陳希有

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 大連 116023)

在電學(xué)基礎(chǔ)課程(“電路”“電工學(xué)”“電磁場”“電子技術(shù)”“信號(hào)與系統(tǒng)”)中存在許多物理量，包括物理變量和物理參數(shù)，由此帶來兩方面認(rèn)識(shí)。一方面，物理量的大小、強(qiáng)弱、多少等，要同時(shí)使用物理量的數(shù)值和單位來表示，這已形成共識(shí)；另一方面，這些物理量之間遵循確定的物理規(guī)律，用方程或等式(以下常用等式)來表示。然而，這些等式到底是“數(shù)”的等式還是“量”的等式，目前人們對(duì)此有不同認(rèn)識(shí)。也有很多人根本不關(guān)心到底是什么等式，只注重單純計(jì)算，最后給出數(shù)值的單位。如果事先聲明，將物理量都統(tǒng)一到主單位，然后加以適當(dāng)省略，這樣做在師生都能彼此理解的情況下還算可以接受，也不太影響考試成績，因?yàn)橹辽兕^腦中還有單位意識(shí)。然而，在實(shí)際工程中，尤其是在交叉學(xué)科的學(xué)術(shù)交流中，在不同部門或不同國家的技術(shù)合作中，難免導(dǎo)致對(duì)數(shù)值與單位的誤解，并由此導(dǎo)致嚴(yán)重惡果，見本文第10節(jié)。

電學(xué)基礎(chǔ)課程是大多數(shù)工科專業(yè)學(xué)生最先接觸的專業(yè)基礎(chǔ)課程，并且物理量繁多，單位復(fù)雜。因此，在電學(xué)基礎(chǔ)課程中明確等式的數(shù)學(xué)或物理屬性，并正確使用物理量的量綱與單位，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)和正確的工程觀點(diǎn)，提高在學(xué)術(shù)表達(dá)中嚴(yán)格貫徹國家標(biāo)準(zhǔn)的意識(shí)和能力等，不僅必要而且可行。本文結(jié)合個(gè)人教學(xué)體會(huì)并參閱部分文獻(xiàn)，針對(duì)大學(xué)電學(xué)基礎(chǔ)課程中物理量的量綱與單位，歸納了十個(gè)方面的問題，供與讀者交流討論。

1 數(shù)的等式還是量的等式

首先引用北京師范大學(xué)物理系教授梁燦彬的兩種觀點(diǎn)[1]。

觀點(diǎn)1：物理學(xué)中的所有等式都是“數(shù)”的等式，唯此，方程的求解才能合乎數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)就是關(guān)于數(shù)的學(xué)問。

觀點(diǎn)2：梁教授也不否定物理學(xué)中的等式是“量”的等式。為使量的運(yùn)算有據(jù)可依，文獻(xiàn)[1]通過一條公理：“反映物理規(guī)律的‘?dāng)?shù)’等式在同族單位制有相同形式”，并提出“量類”等概念，開創(chuàng)性地證明了量的各種運(yùn)算規(guī)則，包括乘、除、乘冪等。同時(shí)也證明了單位的乘、除、乘冪等運(yùn)算規(guī)則。梁教授雖然不否定觀點(diǎn)2，但強(qiáng)烈主張觀點(diǎn)1更可取。

根據(jù)觀點(diǎn)1，等式中表示物理量的所有符號(hào)，只能理解成是物理量的數(shù)值，該數(shù)值是以某種計(jì)量單位去測量該物理量而得到的結(jié)果(倍數(shù))。這種觀點(diǎn)顯然使得對(duì)方程的計(jì)算變成完全的數(shù)學(xué)問題，每步計(jì)算都有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)。在代入已知條件求解方程時(shí)，物理量的數(shù)值和單位是分開使用的，不能在一個(gè)方程中同時(shí)看到物理量的數(shù)值和所用的單位。而計(jì)算結(jié)果的單位，則需從原方程各物理量所用單位通過單位運(yùn)算來得到。由于數(shù)的等式不含量綱，因此不易通過量綱平衡原則來檢驗(yàn)計(jì)算過程正確與否。電力系統(tǒng)分析中使用標(biāo)幺值所列寫的等式(例如潮流方程)就是一種數(shù)的等式(相對(duì)單位制)。所謂標(biāo)幺值，就是用實(shí)際有名值除以基準(zhǔn)值，其中有名值和基準(zhǔn)值具有相同的單位。可見標(biāo)幺值是無量綱的純數(shù)。在電力系統(tǒng)分析中使用標(biāo)幺值有許多優(yōu)點(diǎn)，這是由電力系統(tǒng)的特殊性決定的。比如易于比較電力系統(tǒng)各元件的特性及參數(shù)；可以用計(jì)算單相電路的方法計(jì)算同時(shí)包含不同電壓等級(jí)的三相電路；不同電壓等級(jí)的系統(tǒng)其標(biāo)幺值處在同一范圍等。但使用標(biāo)幺值也有明顯的缺點(diǎn)：因?yàn)闆]有量綱，因而其物理概念不如有名值明確(見電力系統(tǒng)分析類教材)。根據(jù)觀點(diǎn)2，方程中的符號(hào)同時(shí)代表物理量的數(shù)值和單位，具有確定的量綱。在代入其量值時(shí)，要同時(shí)包含物理量的數(shù)值與單位，數(shù)值和單位都參與運(yùn)算。數(shù)值之間的運(yùn)算與“數(shù)”的等式完全相同，單位的運(yùn)算(一種量的運(yùn)算)也有嚴(yán)密的邏輯。由于單位出現(xiàn)在“量”的等式中，因此十分便于用量綱平衡原則檢驗(yàn)方程的正確性，并使得求解過程更加嚴(yán)謹(jǐn)。漸漸地，檢驗(yàn)量綱平衡就會(huì)變成自覺行動(dòng)。但在代入已知條件求解方程時(shí)，方程的表現(xiàn)形式變得相對(duì)復(fù)雜，因?yàn)閿?shù)值后面要跟著單位。然而，這對(duì)目前廣泛使用的PPT課件來說，并不增加多少板書量。

