鄒方豪　張涵　孟良　許同樂　蘇元浩

摘要：為了研究已有最優(yōu)基選擇算法在微弱故障信號降噪方面效果差以及終端節(jié)點不易確定的問題，依據(jù)蟻群算法和小波包的相關(guān)理論，分析了小波包基選取的影響因素，對選取規(guī)則進(jìn)行了重新定義，并結(jié)合蟻群算法的全局優(yōu)化能力對新定義的終端節(jié)點坐標(biāo)集和分解層數(shù)尋優(yōu)，給出了一種基于蟻群算法的小波包基優(yōu)選方法。對比傳統(tǒng)最優(yōu)基選擇算法，新方法的收斂性能及分布性能加強(qiáng)了12.5%，在軸承的微弱故障信號降噪過程中，經(jīng)處理后的信號信噪比提高了46.7%，均方根誤差降低了20.4%，驗證了新方法的有效性和優(yōu)越性。

關(guān)鍵詞：信號降噪;小波包;最優(yōu)基選擇;代價函數(shù);蟻群算法

DOI：10.15938/j.jhust.2022.02.006

中圖分類號： TH17

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2022）02-0048-07

An Ant Colony Optimization to Optimize Selection Method of Wavelet Packet Basis

ZOU Fang-hao，ZHANG Han，MENG Liang，XU Tong-le，SU Yuan-hao

（School of Mechanical Engineering， Shandong University of Technology， Zibo 255049， China）

Abstract：In order to study the poor effect of the existing best basis selection algorithm in reducing the noise of weak fault signals and the difficulty of determining the terminal node， according to the ant colony algorithm and wavelet packet related theories， the factors affecting the selection of the wavelet packet basis are analyzed， and the selection rules are analyzed. After redefining and combining the global optimization ability of ant colony algorithm to optimize the newly defined terminal node coordinate set and decomposition level， a wavelet packet basis optimization method based on ant colony algorithm is given. Compared with the traditional best basis selection algorithm， the convergence performance and distribution performance of the new method are enhanced by 12.5%. In the process of reducing the noise of the weak fault signal of the bearing， the signal-to-noise ratio after processing is increased by 46.7%， and the root mean square error is reduced by 20.4%， verifying the effectiveness and superiority of the new method.

Keywords：signal noise reduction; wavelet packet; best base selection; cost function; ant colony optimization

0引言

在機(jī)械故障診斷過程中，對非平穩(wěn)故障信號局部特征的處理至關(guān)重要[1-3]，小波包變換（wavelet packet transform，WPT）是由Wickhauser等在小波變換的基礎(chǔ)上提出的，目前多應(yīng)用在非平穩(wěn)信號的處理當(dāng)中，能夠有效反映故障信號的局部時頻域特征[4-5]。

小波包基的選擇是小波包變換中的關(guān)鍵步驟，對WPT性能的影響很大[6]。由于小波包基數(shù)量繁多，如何選取小波包基的最佳組合使得小波包變換的性能最理想，成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。現(xiàn)如今比較成熟的最優(yōu)基選擇算法（best basis selection， BBS）是以熵為代價函數(shù)的“自下而上”的二叉樹選擇方法[7-9]，通過各節(jié)點的熵值大小來判斷終端節(jié)點，簡單高效，但隨著分解層數(shù)的變化，導(dǎo)致其終端節(jié)點數(shù)不易確定，且對微弱故障信號的降噪性能表現(xiàn)不佳。

針對目前常用BBS算法存在的缺點以及不足之處，本文提出一種以B-M風(fēng)險函數(shù)代替熵作為代價函數(shù)，并重新規(guī)定了終端節(jié)點選擇策略的新型最優(yōu)基選擇方法，利用蟻群算法（ant clony optimization， ACO）對優(yōu)化目標(biāo)尋優(yōu)，找到最合適的小波包基。

最后利用反世代距離評價指標(biāo)（inverted generational distance， IGD）驗證了所提方法的綜合性能，通過信噪比（signal-noise ratio，SNR）、均方根誤差（root mean squared error，RMSE）以及信號的快速傅里葉變換（fast fourier transform，F(xiàn)FT）圖像展示了新方法對微弱故障信號降噪的有效性和優(yōu)越性。

1小波包介紹

小波變換因其在時頻域中均能反映信號的局部特征，故被廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)信號的分解。但小波變換只針對低頻信號進(jìn)行分解，而忽略了高頻信號，對信號造成了不良影響，所以小波包分解正是為解決傳統(tǒng)小波分解所具有的此類缺點，對信號的高頻區(qū)域進(jìn)一步分解，是小波分解的拓展和延伸[10-11]。

