旋轉(zhuǎn)一周的現(xiàn)象才是旋轉(zhuǎn)，而人教版五年級下冊的教材提供的旋轉(zhuǎn)素材大多是旋轉(zhuǎn)90度的現(xiàn)象。根據(jù)學(xué)生的年齡特征，第三學(xué)段學(xué)生的思維能力逐漸從直觀、形象思維向抽象思維過渡，但還是以直觀形象思維為主，為了讓學(xué)生正確地建立旋轉(zhuǎn)的概念，課堂上除提供鐘面、自行車，還特意設(shè)計鐘擺、道閘這些生活中常見的旋轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)素材。這兩種物體的旋轉(zhuǎn)方向是變化的，旋轉(zhuǎn)角度都沒有達到360度，學(xué)生在此類豐富的學(xué)習(xí)素材中通過回憶、觀察、判斷等思維活動，在對比中初步認識到旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度都可以任意設(shè)定，拓展了學(xué)生對旋轉(zhuǎn)的認知。學(xué)生通過觀察、對比、辨析，對接收到的外部刺激進行逐步內(nèi)化抽象，為形成概念的表象和空間表象奠定基礎(chǔ)，實現(xiàn)從空間知覺到空間表象的完美進階。

二、動作直觀與想象相結(jié)合，從空間表象進階到空間想象

心理學(xué)認為想象是為人對頭腦中已有表象進行改造的過程，而空間想象是以現(xiàn)實世界為背景,對頭腦中已有的幾何表象進行加工、改造的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，空間表象是空間觀念最主要的表征形態(tài)，表現(xiàn)在學(xué)生從不同角度觀察物體的想象力，來源于對現(xiàn)實原型的豐富感知和對活動的深刻體驗?？臻g想象不僅是實物形狀與幾何圖形的轉(zhuǎn)換，還是幾何體與展開圖、三視圖之間的轉(zhuǎn)換。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，動手操作和想象相結(jié)合是從空間表象進階到空間想象的有力支撐。動手探究是培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的一個行之有效的教學(xué)策略，特別是到了高年級，探究性學(xué)習(xí)活動更能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)煥發(fā)活力，教師要精心創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生認知沖突，激發(fā)學(xué)生探究欲望，再適時給學(xué)生提供探究材料，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、討論等活動中進行發(fā)現(xiàn)、檢驗和證明。

（一）動手操作中豐富空間表象

皮亞杰曾說，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須動手做的過程。心理研究證明，視覺、觸覺、聽覺等多種感官共同參與幾何材料的操作，有利于空間觀念的建立和鞏固。學(xué)生對旋轉(zhuǎn)的認識，并不是從概念中獲得的，而是對相關(guān)具體情境的感悟、在動手實踐與操作的體驗中獲得的。因此，在教學(xué)中，教師要創(chuàng)設(shè)有價值的情境活動和操作活動，鼓勵學(xué)生觀察操作、分析、表達,使學(xué)生在動作直觀中獲得豐富的感性認識,并為學(xué)生留下充分想象的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生在觀察實物進行想象，在動手操作進行想象，通過直觀圖進行想象，根據(jù)語言描述進行想象。

學(xué)生在第一學(xué)段對旋轉(zhuǎn)有了初步認識，第二學(xué)段的將繼續(xù)認識旋轉(zhuǎn)的特征，明確旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，并能在操作中對旋轉(zhuǎn)有進階認識。從人教版有關(guān)“圖形的旋轉(zhuǎn)”的知識編排看，五年級進一步探索圖形旋轉(zhuǎn)這一內(nèi)容起著承上啟下的重要作用，既要關(guān)注新舊知識的聯(lián)結(jié)點，用原有知識推動新知識的學(xué)習(xí)，又要為第三學(xué)段的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。因此，五年級學(xué)習(xí)“圖形的旋轉(zhuǎn)”的重點是通過多種活動理解旋轉(zhuǎn)的含感悟旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。結(jié)合進階學(xué)習(xí)理論，在教學(xué)時不僅要關(guān)注感知層面的設(shè)計，更要注重操作層面的逐層遞進設(shè)計。

課始利用思維導(dǎo)圖回顧平移、軸對稱的基本特征后，教師設(shè)計問題串，進行追問：生活中有哪些旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象？旋轉(zhuǎn)和平移、軸對稱圖形的運動有聯(lián)系嗎？

在探索圖形線段的旋轉(zhuǎn)的特征時，教師設(shè)計以下兩個活動：

活動1：用語言辨析描述車桿的運動，讓學(xué)生明白旋轉(zhuǎn)運動不一定要一圈又一圈地繞，只要是繞著一個點朝著某個方向轉(zhuǎn)動一定角度，這樣的運動都是旋轉(zhuǎn)。學(xué)生用語言描述的過程，理解概念的本質(zhì)屬性。

