陳巍　王青　朱貴博

摘要：采用離軸角度90°、口徑1 inch 的離軸拋物面作為樣品，比對(duì)了傳統(tǒng)零位干涉測(cè)量結(jié)果和非接觸式3D 非球面光學(xué)面形測(cè)量系統(tǒng)Luphoscan之間的差異。利用Zemax仿真了離軸拋物面六個(gè)維度的調(diào)整誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，分析了離軸量誤差在兩種完全不同測(cè)量過(guò)程中的表現(xiàn)形式，解決了Luphoscan測(cè)量結(jié)果可用性問(wèn)題。根據(jù)仿真結(jié)果搭建動(dòng)態(tài)干涉儀的零位檢驗(yàn)干涉光路，建立了離軸拋物面的六個(gè)維度調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)流程，可快速消除調(diào)整誤差和離軸量誤差，多次復(fù)現(xiàn)性測(cè)試結(jié)果達(dá)到了pv=0.135λ的精度。

關(guān)鍵詞：離軸拋物面;無(wú)像差點(diǎn)法檢測(cè);Luphoscan;動(dòng)態(tài)干涉儀

中圖分類號(hào)： TN 206 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Contrastive measurement of off-axis paraboloids

CHEN Wei，WANG Qing，ZHU Guibo

（School ofElectronic Engineering and Optoelectronic Technology， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China）

Abstract： An off-axis paraboloid with an off-axis angle of 45° and a diameter of 1 inch was used as the sample to compare the difference between the traditional null interferometric measurement results and the non-contact 3D aspheric optical surface shape measurement system Luphoscan. Zemax was used to simulate the influence of the adjustment errors of the six dimensions of the off- axis paraboloid on the measurement results. The expression of off-axis error in the two completely different measurement processes was analyzed， which solved the problem of the availability of Luphoscan measurement results. According to the? simulation results， the null test? interference optical path structure based on the dynamic interferometer was set up， and the six-dimensional adjustment? standard? process? of the? off-axis? paraboloid? was? established，? which? could? quickly eliminate the adjustment error and off-axis quantity error， and the repeatability test results reach the accuracy ofpv=0.135λ.

Keywords： off-axis paraboloid;stigmatic null test;Luphoscan;dynamic interferometer

引言

高精度的非球面光學(xué)元件在空間光學(xué)、空間激光通信、航空航天等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用[1-3]。其中離軸非球面反射鏡是先進(jìn)光學(xué)系統(tǒng)朝著小型化和高性能方向發(fā)展必不可少的組成部分，其應(yīng)用有效避免光學(xué)系統(tǒng)中心遮攔并改善相應(yīng)的衍射問(wèn)題提高成像質(zhì)量，特別是其大離軸量反射鏡增加了工作焦距和光路折轉(zhuǎn)角度[4-5]。隨著光學(xué)先進(jìn)制造中數(shù)控加工技術(shù)的日益發(fā)展，制造的多個(gè)階段均需要非球面的精密測(cè)量來(lái)指導(dǎo)和檢驗(yàn)，對(duì)非球面檢測(cè)提出了更高的要求。干涉測(cè)量中的零位檢測(cè)法是非球面精密拋光階段的主要測(cè)量方法，具有高分辨率、高準(zhǔn)確度、高靈敏度以及重復(fù)性好等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的使用和驗(yàn)證而獲得廣泛認(rèn)同。而 Taylor Hobson 公司研制的Luphoscan是基于多波長(zhǎng)干涉技術(shù)的非接觸三維形貌點(diǎn)掃描測(cè)量系統(tǒng)，它能夠?qū)崿F(xiàn)高精度、非接觸的光學(xué)元件面形測(cè)量，包括球面、非球面、自由曲面等。Luphoscan通過(guò)補(bǔ)償系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)測(cè)量傳感器的連續(xù)定位，并補(bǔ)償了 R 、Z 及 T軸的機(jī)械誤差，配合超高精度的多波長(zhǎng)干涉?zhèn)鞲衅骷夹g(shù)[6-7]，解決了單波長(zhǎng)測(cè)量連續(xù)陡度較大區(qū)域的相位模糊問(wèn)題，保證了在整個(gè)區(qū)域的精度優(yōu)于50 nm。在實(shí)際應(yīng)用中，Luphoscan的測(cè)量結(jié)果與干涉測(cè)量結(jié)果在平面、球面等簡(jiǎn)單函數(shù)表面測(cè)量中具有極好的符合性，而在非球面測(cè)量中出現(xiàn)了較大的差異[8-10]，如在測(cè)量旋轉(zhuǎn)對(duì)稱拋物面以及離軸拋物面時(shí)，測(cè)量結(jié)果都會(huì)出現(xiàn)不同程度的像散。本文通過(guò)無(wú)像差點(diǎn)法和Luphoscan測(cè)量系統(tǒng)對(duì)離軸拋物面進(jìn)行了對(duì)比測(cè)量，分析了離軸量誤差在兩種測(cè)量過(guò)程中的表現(xiàn)形式，解決了Luphoscan測(cè)量結(jié)果的可用性問(wèn)題，并建立了無(wú)像差點(diǎn)法測(cè)量離軸拋物面的調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)流程，可快速消除調(diào)整誤差和離軸量誤差。

