張志偉，紀(jì)志堅(jiān)

(青島大學(xué) a.自動(dòng)化學(xué)院；b.山東省工業(yè)控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266071)

0 引言

近些年，隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、通信技術(shù)的日益發(fā)展，系統(tǒng)正逐漸從單一的傳統(tǒng)模式演化成智能化的新型模式。智能體系統(tǒng)的發(fā)展也是如此，由于單個(gè)智能體解決問(wèn)題的能力十分有限，通過(guò)智能體之間的相互聯(lián)系，彼此協(xié)調(diào)可以解決超過(guò)單個(gè)智能體能力之外更復(fù)雜的問(wèn)題，這也就形成了多智能體系統(tǒng)。多智能體系統(tǒng)具有諸多顯著優(yōu)勢(shì)，目前已經(jīng)在編隊(duì)控制[1-3]，能控性[4-7]，能觀性[8-10]，一致性[11-13]等方面得到了廣泛研究。

在當(dāng)前世界背景下，普遍受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題是系統(tǒng)的能控性問(wèn)題，能控性是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)基本概念，是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究和分析的基礎(chǔ)。有關(guān)能控性的研究最早可以追溯到20世紀(jì)60年代，由Kalman提出[14-15]。之后學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)將能控性的概念擴(kuò)展到多智能體系統(tǒng)之中是非常有必要的。多智能體系統(tǒng)的能控性是指選定部分節(jié)點(diǎn)作為領(lǐng)導(dǎo)者(leader)施加外部控制輸入，通過(guò)系統(tǒng)內(nèi)部個(gè)體之間的相互連接關(guān)系，可以使跟隨者(follower)由任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到所期望的狀態(tài)。多智能體系統(tǒng)能控性的這一概念首先是在2004年由Tanner提出，同時(shí)他還提出了一種基于leader-follower結(jié)構(gòu)(領(lǐng)導(dǎo)者—跟隨者結(jié)構(gòu))的網(wǎng)絡(luò)模型[16]。在這一結(jié)構(gòu)模型下，多智能體系統(tǒng)能控性的研究得到了進(jìn)一步的發(fā)展。從代數(shù)角度出發(fā)，Ji等[17]在leader-follower結(jié)構(gòu)下得到了系統(tǒng)能控的充分必要條件是Lf和L不共享特征值。Ji Z等[18]得到了一個(gè)基于特征值的系統(tǒng)能控的充分必要條件，即對(duì)應(yīng)領(lǐng)導(dǎo)者位置的特征向量的元素不為0。從圖論刻畫(huà)的角度出發(fā)，文獻(xiàn)[17]首次提出了等價(jià)劃分的概念，此后文獻(xiàn)[19-21]利用等價(jià)劃分對(duì)不同拓?fù)錀l件下的多智能體系統(tǒng)的能控性進(jìn)行了分析。除此之外，特殊拓?fù)涞哪芸匦匝芯恳惨恢倍际菍W(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn)。Rahmani等[22]通過(guò)對(duì)無(wú)向路圖的研究發(fā)現(xiàn)了研究特殊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的能控性具有重要意義。Palangeli等[23]進(jìn)行了進(jìn)一步研究，得到了無(wú)向環(huán)圖拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)能控的相關(guān)結(jié)論。2018年Liu等[24]綜合研究了無(wú)向路圖和環(huán)圖下多智能體系統(tǒng)的能控性問(wèn)題，提出了使系統(tǒng)能控時(shí)領(lǐng)導(dǎo)者位置的選取方式。文獻(xiàn)[25]基于無(wú)向路圖和環(huán)圖研究了無(wú)向符號(hào)條件下多智能體系統(tǒng)能控性保持問(wèn)題。

可以看出，上面有關(guān)系統(tǒng)能控性的研究主要是在無(wú)向無(wú)符號(hào)拓?fù)湎逻M(jìn)行的，即個(gè)體之間的信息傳遞都是雙向的，且個(gè)體之間的聯(lián)系權(quán)重都為正值，而有向符號(hào)拓?fù)錀l件下多智能體系統(tǒng)能控性的研究成果相對(duì)較少。有向符號(hào)條件下系統(tǒng)Laplacian矩陣區(qū)別于無(wú)向無(wú)符號(hào)圖的地方主要是矩陣不再是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且矩陣的行和不再一定為零。基于以上兩點(diǎn)，許多無(wú)向無(wú)符號(hào)拓?fù)錀l件下的性質(zhì)將不再適用，這也給研究有向符號(hào)拓?fù)錀l件下多智能體系統(tǒng)的能控性帶來(lái)了困難和挑戰(zhàn)。