注意：兩種觀點(diǎn)各有所長，單持哪一種都有可取之處。但兩者不要兼持，否則會(huì)帶來混亂和誤解，并難以體現(xiàn)兩種觀點(diǎn)的各自優(yōu)勢。

我國根據(jù)自己國情，經(jīng)國家標(biāo)準(zhǔn)局批準(zhǔn)，早在1982年就頒布了《電學(xué)和磁學(xué)的量和單位》GB3102.5-82[2]。所有物理方程都是量的等式[1]。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施后，要求出版單位都要按照國家標(biāo)準(zhǔn)出版教材或刊物。為此本文特別強(qiáng)調(diào)，以下內(nèi)容完全基于觀點(diǎn)2，即站在“量”的等式角度進(jìn)行敘述，并且只針對(duì)國際單位制(SI)。

2 導(dǎo)出量綱與導(dǎo)出單位

眾所周知，國際單位制規(guī)定了7個(gè)基本物理量，它們具有獨(dú)立的量綱，并嚴(yán)格定義了它們的計(jì)量單位(基本單位)。為引用方便列出如下：長度、質(zhì)量、時(shí)間、電流、熱力學(xué)溫度、物質(zhì)的量、發(fā)光強(qiáng)度。它們的量綱符號(hào)分別為 L、M、T、I、Θ、N、J。其中只有電流是電學(xué)中的物理量，量綱用I表示，單位為安培，符號(hào)A，定義為：1安培等于1秒時(shí)間內(nèi)有(1/1.602176634)×10+19個(gè)元電荷通過橫截面的電流。1個(gè)元電荷的電荷量為1.602176634×10-19C。因此，電學(xué)中大部分物理量的量綱和單位，都要根據(jù)基本物理量的量綱與單位，通過確定的物理關(guān)系來導(dǎo)出，分別稱為導(dǎo)出量綱和導(dǎo)出單位。導(dǎo)出過程其實(shí)就是乘除運(yùn)算過程。這些運(yùn)算規(guī)則很簡單(詳細(xì)嚴(yán)謹(jǐn)論述見文獻(xiàn)[1]第3章)：相同的量綱或單位相乘，結(jié)果得到它們的平方；相除則相約。不同量綱或單位相乘除，得到新的量綱或單位。下面是本文將要用到的幾個(gè)量綱。

電荷等于電流乘以時(shí)間，因此電荷的量綱為

dimQ=dim[It]=IT

(1)

(式中，dim表示取量綱，下同。)

磁感應(yīng)強(qiáng)度B=F/(Il)，其中F、I和l分別表示載流導(dǎo)線垂直磁場方向時(shí)所受的力、導(dǎo)線電流和長度。因?yàn)榱Φ牧烤V為LMT-2，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的量綱為

dimB=LMT-2×(IL)-1=MT-2I-1

(2)

垂直于均勻磁場某面積的磁通等于磁感應(yīng)強(qiáng)度乘以面積，所以磁通的量綱為

dimΦ=dimB×dimS=MT-2I-1L2

(3)

力學(xué)中功等于力F乘以位移x(二者同向時(shí))，因此功的量綱為

dimA=dim(Fx)=LMT-2×L=L2MT-2

(4)

功隨時(shí)間的變化速率就是功率，因此功率的量綱為

(5)

電壓等于單位正電荷在電場力作用下，從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)電場力所做的功，因此電壓的量綱為

(6)

電學(xué)中功率等于電壓乘以電流，由此也可得出功率的量綱為

dimP=dim(UI)=L2MT-3I-1×I=L2MT-3

(7)

根據(jù)電學(xué)中功等于電壓、電流和時(shí)間三者的乘積，也可導(dǎo)出功的量綱為

dimA=dim(UIt)=L2MT-3I-1×I×T

(8)

電阻等于電壓除以電流，因此電阻的量綱為

(9)

電容等于電荷除以電壓，因此電容的量綱為

(10)

時(shí)間常數(shù)τ=RC，因此量綱為

dimτ=dim(RC)=T

(11)

總之，任何一個(gè)導(dǎo)出量的量綱都可以由7個(gè)基本量的量綱，按照量綱運(yùn)算規(guī)則得到唯一結(jié)果(基本量綱的冪積形式，包括分?jǐn)?shù)冪)。這說明，在不同的學(xué)科領(lǐng)域，對(duì)同一屬性的物理量，得出的量綱是一致的。量綱是物理量的固有存在，不能人為假設(shè)其有或無，或是什么。除非基本物理量的定義發(fā)生變動(dòng)，否則物理量的量綱是唯一的。一個(gè)物理量所表示的物理問題的復(fù)雜度也可以從它的量綱中包含的基本量綱的個(gè)數(shù)表征出來。

