賈飛達(dá)，韓宏偉，溫昶煊

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2.深空探測(cè)自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

0 引 言

近地空間是人類進(jìn)行通訊、監(jiān)測(cè)、導(dǎo)航等活動(dòng)的重要位置，針對(duì)低軌目標(biāo)的精確攔截是保證近地空間安全的有效手段。近地空間中時(shí)刻存在著大量飛行器，當(dāng)發(fā)現(xiàn)已廢棄的或?qū)ψ陨戆踩嬖谕{的空間目標(biāo)時(shí)，需要及時(shí)攔截、清除。快速可靠地確定發(fā)射窗口是實(shí)現(xiàn)低軌目標(biāo)攔截的重要前提。

針對(duì)一般任務(wù)的發(fā)射窗口設(shè)計(jì)問(wèn)題，目前已有大量的研究。李海陽(yáng)等、李革非等研究了兩航天器交會(huì)對(duì)接問(wèn)題中的可交會(huì)發(fā)射窗口。首先分別考慮軌道光照角和太陽(yáng)抑制角約束設(shè)計(jì)目標(biāo)器和追蹤器的發(fā)射窗口，之后根據(jù)軌道共面約束和交會(huì)對(duì)接發(fā)射時(shí)間間隔要求確定交會(huì)對(duì)接窗口。賀邵飛等基于固定的火箭飛行地心角和飛行時(shí)間，根據(jù)發(fā)射點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)位置關(guān)系，利用球面幾何原理，提出了快速響應(yīng)太陽(yáng)同步軌道及發(fā)射窗口的解析計(jì)算方法。方虎濤對(duì)彈道導(dǎo)彈的發(fā)射窗口進(jìn)行研究，考慮月球夾角、太陽(yáng)光照射等條件，在二體問(wèn)題中設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移軌道，在此基礎(chǔ)上考慮攝動(dòng)力保證發(fā)射窗口精度。周文勇等通過(guò)搜索與解算上面級(jí)飛行姿態(tài)來(lái)滿足長(zhǎng)時(shí)間滑行期間的熱控、地面測(cè)控等多種約束條件，將發(fā)射窗口計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換為飛行姿態(tài)設(shè)計(jì)問(wèn)題，提出了上面級(jí)發(fā)射窗口計(jì)算的方法與流程。Petropoulosr等提出了一種較有效的基于形狀的搜索算法，該算法通過(guò)指數(shù)函數(shù)來(lái)描述探測(cè)器的飛行軌跡，從而進(jìn)行發(fā)射時(shí)機(jī)搜索。上述對(duì)發(fā)射窗口的研究大多是在任務(wù)準(zhǔn)備時(shí)間充足，充分考慮光照、共面等約束條件下進(jìn)行設(shè)計(jì)，未考慮特定目標(biāo)的攔截約束，在目標(biāo)威脅較大、需要盡快攔截清除時(shí)難以應(yīng)用。