1 失調(diào)誤差引入波像差的理論分析

對(duì)于無(wú)像差點(diǎn)法檢測(cè)離軸拋物面，如果拋物面處于理想位置，檢測(cè)結(jié)果中僅包含元件面形誤差，而拋物面任意維度與理想位置存在偏差時(shí)，測(cè)量結(jié)果中均會(huì)引入失調(diào)誤差，失調(diào)示意圖如圖1所示。

圖1中，干涉儀發(fā)出的平行光一部分經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)鏡頭會(huì)聚于共焦位置 F處，繼續(xù)傳播至拋物面上反射，最后經(jīng)平面鏡反射原路返回形成測(cè)試光，而另一部分經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)鏡頭參考反射面反射返回形成參考光，參考光與測(cè)試光發(fā)生干涉。無(wú)像差點(diǎn)法中測(cè)試光為非法線方向入射，而圖1右半部分Luphoscan測(cè)量時(shí)探頭始終垂直于待測(cè)件并作螺旋運(yùn)動(dòng)，即測(cè)試光均為法線方向入射。

無(wú)像差點(diǎn)法光路存在轉(zhuǎn)折，存在干涉儀光軸方向和拋物面光軸方向，如圖1中所示按拋物面的光軸方向定義坐標(biāo)軸。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱拋物面存在五個(gè)維度的調(diào)節(jié)，分別是沿著 X、Y、Z 軸的位移Dx 、 Dy 、Dz，以及分別繞著 X、Y軸的旋轉(zhuǎn)? x 、 y ，根據(jù)單個(gè)光學(xué)表面偏心系統(tǒng)理論可知[11-12]，在存在Dx 、Dy 、Dz以及 x 、 y調(diào)整誤差的情況下，拋物面母鏡檢測(cè)系統(tǒng)波像差公式為[13-15]

其中：δr為任意點(diǎn)的位移矢量; N為任意點(diǎn)的單位法向量; I 為入射光線的單位向量;被檢離軸非球面母鏡數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中： p2= x2+ y2表示母鏡口徑內(nèi)任意點(diǎn)與幾何中心的距離; c 為頂點(diǎn)曲率，則該面上任一點(diǎn)的單位法向量可表示為

根據(jù)位移矢量坐標(biāo)關(guān)系有

將式（2）、（3）、（4）代入式（1），并將檢測(cè)系統(tǒng)的光瞳從母鏡變換到子鏡，出瞳變換圖如圖2所示，子鏡中心 O點(diǎn)到母鏡中心 P點(diǎn)的X、Y方向距離分別為hx、hy，利用出瞳變換矩陣[16]，得到離軸拋物面檢測(cè)系統(tǒng)波像差為

其中： r2= x2+ y2 ，即子鏡上一點(diǎn)到中心 O 點(diǎn)的距離。由式（5）可知，對(duì)于離軸拋物面Dx 、Dy 、Dz、 x 、 y共同作用于彗差和像散項(xiàng)，并且像散項(xiàng)為主要誤差項(xiàng)。

2 無(wú)像差點(diǎn)法的仿真與實(shí)驗(yàn)

