二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系

胡云兵

在人教版《數(shù)學(xué)選修2—3》的課本中，第二章《隨機(jī)變量及其分布列》分別介紹了兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布：超幾何分布與二項(xiàng)分布。通過(guò)實(shí)例，讓同學(xué)們認(rèn)識(shí)模型所刻畫(huà)的隨機(jī)變量的共同特點(diǎn)，從而建立新的模型，并能運(yùn)用兩個(gè)模型解決一些實(shí)際問(wèn)題。然而部分同學(xué)不能準(zhǔn)確地辨別要解決的問(wèn)題是超幾何分布還是二項(xiàng)分布，對(duì)這兩個(gè)模型的定義不能很好地理解，一遇到含“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，不加分析，濫用公式。事實(shí)上，超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別，

課本對(duì)于超幾何分布的定義是這樣的：

對(duì)于二項(xiàng)分布的定義是這樣的：若隨機(jī)變量X的分布列為P（X=k） =Cp*（1—p）"，其中0

其概率分布如表2。

超幾何分布與二項(xiàng)分布都是取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求法有截然不同的表達(dá)式。

課本中對(duì)超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，無(wú)放回地任意抽取n件，則其中恰有的次品件數(shù)X服從超幾何分布。而對(duì)二項(xiàng)分布則使用比較容易理解的射擊問(wèn)題來(lái)建立模型。若將超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，有放回的任意抽取n件，則其中恰有的次品件數(shù)X服從二項(xiàng)分布。在這里，兩種分布的差別就在于“有放回”與“無(wú)放回”的差別，超幾何分布是不放回地抽取，二項(xiàng)分布是有放回地抽取;超幾何分布需要知道總體容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”。

教材上用高爾頓板導(dǎo)出了正態(tài)分布，事實(shí)上在這個(gè)試驗(yàn)中，小球落進(jìn)各個(gè)槽中的分布是一個(gè)概率p=0.5的二項(xiàng)分布，從一個(gè)二項(xiàng)分布導(dǎo)出正態(tài)分布，正好揭示了二項(xiàng)分布與正態(tài)分布之間的聯(lián)系，

我們知道二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量是離散的，當(dāng)n取不同值時(shí)，它的分布會(huì)有差別，隨著n的增加，二項(xiàng)分布越來(lái)越接近于正態(tài)分布。

題型一超幾何分布

例1某批產(chǎn)品共有10件，已知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為p=0.2，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任意抽取3件。

（1）求取出的3件產(chǎn)品中恰好有1件是次品的概率;

（2）求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)X的概率分布列與期望，

解析：

點(diǎn)評(píng)：超幾何分布的特征是：只做了一次試驗(yàn)，且這一次試驗(yàn)是在有限個(gè)（個(gè)數(shù)非常明確、具體）元素中選取若干個(gè)元素。典型案例是抽球時(shí)每次抽完不放回。

例2 （2021年北京高三期末）在學(xué)期末，為了解學(xué)生對(duì)食堂用餐滿(mǎn)意度情況，某興趣小組按性別采用分層抽樣的方法，從全校學(xué)生中抽取容量為200的樣本進(jìn)行調(diào)查。被抽中的同學(xué)分別對(duì)食堂進(jìn)行評(píng)分，滿(mǎn)分為100分。調(diào)查結(jié)果顯示：最低分為51分，最高分為100分。隨后，興趣小組將男、女生的評(píng)分結(jié)果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，如表4和圖1所示。

女生評(píng)分結(jié)果的頻率分布直方圖（圖1）。

男生評(píng)分結(jié)果的頻數(shù)分布表如表4。

為了便于研究，興趣小組將學(xué)生對(duì)食堂的評(píng)分轉(zhuǎn)換成了“滿(mǎn)意度情況”，兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表5。

（1）求a的值;

（2）為進(jìn)一步改善食堂狀況，從評(píng)分在[50，70）的男生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談，記這3人中對(duì)食堂“不滿(mǎn)意”的人數(shù)為X，求X的分布列。

解析：

點(diǎn)評(píng)：“在6個(gè)元素中選取3個(gè)元素”，符合超幾何分布的特征。

題型二二項(xiàng)分布

例3 （2021年太原高三5月模擬）人的體重是人的身體素質(zhì)的重要指標(biāo)之一。某校抽取了高二的部分學(xué)生，測(cè)出他們的體重（kg），體重在40 kg至65 kg之間，按體重進(jìn)行如下分組：第1組[40，45），第2組[45，50），第3組[50，55），第4組[55，60），第5組[60，65]，并制成如圖2所示的頻率（視為概率）分布直方圖。已知第一組與第三組的頻率之比為1：3，第3組的頻數(shù)為90。

（1）求該校抽取的學(xué)生總數(shù)以及第2組的頻率;

（2）用這些樣本數(shù)據(jù)估計(jì)全市高二學(xué)生（學(xué)生數(shù)眾多）的體重，若從全市高二學(xué)生中任選5人，設(shè)X表示這5人中體重不低于55 kg的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解析：

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)題目當(dāng)中出現(xiàn)“將頻率視為概率”，“某某與某某相互獨(dú)立”，“從大量（且不知道大量具體的數(shù)值）中選取少數(shù)幾個(gè)個(gè)體”等關(guān)鍵字眼時(shí)，該分布即為二項(xiàng)分布。

例4 某工廠(chǎng)的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)po。

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p。作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶(hù)手中，則工廠(chǎng)要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。

①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E（X）;

②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

解析：

點(diǎn)評(píng)：題目當(dāng)中出現(xiàn)了“各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立”的字眼，符合二項(xiàng)分布的特征。

（責(zé)任編輯徐利杰）