導(dǎo)出單位可以借助導(dǎo)出量綱來獲得，它是基本單位的冪積形式。根據(jù)式(6)，電壓的導(dǎo)出單位為m2·kg·s-3·A-1。根據(jù)式(9)，電阻的導(dǎo)出單位為m2·kg·s-3·A-2?？梢姡没締挝粌绶e形式表示的導(dǎo)出單位往往很笨重，故不實(shí)用。因此，導(dǎo)出單位都使用簡單的名稱來替代，同時(shí)也為紀(jì)念為科學(xué)做出卓越貢獻(xiàn)的科學(xué)家們。例如用伏(V)代替m2·kg·s-3·A-1；用歐(Ω)代替m2·kg·s-3·A-2。

3 量的數(shù)值和單位要同時(shí)代入方程

當(dāng)站在“量”的等式觀點(diǎn)求解方程時(shí)，已知量的數(shù)值以及對(duì)應(yīng)的單位都要代入方程。這樣，從方程上既能看出各物理量的數(shù)值關(guān)系，又能看出各物理量的量綱關(guān)系。數(shù)值之間滿足數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系，量綱滿足量綱運(yùn)算關(guān)系。例如，將51 Ω電阻與200 mH電感串聯(lián)，再接入有效值為220 V的工頻交流電源上，電路中的電流相量計(jì)算如下：

在上面計(jì)算中，角頻率和頻率的量綱相同，都是倒時(shí)間的量綱T-1。它們分別使用rad/s和Hz為單位名稱，是為了更準(zhǔn)確表達(dá)各自的含義。電壓的單位V和電流的單位A，可以跟在有效值后面，也可以跟在相量值后面。

再比如，寫出頻率為4500 Hz、幅值為0.2 A、初相為30°的正弦電流表達(dá)式。先計(jì)算角頻率：

ω=2πf=2π×4500 Hz≈28.27×103rad/s

因此電流表達(dá)式為

i(t)=0.2 Asin(ωt+30°)

上述表達(dá)式中，相位ωt+30°是一種直觀易懂的表述，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，加數(shù)與被加數(shù)單位不一致。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，尤其是使用編程軟件例如Matlab進(jìn)行計(jì)算時(shí)，角度的單位都要化成弧度。因此，相位的嚴(yán)謹(jǐn)表述為ωt+π/6。

上述電流表達(dá)式也可寫成

i(t)=0.2 Asin(28.27×103t/s+30°)

這種等價(jià)寫法表明，如果將時(shí)間的數(shù)值代入上式，時(shí)間的單位必須為s。同理，在計(jì)算sin(3000t/ms)的數(shù)值時(shí)，必須將以ms為計(jì)量單位的時(shí)間值代入公式。因此，在使用“量”的等式時(shí)，從方程上就能看出量的數(shù)值應(yīng)以何種單位來計(jì)量。

若將非線性電阻的伏安特性寫成u=4i2V，這是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，既不是?shù)的等式，也不是量的等式，只能按慣例來理解：電壓單位為V，電流的單位為A。如果將其代入電路方程，等號(hào)兩邊的量綱肯定是不平衡的。按照“量”的等式觀點(diǎn)，宜寫成如下之一：

u=4 V(i/A)2、u=4 mV(i/A)2

u=4 V(i/mA)2、u=4 mV(i/mA)2

注意：此處“/”代表“除”，不代表“分隔”。上述每個(gè)方程都表明應(yīng)該將以何種單位計(jì)量的電流數(shù)值代入方程、得到電壓數(shù)值對(duì)應(yīng)的是何種單位。

這種將量的數(shù)值與單位同時(shí)代入方程的規(guī)則，在復(fù)頻域分析中存在不便。例如計(jì)算RLC串聯(lián)電路電流的象函數(shù)時(shí)得到

當(dāng)繼續(xù)對(duì)方程進(jìn)行化簡時(shí)，會(huì)有較多的單位相乘，并且表示復(fù)頻率的斜體s與表示秒的正體s在教學(xué)中不易區(qū)分，因此方程變得不切實(shí)際。這時(shí)只好采用折中的辦法，將各物理量的單位都化成主單位并省掉，在方程的最后標(biāo)注結(jié)果的單位，例如

文獻(xiàn)摘錄：文獻(xiàn)[2]，題為“談教材編寫中貫徹新國標(biāo)GB3102.5-82”，作者俞大光 。文中寫道：“量的符號(hào)既是代表該物理量，它就必然等于其數(shù)值與單位的乘積。例如U=220 V，即指電壓U等于220與電壓單位V的乘積。因此在計(jì)算式的結(jié)果和過程的每一步中都不應(yīng)該將單位省去，例如U=220 V，不能是U=220。如果這個(gè)電壓是10 A電流通過22 Ω電阻的電壓降，就只能寫成U=10 A×22 Ω=220 V。如果覺得這樣書寫繁瑣，則可將等式兩邊化為純數(shù)而寫成U/V=10×22=220?！边@段話肯定了數(shù)值后面要帶上單位，且數(shù)值與單位是乘積關(guān)系。俞老師曾對(duì)本文作者在教材編寫中未嚴(yán)格執(zhí)行國家標(biāo)準(zhǔn)之處提出嚴(yán)厲批評(píng)，深受震動(dòng)。