2.1 無(wú)像差點(diǎn)法Zemax仿真

預(yù)先利用Zemax對(duì)離軸拋物面的無(wú)像差點(diǎn)法測(cè)量進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。采用會(huì)聚光入射的干涉腔布局方式，仿真測(cè)試光路圖如圖3所示。干涉儀模型為簡(jiǎn)化模型，標(biāo)準(zhǔn)鏡頭最后一個(gè)面為參考反射面，部分光束從該面反射返回形成參考光。在未添加任何調(diào)整誤差時(shí)，干涉圖為零條紋圖，分別在各個(gè)維度添加少量調(diào)整誤差，各維度的表述基于圖3中轉(zhuǎn)折后的坐標(biāo)系，觀察干涉圖的變化以及 Zernike 彗差和像散項(xiàng)系數(shù)的變化，圖4所示為各維度調(diào)整誤差對(duì)像差的影響，其中：線性關(guān)系曲線對(duì)應(yīng)中間的縱軸;非線性關(guān)系曲線對(duì)應(yīng)右邊的次縱軸。

圖4中（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）分別為繞 Z傾斜、繞 X傾斜、繞 Y傾斜、Z 方向偏心、 X方向偏心、 Y方向偏心對(duì)像差系數(shù)的影響。由圖4（a）和圖4（b）看出，繞 Z 軸的傾斜和繞 X軸的傾斜主要分別產(chǎn)生了0°像散、45°像散，但圖4（c）繞 Y軸的傾斜，即自旋方向，產(chǎn)生的主要是彗差;從圖4（d）和圖4（e）看出 Z 方向偏心（離焦）和 Y方向偏心主要分別產(chǎn)生了X方向彗差、 Y方向彗差，并且從圖4（f）看到， X方向的偏心對(duì)像差的影響結(jié)果非常小。同時(shí)從圖中可以看到較大的像差項(xiàng)與調(diào)整誤差呈線性關(guān)系，而極小量的誤差項(xiàng)與調(diào)整誤差呈現(xiàn)二次方關(guān)系。

2.2 無(wú)像差點(diǎn)法實(shí)驗(yàn)

如圖5所示為無(wú)像差點(diǎn)法測(cè)量離軸拋物面實(shí)物圖，用到的元件有口徑1 inch、離軸角度90°、焦距127 mm（離軸量）的拋物面， f/3的標(biāo)準(zhǔn)鏡頭、標(biāo)準(zhǔn)平晶，實(shí)驗(yàn)裝置有新型動(dòng)態(tài)干涉儀、二維調(diào)整架、五維調(diào)整架。圖6所示為粗調(diào)過(guò)程光斑變化圖，（a）、（b）、（c）、（d）分別對(duì)應(yīng)每一步粗調(diào)后對(duì)應(yīng)的光斑圖。

實(shí)驗(yàn)步驟分為粗對(duì)準(zhǔn)和精調(diào)兩大步驟。實(shí)驗(yàn)中所用的新型動(dòng)態(tài)干涉儀具有對(duì)點(diǎn)功能，方便粗對(duì)準(zhǔn)過(guò)程的調(diào)節(jié)。粗對(duì)準(zhǔn)的步驟：1）采用對(duì)點(diǎn)器觀察離軸拋物面和平面反射鏡形成的返回焦點(diǎn)聚焦光斑，需要與干涉儀會(huì)聚焦點(diǎn)重合，反射光斑此時(shí)會(huì)帶有明顯的隨機(jī)離軸像散特點(diǎn)，即傾斜的長(zhǎng)條光斑（圖6（a）），在調(diào)整離焦的時(shí)候，出現(xiàn)兩個(gè)方向長(zhǎng)條光斑交替出現(xiàn)的現(xiàn)象;2）較大的離軸量通過(guò)平移/傾斜調(diào)整消除需要花費(fèi)較多時(shí)間，因此第二步可以進(jìn)行離軸拋物面的面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，配合反射鏡的二維傾斜調(diào)整，使得像散光斑的長(zhǎng)條變短，方向達(dá)到橫平豎直（圖6（b））;3）通過(guò)調(diào)整動(dòng)態(tài)干涉儀（或者離軸拋物面）單個(gè)方向（X或 Y）平移，并配合以平面反射鏡的傾斜，使得光斑形狀進(jìn)一步變?yōu)閳A形（圖6（c））。粗對(duì)準(zhǔn)完成后，干涉圖也已基本變成圓形，干涉圖存在明顯的像散（圖6（d）），此時(shí)的干涉圖可以進(jìn)行初步測(cè)試。接下通過(guò)波前測(cè)試結(jié)果進(jìn)行精調(diào)，將測(cè)量模式設(shè)置為連續(xù)測(cè)量，可以實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)檢測(cè)到調(diào)節(jié)的結(jié)果。

