董文彬
(北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)教育集團)
英國學(xué)者查爾斯在“作為中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的偉大思想和理解”一文中將“數(shù)學(xué)大觀念”定義為:對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要的觀念的陳述,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心,能夠把各種數(shù)學(xué)理解聯(lián)系成一個連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發(fā)展部將“數(shù)學(xué)大觀念”界定為:是思考數(shù)學(xué)某些關(guān)鍵方面的一種觀念、策略或方法,涵蓋并聯(lián)系著其他多種觀念和策略;是一種理想化的認(rèn)知模型,它提供了支持進一步學(xué)習(xí)和概括的組織結(jié)構(gòu)或參考框架;無法明確界定,但可以在活動中觀察。查爾斯認(rèn)為數(shù)學(xué)大觀念應(yīng)當(dāng)居于數(shù)學(xué)學(xué)科的核心位置,并且能夠用其將數(shù)學(xué)構(gòu)建為連貫的整體。澳大利亞維多利亞州教育和兒童早期發(fā)展部認(rèn)識到數(shù)學(xué)大觀念對于關(guān)鍵知識、技能、思想方法的學(xué)習(xí)具有重要價值,并指出數(shù)學(xué)大觀念應(yīng)當(dāng)落實到實踐中去,并可以在活動中觀察。由此,數(shù)學(xué)大觀念的本質(zhì)內(nèi)涵應(yīng)是:結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和遷移。
“比的認(rèn)識”作為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域兩種數(shù)量關(guān)系教學(xué)的核心內(nèi)容,是發(fā)展學(xué)生模型思想的重要學(xué)習(xí)載體,在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有十分重要的地位。教學(xué)中,應(yīng)依據(jù)教材和學(xué)情,基于數(shù)學(xué)大觀念理論對“比的認(rèn)識”進行單元整體教學(xué)建構(gòu),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
“比的認(rèn)識”這一單元屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容。在單元教學(xué)時,我先對“比”的概念解釋和“比”的本質(zhì)進行了系統(tǒng)梳理與思考。
由此可見,相比于《辭?!泛同F(xiàn)行教材,我國臺灣地區(qū)教材對“比”的概念解釋——對并置的兩個量對等關(guān)系的記錄,更接近“比”的本質(zhì)。
東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為,“比”的本質(zhì)其實就是兩個數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達和度量。度量包括兩個要素:一是度量單位;二是度量單位的個數(shù)即度量值,也稱“量數(shù)”。通過測量,用“量數(shù)=量/度量單位”表示度量的結(jié)果。物體的長度、面積、體積、質(zhì)量等具有可度量的屬性,而顏色、形狀、質(zhì)地等屬不可度量的屬性,要用“比”來記錄對等關(guān)系。
關(guān)于度量與“比”的本質(zhì)聯(lián)系,具體體現(xiàn)如表2。
表2 “比”與度量本質(zhì)聯(lián)系的具體體現(xiàn)
由此可見,與度量相比,“比”能找到與其一一對應(yīng)的本質(zhì)屬性。如果這種一一對應(yīng)的本質(zhì)聯(lián)系姑且算作“比”的外在特征的話,那么用“比”記錄兩個量的對等關(guān)系,進而刻畫物體不可度量屬性的可比性則是“比”的內(nèi)在表現(xiàn)。
在理清關(guān)于“比”的概念解釋、進行“比”的本質(zhì)思考基礎(chǔ)上,基于數(shù)學(xué)大觀念,我對單元教材分析如下。
“比”是對兩個數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達和度量。以北師版教材為例,關(guān)于兩個數(shù)量之間關(guān)系的認(rèn)識與學(xué)習(xí)路徑,體現(xiàn)如圖1所示。