本文的貢獻(xiàn)主要包含以下3個(gè)方面：1)基于有向符號(hào)拓?fù)錀l件下的leader-follower結(jié)構(gòu)模型，研究發(fā)現(xiàn)該模型下增加或刪除網(wǎng)絡(luò)中特定的一類(lèi)邊對(duì)于系統(tǒng)的能控性沒(méi)有影響。2)從特殊拓?fù)淠芸匦缘慕嵌瘸霭l(fā)，得到了有向路徑拓?fù)湎孪到y(tǒng)單領(lǐng)導(dǎo)者能控的領(lǐng)導(dǎo)者位置的選取方式。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)在有向路徑中增加逆向邊不改變系統(tǒng)的能控性，而這一結(jié)果并不適用于增加順向邊的情況，有向路徑增加順向邊時(shí)系統(tǒng)的能控性取決于跟隨者節(jié)點(diǎn)中是否存在非平凡胞腔。3)基于上述有向拓?fù)渲刑囟ㄟB接不改變系統(tǒng)能控性的特點(diǎn)以及使得特殊拓?fù)淠芸氐念I(lǐng)導(dǎo)者位置的選取方式，給出了一個(gè)有向符號(hào)條件下能控復(fù)雜拓?fù)涞臉?gòu)造方式。

1 預(yù)備知識(shí)

將一個(gè)包含n個(gè)智能體的多智能體系統(tǒng)表示為G=(V,E,A)，其中，V={v1,…,vn}表示節(jié)點(diǎn)集，E?V×V表示邊集，A=(aij)∈Rn×n表示鄰接矩陣。有向邊(vi,vj)∈E表示存在一條從vi→vj的有向邊，個(gè)體之間的連接關(guān)系通過(guò)鄰接矩陣A∈Rn×n來(lái)表示，其中如果(vi,vj)∈E，那么aij≠0，否則aij=0。本文不考慮存在自環(huán)的情況。

可得

(1)

假定包含n個(gè)個(gè)體的節(jié)點(diǎn)集V可以分為一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者集Vl∈V和一個(gè)跟隨者集Vf∈V，且Vl∪Vf=V，因此便形成了一個(gè)經(jīng)典的leader-follower結(jié)構(gòu)下的網(wǎng)絡(luò)模型。不失一般性，假定前m個(gè)個(gè)體形成跟隨者集Vf={v1,…,vm}，其它個(gè)體形成領(lǐng)導(dǎo)者集Vl={vm+1,…,vn}。則上述的Laplacian矩陣可以劃分為

(2)

其中，Lf∈Rm×m，Lfl∈Rm×(n-m),Llf∈R(n-m)×m,Ll∈R(n-m)×(n-m)?；谑?1)和(2)，可得

對(duì)于跟隨者來(lái)說(shuō)

(3)

在leader-follower結(jié)構(gòu)中，領(lǐng)導(dǎo)者通過(guò)直接接收外部控制信號(hào)受到外部信號(hào)的控制，又因?yàn)轭I(lǐng)導(dǎo)者是一階積分器系統(tǒng)，因此領(lǐng)導(dǎo)者是必可控的。

定義1 leader-follower結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)能控性假定領(lǐng)導(dǎo)者接受外部控制信號(hào)后是必能控的，leader-follower結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)能控的含義是系統(tǒng)中跟隨者的狀態(tài)xf(t)可以從任意初始狀態(tài)到達(dá)期望的狀態(tài)。

定義2m-領(lǐng)導(dǎo)者能控當(dāng)使得多智能體系統(tǒng)能控時(shí)所選定的領(lǐng)導(dǎo)者的最小數(shù)量為m時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)是m-領(lǐng)導(dǎo)者能控。特別地，當(dāng)m=1時(shí)，若多智能體系統(tǒng)是能控的，此時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)是單領(lǐng)導(dǎo)者能控。