文獻(xiàn)[3]、[4]是少見的比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刎瀼貒覙?biāo)準(zhǔn)，較嚴(yán)格采用“量”的等式的教材。主審俞大光院士在文獻(xiàn)[3]的序言中寫道： “教材中首先貫徹這些國家標(biāo)準(zhǔn)十分必要，因?yàn)檫@將促使教學(xué)中國家標(biāo)準(zhǔn)的貫徹，也使得授課學(xué)生在開始接觸到新的物理量時(shí)就習(xí)慣運(yùn)用符合國家標(biāo)準(zhǔn)的名稱、符號(hào)和它們的單位以及單位符號(hào)，這比先接觸一些雜亂的名稱符號(hào)以后再要求去改要容易得多?！１本┕I(yè)大學(xué)許道展、程桂敏、王鐵奎三位老師編寫的這套教材——《電路基礎(chǔ)》上、下冊(cè)正是從這一考慮出發(fā)的。這套教材比較全面地認(rèn)真貫徹了GB3100、GB3101、GB3102.1～13等國標(biāo)……。當(dāng)然，由于要區(qū)分量的方程和數(shù)值方程，初看起來可能帶來一些繁瑣，但只要習(xí)以為常就可以體會(huì)出這樣做的嚴(yán)謹(jǐn)，有好處。對(duì)量的方程可以通過量綱檢查出某些疏漏；而對(duì)數(shù)值方程中的符號(hào)是代表以什么單位計(jì)量而得的數(shù)值則是一目了然的?！?/p>

文獻(xiàn)[3]的1-2節(jié)專門討論了量的單位問題。指出，“過去不區(qū)分量方程式與數(shù)方程式。甚至出現(xiàn)一個(gè)方程式中量和數(shù)值相加減的情況，這是不合適的，應(yīng)該避免。220≥210+10R應(yīng)該是220≥210+10R/Ω或220 V≥210 V+10 A×R。”

這種將數(shù)值和單位同時(shí)代入方程的做法在我國教材中雖不多見，但在近些年引進(jìn)的國外優(yōu)秀教材中卻可見到。例如文獻(xiàn)[5]、[6]、[7]都采用了量的等式，在數(shù)值后面都帶有單位。這些教材在開篇不久，都專門介紹物理量的單位與單位制，強(qiáng)調(diào)恰當(dāng)使用單位的重要性。文獻(xiàn)[5]更是專門闡述道：“對(duì)從事任何技術(shù)工作的人來說，需要時(shí)刻銘記并切實(shí)執(zhí)行的重要規(guī)則就是，當(dāng)把一個(gè)數(shù)值代入方程時(shí)一定要正確使用它的單位。極為常見的情況是，人們特別專心于獲得問題的數(shù)值結(jié)果，從而忽略了對(duì)數(shù)值單位的檢驗(yàn)，因而所獲得結(jié)果變得毫無意義?！北疚淖髡咧骶幍慕滩摹峨娐防碚摻坛獭?第2版)[8]，基于“量”的等式觀點(diǎn)，在方程的表述上做了積極探索，供同行參考。

4 求導(dǎo)與積分運(yùn)算的量綱變化規(guī)則

在電學(xué)基礎(chǔ)課程中，許多物理量是通過比值或比值的極限(即導(dǎo)數(shù))來定義的，或者物理量之間本來就存在這種關(guān)系。例如，功率定義為Δt時(shí)間內(nèi)物體所做的功ΔA與Δt的比，當(dāng)Δt→0時(shí)的極限，即

(12)

因此，功率的量綱是

(13)

為驗(yàn)證此結(jié)果，將功的量綱式(8)代入式(13)得

dimp=dimA×T-1=L2MT-3

(14)

顯然它與式(7)相同。

同理，感應(yīng)電動(dòng)勢的量綱是

(15)

為驗(yàn)證此結(jié)果，將磁通的量綱式(3)代入式(15)得

dime=dimΨ×T-1=L2MT-3I-1

(16)

顯然它與式(6)相同。(注：電動(dòng)勢與電壓具有相同的量綱)

類似地，可以理解積分運(yùn)算后帶來的量綱變化。

總之，對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)，量綱增加T-1倍；求一重積分，量綱增加T倍。本文將此稱為求導(dǎo)與積分運(yùn)算的量綱變化規(guī)則。

用比值極限或?qū)?shù)定義的物理量，人們常常用“單位……”的文字來表述。例如，單位時(shí)間內(nèi)傳輸或轉(zhuǎn)換的能量稱為功率。物體在單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離稱為速度，等等。顯然這種表述并不意味著功率是能量、速度是距離，它們都是具體的比值。在電學(xué)基礎(chǔ)課程中也常有類似敘述：電路在單位階躍激勵(lì)作用下的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，記作s(t)；電路在單位沖激激勵(lì)作用下的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，記作h(t)，并且h(t)=ds(t)/dt。顯然s(t)與h(t)的量綱不同，因此用這種敘述時(shí)，不要把s(t)和h(t)理解成是電壓或電流，它們都是某種比值，不是普通含義下的響應(yīng)。這是本文的主要觀點(diǎn)之一，詳見第8節(jié)。

5 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)自變量與函數(shù)值的量綱

電學(xué)基礎(chǔ)課程經(jīng)常用到一些標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)，它們的自變量(以下用x表示)與函數(shù)都是無量綱的。例如sin(x)、sinh(x)、arcsin(x)、log10(x)、ex，等等。因此，正弦電流的表達(dá)式必然形如Imsin(ωt+φ)，也就是一定會(huì)出現(xiàn)角頻率ω與時(shí)間t的量乘積形式，乘積結(jié)果無量綱；不會(huì)出現(xiàn)Imsin(1000t+φ)，且1000是純數(shù)、t是時(shí)間量的形式。當(dāng)對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)時(shí)，得到ωImcos(ωt+φ)，量綱變?yōu)門-1I，符合求導(dǎo)運(yùn)算的量綱變化規(guī)則。

同理，在暫態(tài)分析中，電流的e指數(shù)形式一定是形如Ie-t/τ，τ為時(shí)間常數(shù)，量綱為T，因此-t/τ無量綱；絕不會(huì)出現(xiàn)Ie-100t，且100是純數(shù)、t是時(shí)間量的形式。當(dāng)對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)時(shí)，得到-τ-1Ie-t/τ，量綱變?yōu)門-1I。