針對(duì)導(dǎo)彈目標(biāo)攔截的窗口設(shè)計(jì)問(wèn)題，Yin等針對(duì)飛航式的反艦導(dǎo)彈目標(biāo)，深入研究了?；揽諏?dǎo)彈發(fā)射時(shí)間窗口計(jì)算問(wèn)題，其針對(duì)的攔截目標(biāo)一般為近程低空導(dǎo)彈，對(duì)應(yīng)的發(fā)射窗口較窄。荊武興等提出了一種基于迭代最小二乘的飛行方案及發(fā)射時(shí)間窗口的快速搜索設(shè)計(jì)算法，需要對(duì)初始狀態(tài)進(jìn)行猜測(cè)，且得到的窗口為離散點(diǎn)。吳啟星等對(duì)彈道導(dǎo)彈中段攔截的攔截窗口進(jìn)行研究，對(duì)采用最小能量彈道飛行的攔截彈道導(dǎo)彈能夠攔截目標(biāo)的最早和最晚攔截時(shí)刻進(jìn)行求解，分析了射程、飛行時(shí)長(zhǎng)和攔截時(shí)刻的關(guān)系，其研究中的攔截彈同樣為在軌攔截器。梁子璇等提出一種針對(duì)高超聲速目標(biāo)攔截的末段交戰(zhàn)窗口快速生成方法，但是其研究針對(duì)的是末端交戰(zhàn)位置范圍窗口，與本文定義有所差異。Hu等基于攔截彈和目標(biāo)彈道導(dǎo)彈的彈道平面共面的假設(shè)，通過(guò)簡(jiǎn)單判定攔截彈的攔截高界、攔截低界、最大攔截斜距、最小攔截斜距這四個(gè)參數(shù)與目標(biāo)彈和發(fā)射點(diǎn)的實(shí)時(shí)高度和斜距之間的大小關(guān)系，確定對(duì)目標(biāo)彈的攔截最早時(shí)間和最晚時(shí)間，其應(yīng)用的平面模型只能給出共面情況下的攔截時(shí)間窗口。

針對(duì)航天器目標(biāo)攔截的窗口設(shè)計(jì)問(wèn)題，Duan基于航天器二維可達(dá)域，首先考慮等待時(shí)長(zhǎng)約束計(jì)算目標(biāo)軌道上的可達(dá)相位范圍，然后基于攔截器燃料約束，進(jìn)一步判定位于攔截器可達(dá)域內(nèi)的目標(biāo)軌道可達(dá)相位范圍，最后根據(jù)總?cè)蝿?wù)時(shí)長(zhǎng)的約束得到最終的交會(huì)窗口。然而，該方法僅適用于天基攔截問(wèn)題，無(wú)法求解面向航天器目標(biāo)的地基發(fā)射攔截問(wèn)題。利用可達(dá)范圍和目標(biāo)軌道幾何關(guān)系的發(fā)射窗口計(jì)算方法可以有效解決此類問(wèn)題。

近年來(lái)，可達(dá)范圍的概念被廣泛地用于航天器軌道機(jī)動(dòng)、復(fù)雜任務(wù)規(guī)劃等領(lǐng)域。由于可達(dá)范圍給定了所有的可行解集，且可通過(guò)離線計(jì)算實(shí)現(xiàn)預(yù)先存儲(chǔ)，在實(shí)現(xiàn)自主、快速任務(wù)規(guī)劃時(shí)具有顯著優(yōu)勢(shì)。1960年，Beckner首先對(duì)地面發(fā)射的彈道導(dǎo)彈可達(dá)范圍進(jìn)行研究，提出可達(dá)范圍的概念。21世紀(jì)以來(lái)，有學(xué)者考慮燃料約束對(duì)時(shí)間自由的航天器單脈沖可達(dá)范圍進(jìn)行分析，分別給出了二維軌道面和三維空間中航天器的可達(dá)范圍計(jì)算方法。Qiao等對(duì)采用行星借力實(shí)現(xiàn)小天體探測(cè)的可達(dá)目標(biāo)范圍進(jìn)行研究，有效地降低了發(fā)射能量和總速度增量。石昊等基于變參數(shù)的自適應(yīng)同倫算法，提出一種適用于橢圓參考軌道的計(jì)算方法，計(jì)算航天器軌道初值不確定造成的可達(dá)區(qū)域。但是現(xiàn)有的可達(dá)范圍計(jì)算方法針對(duì)的目標(biāo)絕大多數(shù)都是在軌航天器，且一般為單脈沖可達(dá)范圍，對(duì)于火箭在燃料約束下的空間可達(dá)范圍研究較少。