小波包變換公式如下所示：

其中：φ（x）、ψ（x）為函數(shù)空間L（R）上的尺度函數(shù)與小波函數(shù);h、g為濾波器系數(shù)。

小波包基是從該小波包中提取的能構(gòu)成L（R）的規(guī)范正交基，小波包基有無數(shù)個，所以確定最佳小波包基對WPT有重要意義[12]。

2蟻群算法

蟻群算法是Dorigo模仿自然界中蟻群行為提出的一種隨機(jī)算法，具有簡單、高效、并行性強(qiáng)等特點，目前在智能算法領(lǐng)域運用很廣泛[13-15]。ACO的基本流程如下：在t時刻，螞蟻處于隨機(jī)結(jié)點，隨后螞蟻不斷進(jìn)行節(jié)點轉(zhuǎn)移，直到經(jīng)過的節(jié)點數(shù)t=t時停止，假設(shè)螞蟻目前處于節(jié)點i，則從節(jié)點i移動到節(jié)點j的概率為P：

3小波包基擇優(yōu)方法

3.1代價函數(shù)的選取

由于存在無數(shù)種分解小波包的方法，所以就有無數(shù)種小波包基可以組成L2（R），由此看來，所謂小波包基擇優(yōu)，指的是在小波包分解層數(shù)確定時，憑借某種“擇優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)”，根據(jù)實際需要，選取一個滿足這個標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)基。一般來說，通過定義一個代價函數(shù)來表征“擇優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)”并利用求解代價函數(shù)的最小值來尋找最優(yōu)基是可行的[17]。

3.2小波包基的選擇

BBS算法采用一種由二類節(jié)點確定一類節(jié)點的自下而上的二叉樹分解結(jié)構(gòu)，利用代價函數(shù)確定節(jié)點類型，并設(shè)一類節(jié)點為二叉樹的終端節(jié)點，子節(jié)點由二類節(jié)點確定。按照傳統(tǒng)BBS算法，小波包基的選擇是基于熵的，當(dāng)采集到的微弱故障信號中故障信號與噪聲信號的不確定性較低時，信號經(jīng)小波包處理之后的SNR較低，且容易丟失有效信號，并且由于BBS算法中的最末層節(jié)點數(shù)為2k個，故終端節(jié)點數(shù)不容易確定。將B-M風(fēng)險函數(shù)替代熵進(jìn)行小波包基的選取，同時對終端節(jié)點的選取做進(jìn)一步的規(guī)定，可有效提高小波包基選取方法的性能和信號的SNR且盡可能多的保留有效信號。

利用B-M風(fēng)險函數(shù)作為代價函數(shù)，并利用全分解結(jié)構(gòu)的小波包對其進(jìn)行訓(xùn)練。因代價函數(shù)具有可加性，所以規(guī)定：

將一類節(jié)點的坐標(biāo)納入尋優(yōu)庫中，由于不同的分解層數(shù)k會導(dǎo)致一類節(jié)點的數(shù)量不同，合理的選擇分解層數(shù)k和終端節(jié)點G對小波包基的選取起到至關(guān)重要的作用。所以引入蟻群算法，對分解層數(shù)k以及終端節(jié)點的坐標(biāo)（k，j）進(jìn)行尋優(yōu)。由終端節(jié)點和分解層數(shù)確定小波包基之后，對信號分解得到對應(yīng)的小波包系數(shù)，將B-M風(fēng)險函數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

由于ACO具有很強(qiáng)的全局搜索能力和良好的搜索并行性，所以很適合處理類似全局優(yōu)化的問題。蟻群算法優(yōu)化步驟如下：

Step1：確定變量的尋優(yōu)區(qū)間。

對于一類節(jié)點的坐標(biāo)（k，j）而言，根據(jù)規(guī)定1）、2）、3）進(jìn)行確定，尋優(yōu)限制條件為終端節(jié)點坐標(biāo)集合D內(nèi)元素個數(shù)等于一類節(jié)點數(shù)。

對于分解層數(shù)k，可利用有用信號的最小頻率來大致確定其取值范圍[19]。

小波分解的尺度與頻率的關(guān)系可以表示為：f=ff/j，其中f為尺度j對應(yīng)的偽頻率，f為采樣頻率，f為小波中心頻率。

有用信號的頻率f應(yīng)全部包含在偽頻率中，即：

并結(jié)合實際數(shù)據(jù)確定分解層數(shù)的取值范圍。

Step2：初始化蟻群系統(tǒng)。

設(shè)定蟻群系統(tǒng)的各個參數(shù)：如系數(shù)α、β、ρ及常數(shù)Q，螞蟻的數(shù)量m，信息素初始值τ，最大迭代次數(shù)，根據(jù)尋優(yōu)區(qū)間隨機(jī)確定螞蟻的初始城市位置r（集合D，分解層數(shù)k時的風(fēng)險函數(shù)值）。

Step3：根據(jù)式（2）計算螞蟻從城市i移動到城市j的概率，其中η（i，j）取差值r-r。

Step4：由式（3），式（4），式（5）對信息素濃度進(jìn)行更新。其中L為目標(biāo)函數(shù)變化量。

Step5：不斷進(jìn)行循環(huán)，直到所有螞蟻收斂同一路徑或者迭代次數(shù)達(dá)到最大為止，輸出最佳集合D及最佳分解層數(shù)k，并根據(jù)式（6）得到最優(yōu)小波包基。