圖1 兩種數(shù)量之間關(guān)系的認(rèn)識與學(xué)習(xí)路徑
“比的認(rèn)識”是在第一學(xué)段經(jīng)歷了比較(比大?。⒊ㄒ饬x與倍的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、以及第二學(xué)段分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識、百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識基礎(chǔ)上展開學(xué)習(xí)的。從比差到比率,“比的認(rèn)識”更加凸顯數(shù)量關(guān)系的豐富性、聯(lián)系性、獨特性(比不僅能刻畫同類量的關(guān)系即倍比關(guān)系,也能刻畫不同類量的關(guān)系即衍生的量)。從常量世界到變量世界,“比的認(rèn)識”也是后續(xù)學(xué)習(xí)比例,正、反比例以及第三學(xué)段函數(shù)等其他有關(guān)方面知識的重要基礎(chǔ)。特別需要說明的是,“比的認(rèn)識”是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)乘(除)法的意義和計算、分?jǐn)?shù)的意義及基本性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)的,這些知識都是學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容的直接基礎(chǔ)和重要經(jīng)驗?!氨鹊恼J(rèn)識”是對分?jǐn)?shù)意義認(rèn)識的豐富,是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識在經(jīng)歷了前兩個階段(分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義、商的定義)之后的第三階段(“分?jǐn)?shù)的比”的定義),理解“比”的本質(zhì)意義能夠幫助學(xué)生進一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)和構(gòu)建知識體系。
關(guān)于“比的認(rèn)識”,對比人教版、蘇教版和北師版教材的編排我們發(fā)現(xiàn),無論是人教版、蘇教版還是北師版教材,都通過創(chuàng)設(shè)豐富的情境,如牛奶與果汁的關(guān)系、國旗長與寬的關(guān)系、照片的像與不像、路程與時間的關(guān)系、總價與數(shù)量的關(guān)系等,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程,充分感知“比”、體會“比”的意義。各版本的教材都從兩個角度呈現(xiàn)了“比”的意義:一個是用“比”刻畫兩個同類量之間的關(guān)系,另一個是用“比”刻畫兩個不同類量之間的關(guān)系。最終都呈現(xiàn)了對“比”的概念解釋:兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比(北師版、蘇教版表述);兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除(人教版表述)。
在內(nèi)容編排上,本單元提供多種問題情境和呈現(xiàn)方式,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程,體會引入“比”的必要性以及“比”在生活中的廣泛存在,并按照“比的意義—比的化簡—比的應(yīng)用”的順序進行學(xué)習(xí),層層進階,深入理解“比”的意義,建構(gòu)“比”的模型,在不斷深入學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的模型思想,提高問題解決能力。
為了解學(xué)生在學(xué)習(xí)“比的認(rèn)識”之前對“比”的理解程度,我對六年級學(xué)生進行了前測調(diào)研。為避免“問題2”對“問題1”造成干擾和提示,用兩個班共計74人測試“問題1”,用另外兩個班共計69人測試“問題2”。
問題1:你在生活中聽過或見過“比”嗎?請你用自己喜歡的方式把它表示出來。(意圖:調(diào)研學(xué)生對“比”的生活經(jīng)驗和認(rèn)識程度)
問題2:有一種泡泡液,要把它調(diào)制成泡泡水來吹泡泡。按照說明,其中1:2是什么意思?你知道該怎樣使用這種泡泡液嗎?(意圖:調(diào)研學(xué)生對配比情境中“比”的意義的理解狀況)
“問題1”的調(diào)研結(jié)果分析如表3。
表3 “問題1”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計表