因此，針對(duì)面向低軌目標(biāo)攔截的發(fā)射窗口計(jì)算問(wèn)題，提出一種基于上升軌跡可達(dá)范圍的求解方法。該方法的具體步驟如下：首先，以上升時(shí)長(zhǎng)為性能指標(biāo)，得到上升到特定高度的最長(zhǎng)和最短時(shí)間；然后，將性能指標(biāo)切換為航程，可以得到不同上升時(shí)長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)的攔截范圍；其次，根據(jù)目標(biāo)攔截器的星下點(diǎn)與最大可攔截范圍的關(guān)系對(duì)發(fā)射窗口進(jìn)行初篩，得到若干準(zhǔn)發(fā)射窗口，可以大大減小精確窗口規(guī)劃的計(jì)算量；最后，通過(guò)精確判定準(zhǔn)發(fā)射窗口中目標(biāo)星下點(diǎn)與每一上升時(shí)長(zhǎng)可達(dá)范圍子環(huán)的位置關(guān)系，能夠快速得到準(zhǔn)確的發(fā)射窗口。

本文提出的基于可達(dá)范圍的面向低軌目標(biāo)攔截的發(fā)射窗口計(jì)算方法，根據(jù)目標(biāo)的高度信息即可得到攔截器精確可達(dá)范圍，然后根據(jù)目標(biāo)的星下點(diǎn)信息可得多段精確發(fā)射窗口，解決了考慮三維運(yùn)動(dòng)的地基發(fā)射攔截器對(duì)在軌目標(biāo)的攔截問(wèn)題。仿真結(jié)果表明了該方法的有效性。

1 上升軌跡動(dòng)力學(xué)模型

從地表上升的攔截任務(wù)要分別經(jīng)歷氣動(dòng)力耦合的大氣上升段和弱攝動(dòng)力下的空間軌道機(jī)動(dòng)段，屬于跨域大范圍復(fù)雜約束機(jī)動(dòng)彈道規(guī)劃問(wèn)題。

針對(duì)整個(gè)階段的彈道規(guī)劃問(wèn)題，考慮發(fā)動(dòng)機(jī)推力和地球引力作用，在球坐標(biāo)系下建立彈道規(guī)劃的動(dòng)力學(xué)模型。攔截器上升段動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：=[,,,,,,]分別為徑向距離、經(jīng)度、緯度、速度、飛行路徑角、航向角和質(zhì)量;控制量=[,,]分別為攻角、傾側(cè)角和推力;為地球引力常數(shù);為發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣速度;為攔截器所受阻力，計(jì)算公式為

(2)

式中：為大氣密度;為攔截器參考面積;為攔截器本身的阻力系數(shù)。

地球大氣密度在地面時(shí)最大，隨高度升高而逐漸減小，大氣密度一般在距離地面130 km高度以上時(shí)可以被忽略。在此，大氣近似應(yīng)用指數(shù)模型，具體形式為

=e-

(3)

式中：=1225，為地球表面大氣密度；=17100為大氣密度指數(shù)參數(shù)；為距離地面高度。

2 上升軌跡可達(dá)范圍計(jì)算方法

上升軌跡可達(dá)范圍為攔截器在給定控制和飛行時(shí)長(zhǎng)約束下能夠到達(dá)的空間范圍，記為。設(shè)參考坐標(biāo)系為地心固連系，火箭垂直上升到達(dá)大氣層邊界后，一級(jí)助推繼續(xù)推進(jìn)至其燃料用盡后，二級(jí)助推繼續(xù)推進(jìn)至燃料全部消耗完畢，發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，攔截器滑行至目標(biāo)附近進(jìn)行追趕攔截等操作。

的求解包含兩類：(1)固定飛行時(shí)長(zhǎng)的上升軌跡可達(dá)范圍;(2)固定高度的上升軌跡可達(dá)范圍。針對(duì)第1類，記攔截器在固定飛行時(shí)長(zhǎng)的可達(dá)范圍求解問(wèn)題(,)，其中是初始時(shí)刻，為末端時(shí)刻。針對(duì)第(2)類，記給定高度攔截器在一定飛行時(shí)長(zhǎng)范圍內(nèi)的可達(dá)范圍求解問(wèn)題(,)。要求解區(qū)域，需確定其邊界?。