6 單位沖激函數(shù)的量綱

在電學(xué)基礎(chǔ)課程中，沖激函數(shù)是既重要又抽象的函數(shù)。本文的觀點(diǎn)是δ(t)的量綱為倒時(shí)間量綱T-1。下面給出具體理由。

理由1：根據(jù)一般教科書給出的定義(嚴(yán)格定義需要借助泛函理論)，即

(17)

注意到，積分式等號(hào)右側(cè)為純數(shù)1。而dt代表時(shí)間軸的微分，量綱當(dāng)然是T。因此，根據(jù)積分運(yùn)算量綱變化規(guī)則，δ(t)的量綱只有是T-1，積分后才能得到無量綱的數(shù)。所以，站在“量”的等式角度，δ(t)是量。但它的單位不能明顯地寫在δ(t)后面，因?yàn)棣?t)不是數(shù)。延遲的單位沖激函數(shù)應(yīng)該寫成形如δ(t-0.01 s)、δ(t-0.01 ms)等形式，注意延遲時(shí)間由數(shù)值和單位共同組成。

理由2：根據(jù)單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)系(也可根據(jù)單位脈沖函數(shù)到單位沖激函數(shù)的演變極限過程)，即

(18)

式中單位階躍函數(shù)為無量綱量，根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算量綱變化規(guī)則，δ(t)的量綱顯然是

(19)

理由3：根據(jù)拉氏變換的定義，單位沖激函數(shù)的象函數(shù)為純數(shù)1，無量綱。而象函數(shù)的量綱等于原函數(shù)的量綱乘以時(shí)間的量綱(見第9節(jié))，即

dim{L[δ(t)]}=dimδ(t)×dimt=1

所以原函數(shù)δ(t)的量綱必然是倒時(shí)間的量綱。

文獻(xiàn)摘錄：北京航空航天大學(xué)雷銀照教授，在文獻(xiàn)[9](p337)中，針對(duì)電磁場課程實(shí)際(δ函數(shù)的自變量是位置坐標(biāo))，有如下闡述，可供參考：

δ函數(shù)滿足以下積分：

(20)

二維和三維δ函數(shù)分別定義為，

δ(r-r0)=δ(x-x0)δ(y-y0)

δ(r-r0)=δ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)

由于dimδ×dimV=1，1表示無量綱的數(shù)字。所以δ函數(shù)的量綱是

(21)

即δ函數(shù)的量綱是n維空間元素dV的倒量綱。例如，如果dV是長度元素，則δ函數(shù)的量綱就是L-1(原文用m表示，本文統(tǒng)一用L)；如果是面積元素，則δ函數(shù)的量綱就是L-2；如果是體積元素，則δ函數(shù)的量綱就是L-3”。由此可作合理推廣：如果dV是時(shí)間元素，則δ函數(shù)的量綱就是T-1。

認(rèn)為δ函數(shù)的量綱為T-1的還有文獻(xiàn)[3](p457)、[10](p23)、[11](p327)、[12](p237)。

δ(t)不能單獨(dú)作為普通意義上的激勵(lì)(獨(dú)立電壓源的電壓，獨(dú)立電流源的電流)，因?yàn)樗痪哂须妷夯螂娏鞯牧烤V。如果把它放在電流激勵(lì)位置，只能默認(rèn)理解成省略了系數(shù)1 C(1庫侖)，或者是廣義上的激勵(lì)。這種省略必然導(dǎo)致方程的量綱不平衡。

既然δ(t)的量綱為T-1，所以如果從量綱平衡的方程出發(fā)，并經(jīng)過正確的推導(dǎo)，絕不會(huì)出現(xiàn)下列運(yùn)算情況：sin(ωt)+δ(t)、e-t/τ+δ(t)，它們應(yīng)該按照線性組合相加，用組合的系數(shù)保證相加的兩個(gè)量具有相同的量綱。

7 沖激強(qiáng)度的量綱

由于單位沖激函數(shù)本身具有倒時(shí)間的量綱，它不是電壓或電流的量綱，所以必須乘以系數(shù)，得到Kδ(t)，使其變成沖激電壓或沖激電流，才能做普通意義上的激勵(lì)使用。這個(gè)系數(shù)就是沖激強(qiáng)度。如果從脈沖函數(shù)到?jīng)_激函數(shù)的演變過程來看，沖激強(qiáng)度就是在脈沖寬度趨于零的過程中，所保持不變的那個(gè)面積，即脈沖高度(電壓或電流)與脈沖寬度(時(shí)間)的乘積，因此其量綱必然是電壓或電流的量綱，再乘以時(shí)間的量綱：

(22)

對(duì)沖激電壓，沖激強(qiáng)度的主單位就是Vs，即磁鏈Wb，意思是在極短的時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)生了K的數(shù)值所代表的磁鏈，可用Ψ來表示這個(gè)強(qiáng)度；對(duì)沖激電流，沖激強(qiáng)度的主單位就是As，即電荷C，意思是在極短的時(shí)間內(nèi)，通過了K的數(shù)值所代表的電荷，可用Q來表示這個(gè)強(qiáng)度。

沖激強(qiáng)度的量綱還可從復(fù)頻域象函數(shù)的量綱來理解。設(shè)沖激電流i(t)=Kδ(t)，其拉氏變換為，

I(s)=L[i(t)]=L[Kδ(t)]=K

(23)