通過對六年級兩個班共計74名學(xué)生的前測可見:
其一,學(xué)生都聽過或見過他們心中的“比”。說明對于生活中的“比”有著豐富的經(jīng)驗和表達,但僅有35.1%的學(xué)生舉出了數(shù)學(xué)意義上的倍比關(guān)系的例子。而舉例并能正確解釋的學(xué)生只占31.1%,且其中有8.1%的學(xué)生舉例時還涉及賽場上的比分,另有4%的學(xué)生無法對“比”做出解釋。由此可見,有近七成的學(xué)生沒有觸及“比”的本質(zhì),不能理解“比”的意義。
其二,有13.5%的學(xué)生對“比”只停留在的字面意義層面上的認(rèn)識。部分學(xué)生對“比”的認(rèn)識仍停留在感性比較上,比如誰比誰長得好看,誰比誰寫字好;當(dāng)教師提到百分比的例子時,因為這部分學(xué)生還未學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù),之所以能提及百分比,也只是因為百分比中有“比”這個字而已。有4.1%的學(xué)生僅掌握舉例形式的“比”的知識,如“比”和除法、分?jǐn)?shù)的互化,“比”的化簡等。為進一步了解他們是怎么寫出來的,我對這部分學(xué)生進行了追訪,通過追訪發(fā)現(xiàn),學(xué)生僅是通過課前預(yù)習(xí)或家長告知而獲得了對“比”的程序性或技能知識,而對“比的意義”的認(rèn)識還是模糊不清的。
其三,高達45.9%的學(xué)生所舉的都是生活中比差關(guān)系的例子。比如比大小、比多少、比長短等,說明比差關(guān)系是學(xué)生認(rèn)識比最原始的基礎(chǔ)和經(jīng)驗,也是本單元理解“比的意義”的最大障礙,必須加以區(qū)分。特別需要說明的是,有18.9%的學(xué)生談及了賽場上的比分,這說明在本單元“比的意義”的基礎(chǔ)上,對二者進行區(qū)分十分有必要。
通過對六年級另外兩個班共計69 名學(xué)生關(guān)于“問題2”的前測(如表4)可見:
表4 “問題2”學(xué)生作答結(jié)果統(tǒng)計表
其一,對于現(xiàn)實生活簡單配比情境中的“比的意義”,有79.7%的學(xué)生能夠從份數(shù)和倍數(shù)關(guān)系的角度作出正確解釋,且其中還有2 名學(xué)生聯(lián)系了分?jǐn)?shù)意義來對“比”作出解釋。這說明在本單元建立“比的意義”學(xué)習(xí)之前,學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識經(jīng)驗。份、倍、分?jǐn)?shù)等這些知識經(jīng)驗有助于學(xué)生理解“比的意義”,為建立“比”的關(guān)系模型提供必備的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。配置泡泡水這樣的配比情境十分貼近學(xué)生生活,多數(shù)學(xué)生都有吹泡泡的生活經(jīng)驗,這樣的經(jīng)驗?zāi)軌驇椭麄兘忉尅氨鹊囊饬x”,說明創(chuàng)設(shè)這樣貼近學(xué)生生活的配比情境對于本單元學(xué)習(xí)是十分必要的。
其二,有20.3%的學(xué)生對“比的意義”作出錯誤解釋或完全解釋不清,需引起教師的特別重視。另外,即便學(xué)生能解釋簡單情境中“比的意義”,也未必真正建立了“比”的關(guān)系模型。因此,本單元需要創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境,幫助學(xué)生在問題解決中逐步建立、拓展和豐富“比”的模型,層層深入理解比的意義,深化對“比”的本質(zhì)認(rèn)識。
基于上述單元教材與學(xué)情分析,我產(chǎn)生了一連串的問題與思考:兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的“比”是否能夠準(zhǔn)確定義“比”?除法就是“比”,還是“比”就是除法?二者是等價的嗎?有了除法和分?jǐn)?shù),為何還要學(xué)習(xí)“比”?“比”獨特的價值體現(xiàn)在哪里?到底什么是“比”?“比”的本質(zhì)是什么?為此,我擬定了“比的認(rèn)識”的單元問題框架(如圖2)。
圖2 “比的認(rèn)識”單元問題框架
在這個問題框架下,結(jié)合大觀念理論,我對“比”的認(rèn)識如下。
其一,“比”的本質(zhì)是表達和度量兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系,是刻畫事物某種屬性的重要模型。“比”源于同類量的比較關(guān)系,但是可以推廣到“不同類量”的情形。不同類量的“比”可以產(chǎn)生新的量(衍生的量)。