求解上升軌跡可達(dá)范圍的邊界可轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題，即特定性能指標(biāo)函數(shù)下的最優(yōu)飛行彈道，可以用經(jīng)典的尋優(yōu)算法進(jìn)行求解。由于偽譜法是目前應(yīng)用最廣且算法魯棒性最好的一類直接方法，本文采用文獻(xiàn)[18]中的自適應(yīng)偽譜法計(jì)算攔截器的上升軌跡。

記=-為攔截器從起飛至實(shí)現(xiàn)目標(biāo)攔截的飛行時(shí)長(zhǎng)，兩類問(wèn)題中涉及的性能指標(biāo)包括：以飛行時(shí)長(zhǎng)為性能指標(biāo)=；以末端高度為性能指標(biāo)=；以攔截器飛行航程為性能指標(biāo)=。

2.1 固定飛行時(shí)長(zhǎng)的上升軌跡可達(dá)范圍

針對(duì)問(wèn)題(,)，其飛行時(shí)長(zhǎng)為定值。固定飛行時(shí)長(zhǎng)的上升軌跡可達(dá)范圍如圖1所示，其中和分別為攔截器能夠到達(dá)的最小和最大高度。

圖1 特定飛行時(shí)長(zhǎng)可達(dá)范圍剖面Fig.1 Profile of the reachable domain with a fixed flight duration

第一步即要確定攔截器能夠到達(dá)的高度范圍，此時(shí)性能指標(biāo)選取為末端高度，記為

(4)

其中，“max”對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)最大，“min”對(duì)應(yīng)性能指標(biāo)最小，下文中此類表述含義類似，不再重復(fù)說(shuō)明。求解1(,)能夠得到固定時(shí)攔截器能夠到達(dá)的高度范圍為∈[,]。

第二步為針對(duì)高度可達(dá)范圍∈[,]，求解每個(gè)高度在飛行時(shí)長(zhǎng)為時(shí)的平面可達(dá)范圍，此時(shí)切換性能指標(biāo)為攔截器飛行航程，記為

2(,,):

(5)

式中:為末端位置;為地球半徑。

針對(duì)每一個(gè)高度求解2(,,)，即可得到每個(gè)高度對(duì)應(yīng)的航程范圍∈[,]，將末端位置轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，即可得到飛行時(shí)長(zhǎng)固定時(shí)攔截器能夠到達(dá)的高度范圍及不同高度的環(huán)形經(jīng)緯度范圍。

2.2 固定高度的上升軌跡可達(dá)范圍

圖2 固定高度攔截器可達(dá)范圍Fig.2 Reachable domain of the interceptor at a fixed height

針對(duì)問(wèn)題(,)，其末端飛行高度為定值。首先，需確定攔截器能夠到達(dá)高度的飛行時(shí)長(zhǎng)范圍，也即以末端高度為約束，性能指標(biāo)選取為飛行時(shí)長(zhǎng)，記為

(6)

求解1(,)得到達(dá)到固定高度時(shí)攔截器的飛行時(shí)長(zhǎng)范圍為∈[,]。

第二步，針對(duì)飛行時(shí)長(zhǎng)范圍∈[,]，求解能夠到達(dá)的環(huán)形平面經(jīng)緯度范圍。此問(wèn)題中，無(wú)需再對(duì)進(jìn)行劃分，因?yàn)榄h(huán)形內(nèi)外邊界對(duì)應(yīng)最小飛行時(shí)長(zhǎng)的最短航程末端位置和最大飛行時(shí)長(zhǎng)的最大航程末端位置，記為

2(,,):

(7)

求解2(,,)得到攔截器最大和最小航程對(duì)應(yīng)的上升軌跡，進(jìn)而通過(guò)上升軌跡末端位置極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換確定固定高度的上升軌跡可達(dá)范圍。