根據(jù)象函數(shù)量綱等于原函數(shù)量綱乘以時(shí)間量綱(見第9節(jié))便可知，K的量綱等于電流的量綱乘以時(shí)間的量綱，即

dimI(s)=dimK=dimi×T

(24)

由以上討論可知，我們可以采用如下表達(dá)式：

i(t)=10 C×δ(t)，u(t)=9 Wb×δ(t)

不宜采用以下表達(dá)式：

i(t)=10δ(t) A，u(t)=9δ(t) V

這是因?yàn)閕(t)=10δ(t) A意味著起作用的是電流的幅度，而沖激電流的幅度是無限大，無限大屬于不定量，不能用來定量描述電流大小。

文獻(xiàn)摘錄：文獻(xiàn)[3] p(457)，強(qiáng)調(diào)指出，“沖激函數(shù)是用它的強(qiáng)度而不是幅度來表征的，單位沖激電流表示的是，在極短時(shí)間內(nèi)有1 C電荷被轉(zhuǎn)移到別處。根據(jù)定義，單位沖激函數(shù)δ(t)的SI單位為s-1。”文獻(xiàn)[4](p423)，進(jìn)一步指出，沖激強(qiáng)度分別是電荷與磁鏈，并在腳注中詳細(xì)說明了單位沖激函數(shù)具有倒時(shí)間量綱的理由。

文獻(xiàn)[13](p236)指出，“由定義知δ(t)具有倒時(shí)間的量綱?！薄皢挝粵_激函數(shù)乘以量K得Kδ(t)，即一般沖激函數(shù)，其中K是它的沖激強(qiáng)度，如果Kδ(t)單位是安，則K的單位就是安.秒(As),即庫侖(C)；如果Kδ(t)單位是伏，則K的單位就是伏.秒(Vs),即韋伯(Wb)”

文獻(xiàn)[14] (p305)指出：“沖激函數(shù)是用它的強(qiáng)度而不是用它的幅度來表征的。以沖激電流來說，其強(qiáng)度的量綱為安.秒，即庫侖?！_激電流的幅度為無限大！換句話說，單位沖激電流所移動(dòng)的電荷為1 C，但這些電荷的移動(dòng)是在極其短促(趨于零)的時(shí)間內(nèi)完成的，因而電流的幅度是極大的(趨于無限大)?！?p306)也說明：“對(duì)沖激電流來說，可表述為Qδ(t-t0)；對(duì)沖激電壓來說，可表述為Ψδ(t-T0)?！?/p>

類似的表述還見文獻(xiàn)[11](p328)、[12](p237)、[14](p308)和[15](p460)。

8 單位階躍特性與單位沖激特性的量綱

解釋：本文和文獻(xiàn)[8]、[16]將人們常用的單位階躍響應(yīng)s(t)和單位沖激響應(yīng)h(t)，分別稱為單位階躍特性和單位沖激特性。之所以叫“特性”而不叫“響應(yīng)”，是因?yàn)樗鼈儾痪哂须妷号c電流的量綱。這是本文主要觀點(diǎn)之一。

關(guān)于這兩個(gè)“特性”的量綱與單位問題，文獻(xiàn)[16]已采用提問方式進(jìn)行了論述，為閱讀方便，將要點(diǎn)概述如下。

單位階躍特性的定義：零狀態(tài)下，階躍響應(yīng)與階躍幅度(包括數(shù)值和單位)之比，稱為電路的單位階躍特性，用s(t)表示。由于是響應(yīng)與激勵(lì)幅度的比值，所以不難理解s(t)的量綱有三種情況：無量綱、電阻的量綱、電導(dǎo)的量綱，即

(25)

單位沖激特性的定義：零狀態(tài)下，沖激響應(yīng)與沖激強(qiáng)度(包括數(shù)值和單位)之比，稱為電路的單位沖激特性，用h(t)表示。由于是比值，且沖激強(qiáng)度的量綱可能是電荷的量綱(沖激電流激勵(lì)情況)，也可能是磁鏈的量綱(沖激電壓激勵(lì)情況)，所以不難推得h(t)的量綱也有三種情況，分別是在對(duì)應(yīng)單位階躍特性的量綱基礎(chǔ)上再乘以T-1，即

(26)

另外，根據(jù)

再利用第4節(jié)闡明的求導(dǎo)運(yùn)算量綱變化規(guī)則，同樣也得式(26)描述的量綱。

h(t)的量綱還可以從拉氏變換的角度來理解。單位沖激特性與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拉氏反變換關(guān)系為

式中H(s)為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，等于零狀態(tài)下響應(yīng)象函數(shù)與激勵(lì)象函數(shù)之比，其量綱也有三種情況：無量綱、電阻的量綱、電導(dǎo)的量綱。ds為復(fù)頻域微分量，其量綱為倒時(shí)間量綱T-1。因此同樣可以肯定，h(t)的量綱與式(26)完全相同。

唯有按照式(26)得出的h(t)量綱，在使用卷積公式計(jì)算對(duì)任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，方程兩邊的量綱才是平衡的，驗(yàn)證如下：

(27)

(量綱平衡)

設(shè)想，如果h(t)是電壓或電流，則按式(27)計(jì)算的r(t)不可能具有電壓或電流的量綱，因?yàn)榉匠逃疫叴嬖跁r(shí)間的量綱。

文獻(xiàn)摘錄：關(guān)于單位階躍特性與單位沖激特性名稱與量綱問題，有較多文獻(xiàn)描述，但多見于我國早期教材，或翻譯的前蘇聯(lián)及現(xiàn)俄羅斯教材。蘇聯(lián)或俄羅斯教材以概念嚴(yán)謹(jǐn)而著稱。