活動2：思考線段旋轉(zhuǎn)的因素。

教師：要想開啟智慧之門，必須畫出線段0A旋轉(zhuǎn)90度后的位置，想想看，線段0A旋轉(zhuǎn)90度后的位置在哪里？你能畫出線段0A旋轉(zhuǎn)90度后的位置嗎？

學(xué)生動手操作后同桌交流，再全班交流各種不同的旋轉(zhuǎn)方法。教師引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：都是旋轉(zhuǎn)90度，為什么有多種情況？這幾種情況到底哪種才能打開智慧之門？要補充什么信息？學(xué)生：只有旋轉(zhuǎn)的角度還不夠，需要補充中心點和方向。教師：（課件演示：線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90度）現(xiàn)在補完整信息了，你能想象它是怎樣旋轉(zhuǎn)的嗎？為什么？

學(xué)生在認真觀察、積極思考、大膽猜測、激烈討論、動手操作驗證中，把想象與操作驗證相結(jié)合。學(xué)生先把圖形的旋轉(zhuǎn)過程用數(shù)學(xué)語言描述，初步體會旋轉(zhuǎn)的基本要素；教師再引導(dǎo)學(xué)生利用多種感官協(xié)同操作，通過想象、反思將操作活動慢慢地內(nèi)化為心理操作，只有給足旋轉(zhuǎn)的三要素，才能確定旋轉(zhuǎn)的位置，從而明白旋轉(zhuǎn)運動的概念本質(zhì)。教師通過創(chuàng)設(shè)問題串引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、猜測、想象、操作和驗證，把動作直觀和想象相結(jié)合，逐漸挖掘出概念的本質(zhì)、屬性，讓概念在頭腦中逐步完善，實現(xiàn)從空間表象到空間想象的進階。

（二）運動變換中發(fā)展空間想象

圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對稱現(xiàn)象是圖形變換的基本形式。圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，它將運動觀點引入幾何教學(xué)中，使靜止的圖形動起來，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，從運動變化的角度認識事物，了解圖形之間的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，同時有利于學(xué)生對圖形美的感受和欣賞。數(shù)學(xué)課程標準（2011版）中關(guān)于“圖形的旋轉(zhuǎn)”，第一學(xué)段要求結(jié)合實例，感知旋轉(zhuǎn)，第二學(xué)段指出通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的旋轉(zhuǎn)，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°，能夠從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設(shè)計簡單的圖案。兩個學(xué)段的目標呈螺旋上升的遞進。因此，在教學(xué)中，教師要選取生活中的典型例子，讓學(xué)生在運動變換中感知旋轉(zhuǎn)。如二年級學(xué)習(xí)“圖形的運動（一）”時，教師可以先讓學(xué)生觀察生活中平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，幫助學(xué)生積累這方面的經(jīng)驗。通過觀察初步理解平移與旋轉(zhuǎn)的特點后，運用感知的經(jīng)驗，判斷日常生活中物體運動的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，說一說生活中平移與旋轉(zhuǎn)的具體實例，感受平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的普遍性。在學(xué)生初步感受到什么是“旋轉(zhuǎn)”和“平移”后，請學(xué)生閉睛靜靜地想一想什么是平移、什么是旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生站起身來用肢體動作表示平移與旋轉(zhuǎn)的動作。在活動中學(xué)生進一步體會平移與旋轉(zhuǎn)的特點。讓學(xué)生靜靜地想一想，把“空白”留給學(xué)生，讓其對概念進行重新詮釋和再次解讀，對學(xué)生沉淀知識和發(fā)展空間想象力起著至關(guān)重要的作用。有了“空白”，不同的學(xué)生會用不同的生活經(jīng)驗、不同的思維方式進行想象，學(xué)生的個性體驗有了呈現(xiàn)、發(fā)展的舞臺，各種情感體驗在一起碰撞、交流，容易激發(fā)學(xué)生的空間想象和創(chuàng)造性思維。

三、動態(tài)想象與推理相結(jié)合，從空間想象進階到空間能力

空間能力是以空間形式為主要對象，以空間知覺、空間表象和空間想象為主要心理活動，在頭腦中進行幾何抽象、分析與綜合、判斷與推理的思維能力?？臻g能力主要是特定領(lǐng)域內(nèi)的思維能力，它是“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心，除了包括對信息進行加工的空間思維，還包含解決信息輸出的空間問題。在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)重視從學(xué)生的實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)能承轉(zhuǎn)知識的問題情境，使學(xué)生在經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理等學(xué)習(xí)活動，在“動態(tài)想象”中發(fā)展空間能力。如教學(xué)二年級下冊《圖形的旋轉(zhuǎn)》，教師可以選擇孩子喜歡和常見的卡通圖、風(fēng)車、抽屜等素材，通過列舉生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生分析比較、動手操作、想象驗證等，對圖形的旋轉(zhuǎn)進行生動而豐富的數(shù)學(xué)挖掘。為了進一步提高學(xué)生對平移和旋轉(zhuǎn)概念的理解，在教學(xué)中還可以引導(dǎo)學(xué)生進行“動態(tài)想象”，采用讓學(xué)生先猜想，再交流，最后進行操作，將“觀察”與“思考”相結(jié)合，提高學(xué)生空間想象力進階到空間能力的水平，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