在leader-follower結(jié)構(gòu)下，為判斷系統(tǒng)的能控性，給出如下所示系統(tǒng)的能控性判據(jù)。

引理1 能控性判據(jù)[26]對(duì)于式(3)所示的多智能體系統(tǒng)，以下說(shuō)法是等價(jià)的。

1)式(3)所示的多智能體系統(tǒng)在leader-follower結(jié)構(gòu)下是能控的。

3)矩陣[sI-Lf,Lfl],s∈C或[λiI-Lf,Lfl]是滿秩的，其中C表示復(fù)數(shù)域，λi(i=1,…,m)表示對(duì)應(yīng)矩陣Lf的特征值。

從定義1可以看出，不同領(lǐng)導(dǎo)者的選取會(huì)使得系統(tǒng)的能控性不同，這也說(shuō)明有向符號(hào)圖下使得系統(tǒng)能控的領(lǐng)導(dǎo)者的選取并非任意的。

2 leader-follower結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)能控性的圖論表征

命題1給定一個(gè)有向符號(hào)拓?fù)鋱DG，其中跟隨者動(dòng)力學(xué)如式(3)所示，則leader-follower結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)的能控性不受領(lǐng)導(dǎo)者和領(lǐng)導(dǎo)者之間以及跟隨者指向領(lǐng)導(dǎo)者的連接關(guān)系的變化影響。

證明：leader-follower結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)的能控性?xún)H取決于Laplacian矩陣L分塊中的Lf和Lfl，而不受矩陣Ll和矩陣Llf的影響。在圖G中，若改變領(lǐng)導(dǎo)者與領(lǐng)導(dǎo)者之間的連接關(guān)系和從跟隨者指向領(lǐng)導(dǎo)者的連接關(guān)系，矩陣Lf和矩陣Lfl都保持不變，因此leader-follower結(jié)構(gòu)下系統(tǒng)的能控性不變。

命題1說(shuō)明了單個(gè)拓?fù)鋱D中連接關(guān)系出現(xiàn)上述兩種情況時(shí)系統(tǒng)的能控性不變，不同拓?fù)鋱D之間增加上述兩種連接關(guān)系會(huì)給系統(tǒng)的能控性帶來(lái)的影響，我們?cè)诿}2中進(jìn)行論證。

考慮leader-follower結(jié)構(gòu)下的n個(gè)有向符號(hào)圖Gi=(Vi,Ei,Ai),i=1,…,n，其中Gi有一個(gè)跟隨者集合Vfi={v1,…,vmi}和一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者集合Vli={vmi+1,…,vni}，且Vfi∪Vli=Vi,Vfi∩Vli=φ，其中子圖Gi中跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為mi和ni-mi，Ei和Ai分別表示子圖Gi的邊集和鄰接矩陣。

命題2給定一系列能控的有向符號(hào)圖Gi,i=1,…,n，分別都是能控的，且個(gè)體狀態(tài)按照鄰居協(xié)議進(jìn)行更新。若圖G=(V,E,A)按照如下的規(guī)則進(jìn)行構(gòu)造，其能控性可以保持:

3)A表示圖G中個(gè)體之間連接關(guān)系的鄰接矩陣，其中Alifj和Alilj分別表示圖G的鄰接矩陣中對(duì)應(yīng)從子圖Gj中的跟隨者指向子圖Gi中領(lǐng)導(dǎo)者的連接部分以及從對(duì)應(yīng)子圖Gj中的領(lǐng)導(dǎo)者指向子圖Gi中的領(lǐng)導(dǎo)者的連接部分，i,j=1,2,…,n，且i≠j。

命題2提供了一個(gè)通過(guò)能控有向拓?fù)渥訄D構(gòu)造復(fù)雜有向能控拓?fù)鋱D的方法，除此之外，也給出了一個(gè)保證拓?fù)鋱D能控的領(lǐng)導(dǎo)者位置選取方式。例如，如果一個(gè)給定拓?fù)鋱D可以分為多個(gè)拓?fù)渥訄D，只要在每個(gè)拓?fù)渥訄D中選擇保證每個(gè)子圖能控的領(lǐng)導(dǎo)者，且不同子圖間通過(guò)各自的領(lǐng)導(dǎo)者之間的有向邊或者跟隨者指向領(lǐng)導(dǎo)者的有向邊建立連接關(guān)系，便可以構(gòu)成一個(gè)更復(fù)雜的有向拓?fù)鋱D，此時(shí)該拓?fù)鋱D在原有領(lǐng)導(dǎo)者位置的選取下仍然是能控的。