文獻(xiàn)[3](p448)，該教材使用了“特性”一詞：“所謂單位階躍響應(yīng)特性是指，零初始狀態(tài)下的電路，在唯一的單位階躍式電源激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)。以下簡稱單位階躍特性。因此，單位階躍特性可能無量綱，也可能具有電導(dǎo)或電阻的量綱，分別稱為單位階躍電導(dǎo)或單位階躍電阻?！崩纾摻滩挠?jì)算的單位階躍特性為

(28)

文獻(xiàn)[3](p464)指出：“零初始狀態(tài)下的電路，在唯一的單位沖激式電源激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)特性，簡稱單位沖激特性。與單位階躍特性相仿，根據(jù)激勵(lì)和響應(yīng)的不同，單位沖激特性又可分為單位沖激電壓傳輸比，單位沖激電流傳輸比，單位沖激電導(dǎo)和單位沖激電阻等……。當(dāng)激勵(lì)為Aδ(t)時(shí)，其沖激響應(yīng)可用單位沖激特性乘以沖激強(qiáng)度A得到。”

文獻(xiàn)[13] (p237)指出：“電路在單位沖激電源作用下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激特性，用h(t)表示。當(dāng)沖激激勵(lì)為Kδ(t)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為r(t)=Kh(t)，h(t)的量綱等于r(t)的量綱與沖激強(qiáng)度K的量綱之比，其單位可能是s-1、Ω/s、S/s?！?/p>

文獻(xiàn)[17] (p280) 指出：“在線性電路中產(chǎn)生的電流和電壓直接正比于加在電路上的階躍電動(dòng)勢，因而有等式

x(t)=E(t)h(t)

(29)

其中h(t)是一個(gè)時(shí)間函數(shù)，稱為電路的過渡特性。如果待求量是電流，過渡特性將有導(dǎo)納的量綱，稱為過渡電導(dǎo)，記作Y(t)。若給定電路與恒定電壓U接通，用經(jīng)典法或運(yùn)算法求出電流，則Y(t)=i(t)/U?！?注意，這里的過渡特性明確是量的比值，就是本文的單位階躍特性。)例如，對(duì)RL串聯(lián)電路，

(30)

如果電路外加階躍電動(dòng)勢，則

i(t)=E×ε(t)Y(t)

過渡特性對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)稱為脈沖(沖激)特性(對(duì)應(yīng)我國的單位沖激特性)。階躍作用后的過程由階躍量E決定，而脈沖作用后的過程由脈沖的面積K決定。

文獻(xiàn)[15](p283)，給出了任意波形電動(dòng)勢作用下的電路計(jì)算公式：

(31)

該公式稱為杜阿密爾積分，在我國少數(shù)早期教材中可以見到，現(xiàn)在已被卷積積分所取代。它是用單位階躍特性計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的通用公式，而卷積則是用單位沖激特性。在杜阿密爾積分中使用了過渡電導(dǎo)，這樣方程兩邊的量綱顯然是平衡的。

文獻(xiàn)[18](p268)，給出如下卷積公式：

(32)

A(t)表示過渡電導(dǎo)，A′(t)則表示沖激過渡電導(dǎo)(對(duì)應(yīng)本文的單位沖激特性)。對(duì)RL電路，響應(yīng)為電流的沖激過渡電導(dǎo)為

(33)

類似的敘述還見于文獻(xiàn)[11](p308)、[11] (p327)、[15] (p458)、[19](p281)和[20](p120)。

9 復(fù)頻域象函數(shù)的量綱

復(fù)頻域象函數(shù)的量綱，等于原函數(shù)量綱乘以時(shí)間的量綱。下面說明幾點(diǎn)理由。

理由1：拉普拉斯變換的定義式為

因?yàn)槭窃跁r(shí)間軸上積分，所以象函數(shù)F(s)的量綱顯然等于原函數(shù)f(t)的量綱乘以時(shí)間的量綱(積分規(guī)則)。如果原函數(shù)是電流，單位A，時(shí)間單位為s，那么象函數(shù)的單位就是As，即庫侖C；如果原函數(shù)是電壓，單位V，時(shí)間單位為s，那么象函數(shù)的單位就是Vs，即韋伯Wb。

理由2：電感的復(fù)頻域模型為

UL(s)=sLIL(s)-LiL(0_)

附加電壓源LiL(0_)是電感乘以電流，顯然具有磁鏈的量綱，因此電壓象函數(shù)的量綱為磁鏈的量綱。

對(duì)偶地，電容的復(fù)頻域模型為

IC(s)=sCUC(s)-CuC(0_)

附加電流源CuC(0_)是電容乘以電壓，顯然具有電荷的量綱，因此電流象函數(shù)的量綱為電荷的量綱。

理由3：根據(jù)終值定理，階躍激勵(lì)時(shí)電感電流穩(wěn)態(tài)值為下列極限：

所以，電流象函數(shù)IL(s)的量綱為

對(duì)偶地，電壓象函數(shù)UC(s)的量綱為

dimUC(s)=dimΨ

在復(fù)頻域分析中的注意事項(xiàng)：象函數(shù)的極點(diǎn)p與復(fù)頻率s具有相同的量綱，是物理量，所以數(shù)值后面須帶有單位，例如

p=-10 s-1(正體s表示秒)

因?yàn)閷?shí)際中，時(shí)間的單位也完全可能是ms，因此必須明確使用哪種時(shí)間單位。

不同重?cái)?shù)極點(diǎn)的留數(shù)(待定系數(shù))具有不同的量綱，應(yīng)使用不同的單位。例如，設(shè)