3 基于可達(dá)范圍的發(fā)射窗口規(guī)劃算法

發(fā)射窗口是指攔截器從地面起飛能夠攔截到目標(biāo)飛行器的起飛時(shí)刻集合。針對(duì)發(fā)射窗口計(jì)算問(wèn)題，由于其是給定任務(wù)執(zhí)行時(shí)間區(qū)間的關(guān)鍵依據(jù)，因此，發(fā)射窗口必須具備計(jì)算效率高、窗口表征參數(shù)具體等特點(diǎn)，為任務(wù)快速確定最佳的發(fā)射時(shí)間。同樣在地心固連系下研究發(fā)射窗口的計(jì)算問(wèn)題，對(duì)大氣上升、大氣層外空間攔截整個(gè)過(guò)程進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)，得到發(fā)射窗口。

在第2節(jié)的基礎(chǔ)上，當(dāng)目標(biāo)軌跡與可攔截區(qū)域滿足一定的位置關(guān)系時(shí)，目標(biāo)可攔截，故對(duì)目標(biāo)星下點(diǎn)與中每個(gè)時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的可達(dá)范圍進(jìn)行位置判斷，可以得到針對(duì)目標(biāo)攔截的發(fā)射窗口。

發(fā)射窗口計(jì)算的過(guò)程中，攔截器可達(dá)范圍的計(jì)算與特定目標(biāo)的相位信息無(wú)關(guān)，可以預(yù)先離線進(jìn)行，只需在發(fā)現(xiàn)威脅目標(biāo)時(shí)對(duì)目標(biāo)實(shí)時(shí)星下點(diǎn)與預(yù)先得到的可攔截范圍進(jìn)行位置判定，即可快速得到針對(duì)特定目標(biāo)的發(fā)射窗口。

為了清晰直觀地說(shuō)明發(fā)射窗口求解過(guò)程，此處以高度為圓軌道上的攔截器為目標(biāo)，將三維空間中的可攔截性判定轉(zhuǎn)換為固定高度的二維攔截判定，后續(xù)對(duì)橢圓軌道上目標(biāo)攔截的發(fā)射窗口進(jìn)行求解時(shí)，只需增加對(duì)不同高度攔截范圍的判定即可。將發(fā)射窗口定義為

={|(,)∈(,)}

(8)

式中：(,)為時(shí)刻發(fā)射的攔截器在時(shí)刻到達(dá)目標(biāo)高度的末端位置。(,)的求解過(guò)程在第2節(jié)已經(jīng)給出。

對(duì)于低軌目標(biāo)而言，攔截器到達(dá)此高度時(shí)對(duì)應(yīng)的末端攔截區(qū)域包絡(luò)一般不大。故先對(duì)所關(guān)注的時(shí)間段內(nèi)發(fā)射窗口進(jìn)行初篩，初步確定準(zhǔn)發(fā)射窗口，可以大大減小精確窗口規(guī)劃的計(jì)算量。

{[1,2]},∈{1,2,…,}

(9)

式中:1表示每次穿越時(shí)間區(qū)間的左邊界;2表示每次穿越時(shí)間區(qū)間的右邊界。

這個(gè)時(shí)間區(qū)間為星下點(diǎn)穿越最大可達(dá)范圍的時(shí)間，最大飛行時(shí)長(zhǎng)外邊界的選取保證了初篩過(guò)程包含所有星下點(diǎn)穿越的情況?？紤]到最大可達(dá)范圍包含的區(qū)域半徑從內(nèi)到外對(duì)應(yīng)的飛行時(shí)長(zhǎng)不同，初篩過(guò)程應(yīng)充分考慮不同飛行時(shí)長(zhǎng)的影響，以保證精確發(fā)射窗口包含于準(zhǔn)窗口中。根據(jù)式(6)得到的上升到目標(biāo)高度的飛行時(shí)長(zhǎng)范圍∈[,]，可以求解得到初篩后的攔截器準(zhǔn)發(fā)射窗口′為