3 基于有向符號(hào)路徑下的一類(lèi)拓?fù)涞哪芸匦苑治?/h2>

本節(jié)研究使得給定特殊有向符號(hào)拓?fù)淠芸氐某浞謼l件。有向路徑作為有向拓?fù)淅锩孀罨A(chǔ)且最簡(jiǎn)單的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，本文首先將對(duì)它的能控性問(wèn)題進(jìn)行分析研究，進(jìn)而研究更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的能控性問(wèn)題。

3.1 有向符號(hào)路徑的能控性

假定一個(gè)由n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有向路徑圖，為了便于后面的研究，將初始節(jié)點(diǎn)編號(hào)為n+1，并依次將初始節(jié)點(diǎn)后面的子節(jié)點(diǎn)從1到n進(jìn)行編號(hào)。

定理1對(duì)于有向符號(hào)路徑圖G，如果選擇路徑中的初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者，那么它對(duì)應(yīng)的多智能體系統(tǒng)是單領(lǐng)導(dǎo)者能控的。

證明：將n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有向符號(hào)路徑的Laplacian矩陣按照式(2)的分塊形式寫(xiě)作

其中，Lf∈Rn×n,Lfl∈Rn×(n-1)。構(gòu)造矩陣[λI-Lf,Lfl]∈Rn×(n+1)如下：

該矩陣是n×(n+1)階的，取該矩陣的前n-1列及最后一列元素構(gòu)成一個(gè)新矩陣Hp∈Rn×n。利用矩陣的初等列變換計(jì)算矩陣Hp的行列式

在有向符號(hào)路徑圖中，存在從vn+1到v1,v1到v2，v2到v3，…，vn-1到vn的有向邊，即系統(tǒng)中存在這些個(gè)體之間的信息傳遞，aij≠0。即|Hp|=(-1)na1na21a32…an,n-1≠0，矩陣Hp可逆且滿秩，rank(Hp)=n。由于矩陣Hp是通過(guò)矩陣[λI-Lf,Lfl]去掉第n列得到的矩陣，故rank(λI-Lf,Lfl)≥rank(Hp)=n。且[λI-Lf,Lfl]∈Rn×(n+1)，所以rank(λI-Lf,Lfl)=n，由引理1(3)可知系統(tǒng)能控。

3.2 有向路徑增加逆向邊對(duì)系統(tǒng)能控性的影響

假定一個(gè)由n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有向路徑，在上述節(jié)點(diǎn)編號(hào)下，增加逆向邊是指增加一條從節(jié)點(diǎn)vj指向節(jié)點(diǎn)vi的有向邊，其中1)跟隨者vj指向領(lǐng)導(dǎo)者vi：i=n+1,j=1,…,n或2)跟隨者vj指向跟隨者vi:i,j=1,…n，且j>i。在有向路徑中增加逆向邊，相應(yīng)的Laplacian形式如下：

其中，“*”位置的元素根據(jù)拓?fù)鋱D是否存在相應(yīng)的逆向邊，可能為零可能不為零，即

進(jìn)一步可以得到定理2。

定理2對(duì)于有向符號(hào)路徑中增加逆向邊形成的新拓?fù)鋱DG，如果選擇有向路徑中的初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者，那么它對(duì)應(yīng)的多智能體系統(tǒng)是單領(lǐng)導(dǎo)者能控的。

證明：1)假定增加的逆向邊是從跟隨者節(jié)點(diǎn)vi,i=1,…,n指向領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)，這種情況相當(dāng)于增加了從跟隨者指向領(lǐng)導(dǎo)者的有向邊，由命題1可知增加這種連接關(guān)系不改變?cè)邢到y(tǒng)的能控性，此時(shí)系統(tǒng)仍是選擇路徑初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)系統(tǒng)單領(lǐng)導(dǎo)者能控的。

