有關(guān)全等三角形問題的易錯(cuò)點(diǎn)剖析

張偉

全等三角形及其應(yīng)用是平面幾何的重要內(nèi)容之一.它涉及兩個(gè)三角形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.不少同學(xué)在求解全等三角形問題時(shí)，由于對(duì)概念、性質(zhì)和判定條件的理解不清或?qū)栴}考慮不全面，往往會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.對(duì)此，筆者對(duì)全等三角形問題中的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了歸納，以期同學(xué)們能夠從中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，避免犯類似的錯(cuò)誤.

錯(cuò)解之一：對(duì)應(yīng)關(guān)系識(shí)別有誤

識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是破解全等三角形問題的重要步驟.許多同學(xué)在解題過程中，常常因不能正確地找出全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，致使解題出錯(cuò).在復(fù)雜的圖形中尋找全等三角形的對(duì)應(yīng)元素時(shí)，一定要將全等三角形分離出來，能重合的元素才是對(duì)應(yīng)元素.

例1如圖1，已知在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，AC=20cm；而在△DEF中，∠D=50°，∠E=60°，DE=20 cm，試問：△ABC與△DEF是否為全等三角形？請(qǐng)說明理由.

所以∠F=180°-50°-60°=70°.

又因?yàn)樵凇鰽BC中，∠A=70°，∠B=60°，

所以∠A=∠F，∠B=∠E，

又因?yàn)锳C=DE=20，

所以△ABC≌△DEF.

剖析：出錯(cuò)的主要原因是對(duì)應(yīng)關(guān)系識(shí)別有誤.在△ABC中，AC是∠B的對(duì)邊，在△DEF中，DE是∠F的對(duì)邊，AC的對(duì)應(yīng)邊為DF，而不是DE，故而AC=DE這一已知條件無法作為判定△ABC與△DEF全等的條件.

正解：△ABC與△DEF不是全等三角形.

如圖1所示，在△ABC中，∠B對(duì)應(yīng)AC，在△DEF中，∠E對(duì)應(yīng)FD，AC=DE≠FD，∠B=∠E≠∠F，由此可知△ABC與△DEF相似，但并不全等.

評(píng)注：兩邊對(duì)應(yīng)相等，是兩個(gè)三角形全等的重要條件.但相等的兩邊不一定就是相等兩角的對(duì)邊，故而只相等不對(duì)應(yīng)的兩邊，并不能用作判定兩個(gè)三角形全等的條件.

錯(cuò)解之二：忽略定理成立的條件

在利用全等三角形的判定定理去判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，很多同學(xué)常常忽略或篡改定理成立的條件，在解題中運(yùn)用的某個(gè)條件并不是所證的兩個(gè)三角形的邊或內(nèi)角，故而造成錯(cuò)解.證明三角形全等，要根據(jù)三角形全等的判定方法去尋找邊與角對(duì)應(yīng)相等的關(guān)系.

例2如圖2所示，設(shè)∠QMN=∠1，∠QMP=∠2，∠QOP=∠3，∠QON=∠4.已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：MP=MN.

錯(cuò)證：在△MOP和△MON中，∠1=∠2，MO=MO，∠3=∠4，

所以在△MOP≌△MON，所以MP=MN.

剖析：上述證明之所以出錯(cuò)，是因?yàn)楹鲆暳巳热切闻卸ǘɡ沓闪⒌臈l件，解題過程利用的是三角形的邊和三角形的外角，而不是三角形的內(nèi)角.題目中的∠3和∠4恰好是△MOP和△MON的外角，并非內(nèi)角，故而要證明△MOP≌△MON，不能直接利用∠3=∠4，但可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化，先推導(dǎo)出∠MOP=∠MON，再利用全等三角形判定定理去證明.

正解：因?yàn)椤?=∠4，且∠MOP，∠MON分別是∠3，∠4的補(bǔ)角，

所以∠MOP=∠MON.

在△MOP和△MON中，∠1=∠2，

MO=MO，∠MOP=∠MON，

所以△MOP≌△MON，

所以MP=MN.

評(píng)注：全等三角形的判定定理實(shí)質(zhì)上利用的是三角形的邊和三角形的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)等量關(guān)系，同學(xué)們在證明時(shí)切不可忽略或隨意篡改全等三角形判定定理成立的條件.

錯(cuò)解之三：判定方法運(yùn)用不當(dāng)

不少同學(xué)在判斷兩個(gè)三角形是否全等時(shí)，常因判定方法運(yùn)用不當(dāng)，導(dǎo)致求證錯(cuò)誤.判定兩個(gè)三角形為全等三角形的方法有角邊角定理（ASA）、邊角邊定理（SAS）、角角邊定理（AAS）、邊邊邊定理（SSS）以及斜邊、直角邊（HL）定理等.同學(xué)們要牢固掌握這五種方法，切忌憑空臆造判定方法.

例3如圖3，已知AC與BD相交于E，且AD=BC，∠C=∠D，求證：AC=BD.

錯(cuò)解：連接AB .

由題意可知，在△ABD和△BAC中，

因?yàn)锳D=BC，AB為公共邊，∠C=∠D，

所以△ABD≌△BAC（SSA），

所以AC=BD.

剖析：上述錯(cuò)誤在于判定定理運(yùn)用不當(dāng)，臆造了“邊邊角（SSA）”判定三角形全等.事實(shí)上，在兩個(gè)三角形中，兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形，然而兩條邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形.此題中，要證明AC=BD，只需要證明AE+EC=BE+ED即可.由已知條件∠AED=∠BEC，∠C=∠D，AD=BC，再根據(jù)“角角邊AAS”判定定理，很容易得出AE=BE，DE= CE，即可推出AC=BD.

正解：在△AED和△BEC中，

因?yàn)椤螦ED=∠BEC，∠C=∠D，AD=BC，

所以△AED≌△BEC（AAS），

所以AE=BE，DE=CE，

即AE+EC=BE+ED.

又因?yàn)锳C=AE+EC，BD=BE+ED，

所以AC=BD.

評(píng)注：用“邊邊角”證明三角形全等是一類常見的錯(cuò)誤，利用兩條邊和一個(gè)角證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)是“兩邊的夾角（SAS）”，才能證明三角形全等成立.