函數(shù)的幾種數(shù)學(xué)模型應(yīng)用探究

■貴州省晴隆民族中學(xué) 岑春靜

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識的主線之一,也是高考的難點(diǎn),要注意對函數(shù)基本性質(zhì)的歸納總結(jié),特別是函數(shù)的最值、對稱性、零點(diǎn)等問題。求函數(shù)的參變量問題是高考的熱點(diǎn),我們在學(xué)習(xí)的過程中也要加強(qiáng)歸納總結(jié)。

題型一、形如函數(shù)f(x)=(x＞0)的圖像問題

結(jié)論1:若函數(shù)f(x)=(x＞0)在區(qū)間(0,e)上為單調(diào)遞增函數(shù),在區(qū)間(e,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),則當(dāng)x=e時,函數(shù)f(x)=(x＞0)取得最大值為。

證明:函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?0,+∞),f＇(x)=。當(dāng)f＇(x)＞0,即0＜x＜e時,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)f＇(x)＜0,即e＜x時,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)。又f＇(e)=0,故當(dāng)x=e時,函數(shù)f(x)=(x＞0)取得最大值,最大值為。

例1已知a＞0,且a≠1,函數(shù)f(x)=。

(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)當(dāng)函數(shù)y=f(x)與直線y=1 有且僅有兩個交點(diǎn)時,求參變量a的取值范圍。

題型二、函數(shù)的中心對稱問題

結(jié)論2:如果函數(shù)f(x)對任意x∈D,恒有f(a-x)+f(b+x)=c,那么函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于中心對稱。

例2已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足條件f(-x)=2-f(x),若y=和y=f(x)的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),…,(xm,ym),則=()。

A.0 B.mC.2mD.4m

題型三、函數(shù)的對稱性問題

結(jié)論3:若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(b+x),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=對稱。

例3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x)=f(2-x),當(dāng)函數(shù)y=|x2-2x-3|與y=f(x)的交點(diǎn)為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y4),…,(xm,ym),則=()。

A.0 B.mC.2mD.4m

解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=f(2-x),所以f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱。又因?yàn)楹瘮?shù)y=|x2-2x-3|也關(guān)于直線x=1對稱,所以兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)也關(guān)于直線x=1對稱,不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜…＜xm,則x1+xm=x2+xm-1=…=xm+x1=2,故。

題型四、函數(shù)的奇偶性問題

結(jié)論4:若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且g(x)=f(x)+c,則g(-x)+g(x)=2c。

證明:由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),故g(-x)+g(x)=f(-x)+c+f(x)+c=2c成立。

結(jié)論5:已知函數(shù)f(x)是定義域D上的奇函數(shù),則f(x)對任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0成立。特別地,當(dāng)奇函數(shù)f(x)在D上有最大值和最小值時,則f(x)max+f(x)min=0。

結(jié)論6:若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(x)=f(|x|)成立。

證明:當(dāng)x≥0 時,|x|=x,故f(x)=f(|x|);當(dāng)x＜0時,f(|x|)=f(-x),由函數(shù)f(x)是偶函數(shù),得f(-x)=f(x)。所以f(|x|)=f(x)成立。

例6已知函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)-,若使得f(x)＞f(2x-1)恒成立,則參變量x的取值范圍為____。

解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是偶函數(shù),當(dāng)x≥0 時,f(x)=ln(1+x)-,故f(x)是增函數(shù),所以f(x)＞f(2x-1)?f(|x|)＞f(|2x-1|),所以|x|＞|2x-1|,故＜x＜1。

綜上所述,函數(shù)的最值、單調(diào)性、對稱性、中心對稱、奇偶性是高考考查的熱點(diǎn),對同學(xué)們的綜合能力、創(chuàng)新能力有很高的要求,因此,在平常的學(xué)習(xí)過程中要認(rèn)真總結(jié)歸納,不斷反思。