2)假定增加的逆向邊是從節(jié)點(diǎn)vj指向節(jié)點(diǎn)vi,i,j=1,2,…,n且j>i。跟隨者節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)按照式(3)更新，此時(shí)的能控性與Lf和Lfl有關(guān)，利用Lf和Lfl構(gòu)造矩陣[λI-Lf,Lfl]，采用與定理1相似的思路，可以得到該矩陣是滿秩的，即rank(λI-Lf,Lfl)=n，所以該系統(tǒng)是選擇路徑初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)單領(lǐng)導(dǎo)者能控的。

通過(guò)上面的分析可以看出在有向路徑中增加逆向邊形成的新的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞哪芸匦缘葍r(jià)于未加逆向邊時(shí)有向路徑的能控性。這也給我們?cè)谂袛嘁粋€(gè)較為復(fù)雜的有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞哪芸匦詴r(shí)，提供了一種新的思路：很多網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涠伎梢钥醋魇怯捎邢蚵窂皆黾幽嫦蜻叾玫降?，如圖1所示的幾類(lèi)特殊的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹?/p>

圖1 有向路徑中增加逆向邊形成的幾類(lèi)拓?fù)鋱DFig.1 Several classes of topological graphs formed by adding reverse edges to a directed path

圖1所示的4個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都是通過(guò)在有向路徑的基礎(chǔ)上增加逆向邊(圖1中的紅色邊)得到的。以拓?fù)鋱D1b為例，拓?fù)鋱D1b是在有向路徑9→1→2→…→8的基礎(chǔ)上增加一條8→3的逆向邊形成的，此時(shí)選擇有向路徑的初始節(jié)點(diǎn)9為領(lǐng)導(dǎo)者,給定控制輸入信號(hào)，對(duì)應(yīng)的多智能體系統(tǒng)是單領(lǐng)導(dǎo)者能控的，這也進(jìn)一步印證了定理2中的結(jié)論。

由以上分析可知，在有向路徑中增加逆向邊并不會(huì)改變系統(tǒng)選擇路徑初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)系統(tǒng)單領(lǐng)導(dǎo)者能控的性質(zhì)。

3.3 有向路徑增加順向邊對(duì)系統(tǒng)能控性的影響

在有向路徑中增加順向邊時(shí)，選擇路徑初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者的情況下，利用前面的節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則，即在有向路徑的基礎(chǔ)上，增加一條從節(jié)點(diǎn)vi指向節(jié)點(diǎn)vj的有向邊或者增加一條從節(jié)點(diǎn)vn+1指向節(jié)點(diǎn)vj的有向邊，其中i,j=1,…,n，且i

其中，“*”位置的元素根據(jù)拓?fù)鋱D是否存在相應(yīng)的順向邊，可能為零也可能不為零。通過(guò)Laplacian矩陣的形式可以看出，該矩陣無(wú)法利用前面的分析方法得到選擇路徑初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)對(duì)應(yīng)多智能體系統(tǒng)是單領(lǐng)導(dǎo)者能控的結(jié)論。圖2為一個(gè)由5個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有向路徑拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，且增加了一條從v2指向v4的順向邊，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)此時(shí)系統(tǒng)的能控性與權(quán)重a32與a42的取值是否相等有關(guān)，在其他邊權(quán)重取值任意的情況下，當(dāng)a32=a42時(shí)系統(tǒng)是不

圖2 5節(jié)點(diǎn)有向路徑增加順向邊拓?fù)鋱DFig.2 5-node topology graph formed by adding a forward edge to a directed path

能控的，而當(dāng)a32≠a42時(shí)系統(tǒng)能控。這也可以得出，有向路徑增加順向邊形成的拓?fù)鋱D的能控性是不能直接確定的，根據(jù)某些邊權(quán)重取值的不同，可能導(dǎo)致不同的能控性。有向路徑增加順向邊導(dǎo)致系統(tǒng)能控性的不同可以借助圖的劃分來(lái)進(jìn)行理解，首先給出leader-follower結(jié)構(gòu)下跟隨者節(jié)點(diǎn)集的幾乎等價(jià)劃分的定義，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分析。

定義4 跟隨者節(jié)點(diǎn)集的幾乎等價(jià)劃分假定圖G=(V,E,A)是一個(gè)符號(hào)有向圖，π=πf∪πl(wèi)={C1,C2,…,Cr}∪{Cr+1,…,Cn}是圖G的一個(gè)劃分。πf={C1,C2,…,Cr}是對(duì)應(yīng)跟隨者節(jié)點(diǎn)的一個(gè)幾乎等價(jià)劃分，對(duì)任意的vs,vt∈Ci,i=1,…,r,j=1,…,r,r+1,…,n,i≠j，下列等式成立：