(10)

式中

′=[1-,2-],∈{1,2,…,}

上述發(fā)射窗口初篩過(guò)程可以在后續(xù)精確發(fā)射窗口計(jì)算時(shí)極大程度地減少明顯不屬于發(fā)射窗口時(shí)間段的冗余計(jì)算，在保證發(fā)射窗口精度的基礎(chǔ)上大大提高計(jì)算效率。

在窗口初篩的基礎(chǔ)上計(jì)算精確發(fā)射窗口。目標(biāo)星下點(diǎn)軌跡上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻均不同，而可達(dá)范圍半徑由內(nèi)到外對(duì)應(yīng)的攔截器飛行時(shí)長(zhǎng)也逐漸變化，所以需對(duì)飛行時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行離散，針對(duì)每一離散點(diǎn)判斷星下點(diǎn)與可達(dá)范圍的關(guān)系，從而得到精確發(fā)射窗口。

根據(jù)任務(wù)窗口精度要求，將飛行時(shí)長(zhǎng)區(qū)間[,]平均取+1個(gè)點(diǎn)，形成的飛行時(shí)長(zhǎng)集合記為，則

=[,+,+2,…,+

(-1),]=[,,…,F(+1)]

(11)

式中：=(-)。

求解式(5)針對(duì)固定飛行時(shí)長(zhǎng)可達(dá)范圍計(jì)算問(wèn)題2(,,)，可以得到目標(biāo)高度處中每一飛行時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的環(huán)形可達(dá)范圍，中所有元素對(duì)應(yīng)的+1個(gè)可達(dá)范圍組成的集合為

(12)

其中為飛行時(shí)長(zhǎng)F對(duì)應(yīng)的環(huán)形可達(dá)范圍。

需要注意的是，對(duì)于攔截器飛行時(shí)長(zhǎng)邊界和，比更短和比更長(zhǎng)飛行時(shí)長(zhǎng)的攔截器均無(wú)法到達(dá)處，所以飛行時(shí)長(zhǎng)為和對(duì)應(yīng)的最小航程和最大航程上升軌跡重合，其可達(dá)范圍為一條閉合曲線。圖3給出了中部分元素的位置關(guān)系，其中≤。

圖3 各可達(dá)范圍子環(huán)位置關(guān)系Fig.3 Positional relationship of each reachable domain

中各可達(dá)范圍子環(huán)與鄰近子環(huán)可能存在交叉區(qū)域。由圖3可以看出，目標(biāo)星下點(diǎn)穿越最大可攔截范圍的位置不同，所以星下點(diǎn)在準(zhǔn)發(fā)射窗口′內(nèi)不一定能夠穿過(guò)每一個(gè)可達(dá)范圍子環(huán)。

在初篩窗口的基礎(chǔ)上進(jìn)行精確發(fā)射窗口求解。如圖3中目標(biāo)星下點(diǎn)與各子環(huán)關(guān)系所示，對(duì)星下點(diǎn)軌跡加密，得到更靠近子環(huán)邊界的星下點(diǎn)，進(jìn)而保證發(fā)射窗口邊界的準(zhǔn)確性。以第一段準(zhǔn)發(fā)射窗口為例，若在時(shí)間區(qū)間

[3,4]+F,=1,2,…,+1

(13)

內(nèi)，目標(biāo)星下點(diǎn)剛好位于可達(dá)子環(huán)中，則第一段準(zhǔn)發(fā)射窗口對(duì)應(yīng)的精確發(fā)射窗口為

(14)

需要注意的是，考慮到星下點(diǎn)穿越最大范圍的位置不同，上述+1個(gè)時(shí)間區(qū)間中，一部分可能為空集。如圖3所示，目標(biāo)星下點(diǎn)軌跡能夠穿過(guò)的可達(dá)范圍子環(huán)為,≥+1，此時(shí)，有且僅有[3,4]≠?。