教師可以拿出一支削過的鉛筆問學(xué)生：“閉眼想一想，旋轉(zhuǎn)這支鉛筆有幾種可能？”

教師給學(xué)生足夠的思考時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生閉眼進行“動態(tài)想象”，這種想象不僅包含著圖形的變化，更加蘊涵著一種數(shù)學(xué)思考。然后在“動態(tài)想象”的基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生與同桌合作做不同的旋轉(zhuǎn)活動，通過動手操作將想象活動進行內(nèi)化，再讓學(xué)生把剛才操作時的發(fā)現(xiàn)畫在紙上，得到多種旋轉(zhuǎn)的方法：

通過動態(tài)想象、動手操作、畫圖內(nèi)化實現(xiàn)思維的創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的空間能力。由于學(xué)生的旋轉(zhuǎn)只停留在垂直面上的旋轉(zhuǎn)，這時教師再追問，適時引導(dǎo)：“老師也畫了一種旋轉(zhuǎn)活動，猜猜會是怎么樣的？”通過把鉛筆在垂直面上的旋轉(zhuǎn)拓寬到水平面上的旋轉(zhuǎn)，為“動態(tài)想象”創(chuàng)造了更大的空間和載體，再引導(dǎo)學(xué)生通過再次思考、想象、操作、交流，在“動態(tài)想象”中學(xué)會從不同的角度思考問題，從而真正發(fā)展學(xué)生的空間能力。

又如，五年級教學(xué)《圖形的旋轉(zhuǎn)》時，在第一階段學(xué)習(xí)線段的旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)線段旋轉(zhuǎn)可以借助軸對稱和平移的方法找相對應(yīng)的點進行旋轉(zhuǎn)。學(xué)生在第二階段學(xué)習(xí)三角形的旋轉(zhuǎn)時想象到可以找相對應(yīng)的點進行旋轉(zhuǎn)。設(shè)置一系列問題，觀察旋轉(zhuǎn)后的圖形，什么變了，什么沒變，你能借助前面學(xué)習(xí)的平移進行思考等串引領(lǐng)學(xué)生展開想象的翅膀，實現(xiàn)同領(lǐng)域知識的鏈接。教師問：“為什么圖形的旋轉(zhuǎn)可以與軸對稱、平移通用？”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來圖形的運動之間都是有聯(lián)系的，畫圖形的運動方法是通用的，都是找相對應(yīng)的點或邊。最后再追問“繼續(xù)像剛才那樣，每次繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)90度，會形成什么圖形？”通過找到知識的前因后果，以結(jié)構(gòu)化的思想引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)逐步深入，達到思維“線”上的串通，實現(xiàn)學(xué)習(xí)進階。

空間觀念作為創(chuàng)新精神所需要的基本要素，在認識圖形的教學(xué)過程，教師可以借助變換，動態(tài)直觀地刻畫圖形的特征，如通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的變換，清晰直觀地呈現(xiàn)各種平面圖形和立體圖形所隱含的特征。在平面圖形和立體圖形的面積與體積公式的推導(dǎo)過程中，也應(yīng)注重從運動的角度理解、測量，如在三角形、平行四邊形、梯形、圓形的面積公式推導(dǎo)過程中，采用剪拼、割補多種策略推導(dǎo)，這實質(zhì)也是圖形的變換。在教學(xué)過程中，教師還可借助多媒體教學(xué)手段將靜態(tài)物體動態(tài)化，實現(xiàn)靜態(tài)物體的動態(tài)化，幫助學(xué)生建立空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。

綜上所述，小學(xué)階段是人一生中空間觀念發(fā)展的重要時期。教師要研讀教材，把握學(xué)習(xí)重點；讀懂學(xué)生，了解學(xué)習(xí)起點；讀懂學(xué)習(xí)，設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的腳手架，引導(dǎo)學(xué)生在觀察中加強實物與圖形的轉(zhuǎn)換，豐富空間知覺，引領(lǐng)學(xué)生在比較中辨析，逐步向空間表象的進階；在動手操作中與運動變換中進行想象，豐富學(xué)生的空間表象，實現(xiàn)從空間表象到空間想象的進階；還要把動態(tài)想象與推理相結(jié)合，在經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理等學(xué)習(xí)活動中進行“動態(tài)想象”，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。