其中，ask和atk分別表示節(jié)點(diǎn)vk∈Cj指向vs∈Ci的有向邊權(quán)重以及vk∈Cj指向vt∈Ci的有向邊權(quán)重。

定義5 基于單領(lǐng)導(dǎo)者的跟隨者節(jié)點(diǎn)集的非平凡劃分假定π=πf∪πl(wèi)={C1,C2,…,Cr}∪{Cr+1}是圖G的一個(gè)劃分，πf={C1,C2,…,Cr}是跟隨者集的非平凡幾乎等價(jià)劃分，且Cr+1中僅包含一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者節(jié)點(diǎn)，那么稱(chēng)此時(shí)的劃分πf為基于單領(lǐng)導(dǎo)者的跟隨者節(jié)點(diǎn)集的非平凡劃分。

定義6 跟隨者特征矩陣跟隨者節(jié)點(diǎn)集Vf={v1,v2,…,vn}的一個(gè)劃分πf={C1,C2,…,Cr}的特征矩陣Pf∈Rn×r是由跟隨者節(jié)點(diǎn)形成的每個(gè)胞腔的特征向量作為其列向量形成的矩陣。矩陣Pf中的元素定義為

引理3[26]對(duì)于矩陣M∈Rn×n和P∈Rn×r，im(P)是M的不變子空間的充要條件是存在一個(gè)矩陣Q∈Rr×r滿足MP=PQ。

引理4[27]給定矩陣A∈Rn×n和B∈Rn×r，用〈A,B〉表示包含im(B)的最小A-不變子空間。矩陣對(duì)(A,B)是能控的條件是dim(〈A,B〉)=n。

定理3對(duì)于有向路徑增加順向邊形成的新拓?fù)鋱DG，如果跟隨者節(jié)點(diǎn)中存在非平凡胞腔，那么該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的多智能體系統(tǒng)是選擇初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者不能控的。

證明：因?yàn)棣衒={C1,C2,…,Cr}是圖G中跟隨者節(jié)點(diǎn)集Vf={v1,v2,…,vn}的一個(gè)幾乎等價(jià)劃分，且Pf是劃分πf的特征矩陣，根據(jù)引理3和引理4，im(Pf)是Lf的不變子空間。由于跟隨者節(jié)點(diǎn)中存在非平凡胞腔，r

由定理3可以得到若跟隨者節(jié)點(diǎn)中存在非平凡胞腔，則對(duì)應(yīng)的多智能體系統(tǒng)是不能控的。而如圖2所示，增加順向邊會(huì)增加出現(xiàn)非平凡胞腔的可能性。

4 能控復(fù)雜有向符號(hào)拓?fù)涞臉?gòu)造

在這一部分中，首先考慮將多個(gè)能控有向符號(hào)路徑圖通過(guò)特定連接關(guān)系進(jìn)行連接，形成一個(gè)能控的有向樹(shù)圖，進(jìn)而得到有向樹(shù)圖能控時(shí)的領(lǐng)導(dǎo)者選擇方式。然后將多個(gè)有向符號(hào)路徑圖加邊形成的能控拓?fù)鋱D通過(guò)特定連接關(guān)系進(jìn)行連接，形成一類(lèi)更廣泛的能控復(fù)雜有向符號(hào)拓?fù)鋱D，進(jìn)而得到該拓?fù)鋱D能控時(shí)的領(lǐng)導(dǎo)者選擇方式。

4.1 有向符號(hào)樹(shù)圖

在多個(gè)有向符號(hào)路徑間增加特殊節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系，便可以得到有向樹(shù)圖。需要特別說(shuō)明的是，之前的許多文獻(xiàn)關(guān)于有向樹(shù)圖的能控性描述都是基于選擇根節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者，系統(tǒng)單領(lǐng)導(dǎo)者能控的充要條件是不同分支上的邊權(quán)重不同。本文的研究工作將不再規(guī)定不同分支邊權(quán)重不同和選擇單領(lǐng)導(dǎo)者使得系統(tǒng)能控這兩個(gè)條件，而是通過(guò)在有向樹(shù)圖中選擇多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者，得到在任意邊權(quán)重的情況下有向樹(shù)圖能控的條件。通過(guò)命題2和定理1可以直接得到關(guān)于有向符號(hào)樹(shù)圖的推論1。