其二,“比”源于度量,度量解決了物體可度量的屬性,“比”更多是為了表征隱含于數(shù)量之中的、不可度量的事物屬性,這也是除法所不能及的。
其三,認(rèn)識“比”可為比例的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備,并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。
其四,要在以上過程中發(fā)展學(xué)生的模型思想、度量思想,提高問題解決能力。
基于此,我在大觀念的引領(lǐng)下對“比的認(rèn)識”進行單元整體構(gòu)建,確定了“比的認(rèn)識”單元學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)重難點。
【單元學(xué)習(xí)目標(biāo)】
一是在大量豐富的問題情境中逐步感知“比”,理解“比的意義”及其與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系,能正確讀寫“比”,知道“比”的各部分名稱,理解比值的概念,能正確地求出比值。會正確化簡“比”,并能解決一些簡單的用“比”刻畫事物不可度量屬性的可比性的問題。
二是經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程,體會引入“比”的必要性以及“比”在生活中的廣泛存在與應(yīng)用,能運用“比的意義”解決有關(guān)按比分配的實際問題,感受“比”的價值,豐富認(rèn)識,提升思維,培養(yǎng)度量意識,發(fā)展模型思想。
三是作為學(xué)習(xí)共同體的一員,使學(xué)生在問題解決的過程中形成聯(lián)系的視角,培育嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度、勇于嘗試的精神和持續(xù)思考的勇氣,感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,享受數(shù)學(xué)思維的樂趣,獲得成功的體驗。
【學(xué)習(xí)重點】
經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過程,理解“比”的意義,合理應(yīng)用“比”解決實際問題。
【學(xué)習(xí)難點】
理解比的意義,感悟“比”的價值。
本單元學(xué)習(xí)主題為“作為關(guān)系的比——比的認(rèn)識”,在大觀念引領(lǐng)下設(shè)置三個課題“比的意義”“比的化簡”和“比的應(yīng)用”,共計5 課時。“比的意義”設(shè)置2 課時,以兩個分課題“生活中的比(一)”和“生活中的比(二)”分別進行學(xué)習(xí),其中“生活中的比(一)”設(shè)置1 課時,在聚焦“哪幾張圖片與A 比較像”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動,主要是指向認(rèn)識“比”用來刻畫同類量關(guān)系,建立“比”的模型?!吧钪械谋龋ǘ痹O(shè)置1 課時,在聚焦“哪個游泳池更擁擠”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動,主要是指向認(rèn)識“比”用來刻畫不同類量關(guān)系,拓展“比”的模型?!氨鹊幕啞痹O(shè)置1 課時,在“哪杯水更甜”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動,主要是指向再理解“比”所表示的兩個同類量關(guān)系,再認(rèn)識“比的意義”,豐富“比”的模型?!氨鹊膽?yīng)用”設(shè)置2 課時,以兩個分課題“比的應(yīng)用(一)”和“比的應(yīng)用(二)”進行學(xué)習(xí),分別聚焦“橘子怎樣分合理”和“怎樣調(diào)制巧克力奶”的核心問題下設(shè)計學(xué)習(xí)活動,主要是指向深化理解“比”用來刻畫同類量關(guān)系,再認(rèn)識“比的意義”,應(yīng)用“比”的模型解決問題。
本單元通過對三個主課題的學(xué)習(xí),幫助學(xué)生逐步理解“比的意義”,建構(gòu)“比”的模型,深化“比”的關(guān)系本質(zhì),以完成對“比”完整、豐富而又立體的認(rèn)識。整個單元基于學(xué)生從比差到比率的思考角度,確定單元內(nèi)容線索,單元構(gòu)建有根基;通過對同類量與不同類量關(guān)系的刻畫與理解構(gòu)建“比”的關(guān)系模型,實現(xiàn)建構(gòu),單元構(gòu)建有邏輯;模型貫穿單元每個課時,通過單元整體構(gòu)建實現(xiàn)模型思想發(fā)展的進階,單元構(gòu)建有張力(如圖3)。
圖3 “比的認(rèn)識”單元整體教學(xué)結(jié)構(gòu)