精調(diào)的步驟：1）調(diào)節(jié)拋物面的 Z 方向平移和俯仰，將其稱為一個(gè)調(diào)節(jié)對(duì)，或者調(diào)節(jié)拋物面的 Y方向平移和傾斜。例如可以嘗試先調(diào)節(jié) Z 方向使得干涉條紋變密、中心偏移，接著調(diào)節(jié)俯仰進(jìn)行補(bǔ)償，使得干涉條紋中心繼續(xù)回到中央。觀察測(cè)試結(jié)果的pv值或者像散項(xiàng)判斷調(diào)節(jié)方向是否正確，像散項(xiàng)如果變大則往相反方向調(diào)節(jié)。重復(fù)此步驟，直到像散項(xiàng)值收斂，此時(shí)需要換拋物面的 Y方向平移和傾斜進(jìn)行調(diào)節(jié)，同樣重復(fù)上面的步驟。兩個(gè)調(diào)節(jié)對(duì)的反復(fù)調(diào)節(jié)至收斂后，像散項(xiàng)基本上收斂至0.03個(gè)λ。2）精調(diào)拋物面的自旋維度，由于使用的是不帶旋轉(zhuǎn)的五維調(diào)整架，無(wú)法通過(guò)拋物面調(diào)節(jié)自旋，但可以調(diào)節(jié)動(dòng)態(tài)干涉儀的 Y方向平移和俯仰在達(dá)到此目的，使得像散以及pv值進(jìn)一步變小。3）此時(shí)的干涉圖存在明顯的離焦，調(diào)節(jié)動(dòng)態(tài)干涉儀的 Z 方向離焦使得干涉條紋變直。適當(dāng)調(diào)節(jié)拋物面的Z 方向平移或者 Y方向平移，使得干涉條紋數(shù)目變少接近至零條紋。

采集數(shù)據(jù)，進(jìn)行消常數(shù)項(xiàng)、傾斜項(xiàng)和離焦項(xiàng)處理，圖7（a）為干涉圖，7（b）為波面圖，表1為測(cè)量結(jié)果 Zernike 系數(shù)前幾項(xiàng)，測(cè)量結(jié)果pv=0.137λ，像散項(xiàng)Astig=0.024λ，多次重復(fù)性測(cè)量結(jié)果pv的均方根值為pv=0.135λ。測(cè)量結(jié)果包含了標(biāo)準(zhǔn)鏡頭的誤差和平面鏡的誤差，標(biāo)準(zhǔn)平晶的pv值優(yōu)于1/40λ，標(biāo)準(zhǔn)鏡頭pv值優(yōu)于1/20λ，該干涉條紋圖將近零條紋，離軸量誤差與調(diào)整誤差均已消除掉，可直接分辨出拋物面的表面形貌，對(duì)比解包后的波面圖，均能明顯看到拋物面加工留下的車痕。

3? Luphoscan測(cè)量離軸拋物面

Luphoscan作為輪廓測(cè)量?jī)x的一種，測(cè)量面形誤差的原理是通過(guò)在理論坐標(biāo)系中測(cè)量實(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后與理論坐標(biāo)相比較計(jì)算獲得面形誤差。Luphoscan在測(cè)量離軸拋物面時(shí)需要將母鏡曲率半徑、離軸角度、口徑、測(cè)量分辨率等參數(shù)輸入到離軸拋物面的 sag 表計(jì)算軟件中，得到該離軸拋物面的理論設(shè)計(jì)點(diǎn)云。