例1給定一個(gè)如圖3a所示的有向符號(hào)樹(shù)圖G表示的多智能體系統(tǒng)，該符號(hào)有向樹(shù)圖劃分為5個(gè)有向符號(hào)路徑子圖Gi,i=1,…,5，其中V1={v1,v2,v3,v4},V2={v5,v6,v7,v8},V3={v9,v10,v11}，V4={v12,v13}，V5={v14,v15}。如圖3b所示，選定的領(lǐng)導(dǎo)者集為Vl={v1,v5,v9,v12,v14}，在該領(lǐng)導(dǎo)者位置的選取方式下，根據(jù)定理1和命題2，該有向符號(hào)樹(shù)圖表示的多智能體系統(tǒng)是能控的。

圖3 14個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有向樹(shù)圖Fig.3 A directed tree graph composed of 14 nodes

4.2 一類(lèi)更廣泛的能控有向符號(hào)拓?fù)涞臉?gòu)造

除了上述多個(gè)有向符號(hào)路徑可以形成有向符號(hào)樹(shù)圖之外，我們知道許多有向拓?fù)鋱D都可以看作是在有向路徑圖或者有向路徑加邊形成的拓?fù)鋱D中增加不同拓?fù)鋱D之間的連接關(guān)系而形成的。具體來(lái)說(shuō)，前面的分析得到了有向路徑以及有向路徑加邊形成的拓?fù)淠芸氐臈l件，我們將單個(gè)有向路徑或者單個(gè)有向路徑加邊形成的拓?fù)淇醋鍪且粋€(gè)個(gè)子圖，利用前面得到的定理1～3給定使得每個(gè)子圖能控的領(lǐng)導(dǎo)者位置的選取方式，結(jié)合命題2，在不同子圖間通過(guò)領(lǐng)導(dǎo)者之間以及跟隨者指向領(lǐng)導(dǎo)者的有向邊連接形成的新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)仍是能控的結(jié)論，可以得到一類(lèi)更廣泛的能控有向符號(hào)拓?fù)洹?/p>

圖4 能控復(fù)雜有向符號(hào)拓?fù)涞臉?gòu)造過(guò)程Fig.4 The construction process of controllable complex directed signed topology

5 總結(jié)

本文研究的是基于leader-follower結(jié)構(gòu)有向符號(hào)多智能體系統(tǒng)的能控性問(wèn)題。針對(duì)leader-follower結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了有向拓?fù)湎赂淖冾I(lǐng)導(dǎo)者和領(lǐng)導(dǎo)者之間以及跟隨者指向領(lǐng)導(dǎo)者的有向邊，不改變系統(tǒng)能控性的性質(zhì)(命題1、2)，以有向路徑以及有向路徑加邊形成的新拓?fù)錇榛A(chǔ)，給出了有向路徑以及加逆向邊和順向邊時(shí)系統(tǒng)能控的條件。具體來(lái)說(shuō)，首先對(duì)有向路徑進(jìn)行了研究，得到選擇有向路徑中的初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)系統(tǒng)是單領(lǐng)導(dǎo)者能控的(定理1)。進(jìn)一步，在有向路徑的基礎(chǔ)上增加逆向邊并不改變系統(tǒng)原來(lái)的能控性(定理2)，但增加順向邊時(shí)能控性的情況比較復(fù)雜，能控性可能改變，也可能不改變，這取決于選定初始節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)，跟隨者節(jié)點(diǎn)中是否存在非平凡胞腔(定理3)。最后，在前面的基礎(chǔ)上，給出了一類(lèi)更廣泛的能控復(fù)雜有向符號(hào)拓?fù)涞臉?gòu)造方法，可以利用簡(jiǎn)單能控拓?fù)鋱D通過(guò)特殊節(jié)點(diǎn)間的連接關(guān)系快速得到一類(lèi)比較復(fù)雜的能控拓?fù)鋱D。文中利用具體的例子進(jìn)行了相關(guān)的解釋和說(shuō)明。