4實驗驗證

仿真數(shù)據(jù)選用6205-RS號軸承內(nèi)圈故障振動數(shù)據(jù)，軸承轉(zhuǎn)速為1750r/min，采樣頻率設(shè)為12kHz，選取內(nèi)圈故障，故障點直徑為0.28mm，由參數(shù)可計算出內(nèi)圈故障特征頻率f=160Hz。根據(jù)式（9）確定k的取值范圍為k∈[3，6]，圖1為原始信號圖，表1為蟻群算法參數(shù)設(shè)置。

4.12種終端節(jié)點選取方法的對比

針對終端節(jié)點坐標(biāo)集合D與分解層數(shù)k進(jìn)行尋優(yōu)，二者之間存在相互影響，對于這樣的多目標(biāo)優(yōu)化算法，采用IGD指標(biāo)來評價算法的綜合性能，該指標(biāo)通過計算算法獲取的個體集合到每個在真實Pareto前沿面上的個體之間的最小距離和，來評價算法的收斂性能和分布性能。計算公式如下所示[20]：

式中：d（v，P）是點v到集合P之間的距離，D（P*，P）越小，算法的綜合性能越強(qiáng)。

將BBS算法與本文算法分別用ACO-IGD算法進(jìn)行測試，ACO參數(shù)如表1所示，測試次數(shù)為50次，可分別得到50個非占優(yōu)面，表2為2種方法在螞蟻數(shù)m=100及螞蟻數(shù)m=200時的非占優(yōu)面的IGD均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及運算時間均值的對比，圖2為BBS算法與本文算法的平均IGD迭代演化曲線，圖3為50次測試最佳IGD非占優(yōu)面分布圖。

由圖2可以看出，BBS算法曲線在迭代350次之后逐漸趨于平穩(wěn)，而本文算法在迭代200次后趨于平穩(wěn)，并且在迭代次數(shù)到達(dá)150次之前，本文算法的曲線斜率明顯大于BBS算法，綜合來看，本文所提算法在收斂性上優(yōu)于BBS算法。

由圖3可知，本文算法的非占優(yōu)面均優(yōu)于BBS算法得到的非占優(yōu)面，說明本文算法的分布性能較好。

由表2可以看出，在m=100及m=200時本文算法在非占優(yōu)面的IGD均值和標(biāo)準(zhǔn)差都小于BBS算法。

綜上，本文算法在收斂性與分布性等綜合性能上優(yōu)于BBS算法，通過計算得出，相比于BBS算法改進(jìn)了12.5%，但在運算時間上BBS算法較快于本文算法，原因主要在于本文算法增加了終端節(jié)點的判定步驟。

4.2算法在滾動軸承故障信號降噪方面的性能對比

根據(jù)3.2中所述的規(guī)定1）～4）以及step1～5可以得到如圖4所示的尋優(yōu)結(jié)果。

由圖中可以看出，分解層數(shù)k=4，終端節(jié)點坐標(biāo)集合D編號為3時，目標(biāo)函數(shù)值最小，根據(jù)式（6）可知，最優(yōu)小波包基在此處取得，這時的小波包降噪效果最好。其中，編號為3的集合為D：

最優(yōu)基結(jié)構(gòu)如圖5（a）所示，圖5（b）為分解層數(shù)k=4時BBS算法得到的最優(yōu)基結(jié)構(gòu)。

從圖6可以看出，BBS算法在160Hz頻率下的故障特征并不明顯，且信號毛刺較多，降噪效果一般;本文算法在160Hz下有明顯的故障特征，信號平滑，降噪效果好。

利用SNR和RMSE值表征降噪效果，可反映出本文方法相比于BBS算法的優(yōu)勢。表3為利用本文方法以及BBS算法進(jìn)行小波包基擇優(yōu)后的小波包降噪信號SNR和RMSE值對比。其中SNR的計算公式為：

從表3可以看出，本文算法相較于BBS算法，RMSE更低，SNR更高，說明新方法能更好的保留原始信號特征，降噪效果更明顯，進(jìn)而反映出本文方法對于小波包基優(yōu)選的優(yōu)越性和有效性。

5結(jié)論

BBS算法在處理微弱故障信號時易丟失有效信號，并且隨著分解層數(shù)的改變，最末端節(jié)點數(shù)難以確定且終端節(jié)點的選取存在隨機(jī)性。本文針對BBS算法的不足，做了以下改進(jìn)：

1）利用B-M風(fēng)險函數(shù)作為代價函數(shù)進(jìn)行小波包基的選取，能夠在改善SNR與保留原始信號能量之間適當(dāng)權(quán)衡。

2）將分解層數(shù)與終端節(jié)點的選取相關(guān)聯(lián)，確定優(yōu)化目標(biāo)，并提出一種終端節(jié)點的選取方法，引入蟻群算法來對優(yōu)化目標(biāo)尋優(yōu)，找出最優(yōu)分解層數(shù)與最優(yōu)終端節(jié)點坐標(biāo)集合。

通過IGD指標(biāo)表明本文算法在綜合性能上優(yōu)于BBS算法，通過降噪FFT結(jié)果圖與SNR、RMSE對比表看出本文算法在降噪性能方面也優(yōu)于BBS算法，說明本文所提算法是有效的。

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（編輯：溫澤宇）