理想情況下測(cè)量坐標(biāo)系 X軸為離軸位置處的切線， Y軸通過(guò)該離軸處的坐標(biāo)。Luphoscan測(cè)量里離軸拋物面的情形如圖8所示，利用配置的工裝水平夾持住離軸拋物面。由于離軸拋物面 Y方向的對(duì)稱性很容易將 Y方向的傾斜與偏心誤差調(diào)整掉，接著粗調(diào) X方向的傾斜，通過(guò)測(cè)量離軸拋物面小區(qū)域的 sag 值的方式精調(diào)X方向的傾斜和偏心誤差，直至 sag 與理論設(shè)計(jì)相吻合，但是實(shí)際拋物面存在離軸量誤差，使得 X方向調(diào)平、調(diào)心后依然存在偏心和傾斜誤差。隨后探頭沿著理論設(shè)計(jì)的曲線做螺旋運(yùn)動(dòng)，始終垂直于測(cè)量表面，依次測(cè)量各個(gè)點(diǎn)的實(shí)際偏差值，即離散的離軸拋物面面形數(shù)據(jù)。測(cè)量結(jié)果如圖9所示，所包含的額外誤差是離軸量誤差直接或間接引入的，簡(jiǎn)單地通過(guò) Zernike 多項(xiàng)式擬合消像散無(wú)法得到實(shí)際的面形。

無(wú)像差點(diǎn)法測(cè)量的是實(shí)際離軸量下的面形參數(shù)，假設(shè)干涉儀測(cè)量出來(lái)的數(shù)據(jù)是理想的絕對(duì)面形，測(cè)量結(jié)果記為Win，實(shí)際離軸量的離軸拋物面矢高分布記為S ac，則（Win+ S ac）即為世界坐標(biāo)上的矢高值，同時(shí)根據(jù)干涉儀的 CCD 像素大小可以計(jì)算獲得世界坐標(biāo)的 X分量和 Y分量;將 X軸方向傾斜角誤差記為 y，偏心誤差記為d，故有傾斜和偏心的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，如式（6）所示

將式（6）的點(diǎn)云數(shù)據(jù)擬合成曲面，運(yùn)用合適的算法計(jì)算理論設(shè)計(jì)點(diǎn)云的每個(gè)點(diǎn)到該曲面的垂直距離，將該過(guò)程記為映射 G，最終的Luphoscan測(cè)量數(shù)據(jù)記為WLu，則存在如下關(guān)系

最后，對(duì)Luphoscan測(cè)量與干涉儀的測(cè)量比對(duì)如表2所示。

4 結(jié)論

本文采用傳統(tǒng)無(wú)像差點(diǎn)法和Luphoscan對(duì)離軸拋物面進(jìn)行了對(duì)比測(cè)量，無(wú)像差點(diǎn)法測(cè)量結(jié)果無(wú)明顯像差，而Luphoscan測(cè)量結(jié)果存在明顯像散項(xiàng)。無(wú)像差點(diǎn)法檢測(cè)離軸拋物面時(shí)，調(diào)節(jié)拋物面姿態(tài)時(shí)，總是會(huì)朝著減小彗差和像散項(xiàng)的方向調(diào)節(jié)，而離軸量誤差可以看作是 X方向和 Z方向偏心誤差的疊加，必然會(huì)引入像散和彗差。實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)過(guò)程中，人為將離軸量誤差視為調(diào)整誤差將其調(diào)整消除，故傳統(tǒng)的無(wú)像差點(diǎn)法測(cè)量方式無(wú)法檢測(cè)到離軸量誤差，但是該測(cè)量方式可以精密測(cè)量實(shí)際離軸量的拋物面。由于Luphoscan在測(cè)量時(shí)沿著理論設(shè)計(jì)曲線做螺旋運(yùn)動(dòng)，測(cè)量的是理論值與實(shí)際的偏差，故最終測(cè)量的結(jié)果包含了離軸量誤差，解決了Luphoscan測(cè)量結(jié)果的可用性問(wèn)題，后續(xù)可通過(guò)分析其中像差項(xiàng)逆推求取離軸量誤差，恢復(fù)實(shí)際離軸拋物面的絕對(duì)測(cè)量。

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（編輯：錢紫衡）