其中p2=-1 s-1。對(duì)應(yīng)二重極點(diǎn)的兩個(gè)待定系數(shù)分別為(注意它們的單位)

文獻(xiàn)摘錄:文獻(xiàn)[4](p423)指出：“因此任何激勵(lì)的象函數(shù)F(s)的量綱均為其原函數(shù)f(t)的量綱乘以時(shí)間的量綱?！?。電流象函數(shù)量綱均為As=C;……。電壓象函數(shù)的量綱均為Vs=Wb?！鳖愃茢⑹鲆娢墨I(xiàn)[13](p260)。

文獻(xiàn)[14](p594)在正文中說：“為方便起見，仍用u(t)的單位作為U(s)的單位，用i(t)的單位作為I(s)的單位。這種做法只是用以表明時(shí)域變量原來用的是什么單位，并不意味著變換量具有任何物理性質(zhì)?！?接下來在腳注中進(jìn)一步補(bǔ)充說：“有些文獻(xiàn)用拉普拉斯伏(Laplace Volt)作為U(s)的單位。”最后明確指出：“U(s)的實(shí)際單位為伏·秒?！?/p>

文獻(xiàn)[17] p(258)指出：“在電工實(shí)用中也廣泛使用所謂卡爾松變換(也叫亥維賽德變換)的函數(shù)變換，它有以下形式：

卡爾松變換的優(yōu)點(diǎn)是原函數(shù)和象函數(shù)具有相同的量綱。從乘積pt應(yīng)為無量綱的量可以看到這一點(diǎn)。而在拉普拉斯變換情況下，象函數(shù)的量綱等于原函數(shù)的量綱乘以時(shí)間的量綱?！鳖愃茢⑹鲆娢墨I(xiàn)[19](p289)。

10 正確使用量綱與單位的重要性

用三個(gè)故事來敘述，從正反方面體會(huì)正確使用量綱與單位的重要性。

故事一：1998年12月11日，美國航空航天局火星氣候探測者號(hào)升空。經(jīng)過286天長途飛行，在即將進(jìn)入火星環(huán)繞軌道時(shí)信號(hào)突然消失。人們一陣忙亂也沒能找到信號(hào)，探測者號(hào)消失在火星大氣層中。經(jīng)查，這是一起徹底的人為失誤導(dǎo)致的事故：探測器的飛行系統(tǒng)軟件使用公制單位“?！眮碛?jì)算推進(jìn)器動(dòng)力，而地面人員則使用英制單位“磅”來設(shè)置探測器的方向矯正量，結(jié)果導(dǎo)致探測者號(hào)進(jìn)入火星大氣層的高度有誤，最終瓦解碎裂。該探測器花費(fèi)了3億多美元。從此NASA嚴(yán)格規(guī)定單位制的使用。詳見汪潔著科普讀物《太陽系簡史》，浙江教育出版社，2020年12月。

故事二：1945年7月16日，美國在新墨西哥州的阿拉莫戈多附近試爆了世界第一顆原子彈，并對(duì)爆炸數(shù)據(jù)實(shí)施嚴(yán)格保密。1947年，出于宣傳的目的，美國政府允許把爆炸過程的系列照片公之于眾。這時(shí)，英國著名流體力學(xué)專家泰勒爵士如獲至寶。泰勒從1941年開始對(duì)“高強(qiáng)度爆炸的沖擊波”問題做過非常詳盡的研究，并且找到了爆炸釋放能量的公式。泰勒立即對(duì)這顆原子彈做了細(xì)致推敲，他所估算出原子彈釋放的能量竟然與一直保密的美國官方估算值非常接近。這使FBI的情報(bào)人員對(duì)此既驚訝又緊張。這個(gè)問題彰顯了量綱理論中“П定理”在物理和工程應(yīng)用中的巨大作用。利用量綱分析，加上某些物理思辨并借用照片給出的數(shù)據(jù)，的確可以得出該原子彈釋放能量的粗略估算值。詳見文獻(xiàn)[1](p211)。

故事三：第一條跨越大西洋電報(bào)是在1858年實(shí)現(xiàn)的，此電報(bào)經(jīng)過了紐芬蘭和愛爾蘭之間3000km電纜才得以傳播。在那個(gè)年代，這是最貴也是最復(fù)雜的電學(xué)工程。該工程經(jīng)歷了無數(shù)次失敗，直到1858年才獲得過短暫成功，最終于1866年全部建成。在工程的開始階段，失敗的原因歸結(jié)于很多電學(xué)單位不統(tǒng)一，尤其是電阻的單位。因此，這個(gè)工程的副作用就是加速了一系列單位的統(tǒng)一。選自(美)Edward M. Purcell著，宋峰等譯，《伯克利物理學(xué)教程》(第2卷，電磁學(xué))，p191。

11 結(jié)語

電學(xué)基礎(chǔ)課程具有學(xué)術(shù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶卣?，這不僅體現(xiàn)在概念和方法上，還體現(xiàn)在物理量的量綱與單位上。電學(xué)基礎(chǔ)課程是大學(xué)生較早接觸的課程，在這些課程中加強(qiáng)量綱意識(shí)，可以從大學(xué)起步階段就養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)作風(fēng)。在使用量的等式時(shí)，可以做的不很徹底，但不能存在量綱方面的差錯(cuò)。使用量的等式起初可能感到不便，這是固有習(xí)慣的原因，但漸漸就變得自覺和自如了。在嚴(yán)謹(jǐn)和方便性上，應(yīng)該盡量選擇嚴(yán)謹(jǐn)。