類似地，可以求得段準(zhǔn)發(fā)射窗口對(duì)應(yīng)的精確發(fā)射窗口，進(jìn)而得到內(nèi)精確發(fā)射窗口為

(15)

4 實(shí)例仿真與分析

針對(duì)特定目標(biāo)攔截的過(guò)程中，一般整個(gè)飛行過(guò)程持續(xù)較短，故在窗口規(guī)劃過(guò)程中忽略地球自轉(zhuǎn)對(duì)上升過(guò)程的影響，且忽略目標(biāo)攔截器受到的除中心引力外的各種攝動(dòng)影響。選取攔截器為三級(jí)火箭，其各級(jí)參數(shù)如表1所示。

表1 三級(jí)攔截器參數(shù)Table 1 Three-stage interceptor parameters

4.1 固定飛行時(shí)長(zhǎng)的上升軌跡可達(dá)范圍

首先，針對(duì)不同高度處攔截器的可達(dá)范圍進(jìn)行研究。假設(shè)攔截器飛行時(shí)長(zhǎng)固定，針對(duì)不同飛行時(shí)長(zhǎng)的攔截器可達(dá)范圍為固定時(shí)長(zhǎng)可達(dá)范圍的并集，所以此處以固定為例進(jìn)行不同高度處可達(dá)范圍計(jì)算說(shuō)明。

在飛行時(shí)長(zhǎng)固定的情況下，性能指標(biāo)設(shè)置為末端飛行高度，即可得到攔截器在此飛行時(shí)長(zhǎng)下能夠到達(dá)的高度范圍。針對(duì)不同高度處固定飛行時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的可達(dá)范圍，切換性能指標(biāo)為航程，進(jìn)一步得到航程最大和航程最小分別對(duì)應(yīng)的特定高度處攔截器可達(dá)最遠(yuǎn)和最近位置。圖4給出了飛行時(shí)長(zhǎng)為400 s和600 s時(shí)攔截器可達(dá)范圍隨高度的變化。

圖4 特定飛行時(shí)長(zhǎng)不同高度可達(dá)范圍Fig.4 Reachable domain for given flight duration and different altitudes

4.2 固定目標(biāo)高度的上升軌跡可達(dá)范圍

考慮固定高度=2000 km的上升軌跡可達(dá)范圍。首先，確定能夠到達(dá)此高度的攔截器飛行時(shí)長(zhǎng)范圍，故以飛行時(shí)長(zhǎng)為性能指標(biāo)，末端高度為終端約束，通過(guò)求解式(6)，可以得到攔截器能夠上升到2000 km高度的飛行時(shí)長(zhǎng)范圍為∈[5746,9554] s，時(shí)長(zhǎng)跨度約380.8 s。

4.3 基于可達(dá)范圍的發(fā)射窗口計(jì)算

考慮目標(biāo)為=2000 km的圓軌道，對(duì)地面發(fā)射的攔截器能夠?qū)Υ四繕?biāo)進(jìn)行攔截的發(fā)射窗口進(jìn)行分析。目標(biāo)軌道根數(shù)選取為：半長(zhǎng)軸=8378 km，偏心率=0，軌道傾角=50°，升交點(diǎn)赤經(jīng)=0°，近地點(diǎn)幅角=0°，真近點(diǎn)角=0°。

表2 發(fā)射窗口初篩結(jié)果Table 2 Screening results of launch windows

圖5 目標(biāo)星下點(diǎn)與可達(dá)范圍位置關(guān)系Fig.5 The relation between the target sub-satellite points and the reachable domain

在得到準(zhǔn)發(fā)射窗口′后，對(duì)攔截器飛行時(shí)長(zhǎng)范圍∈[5746,9554] s進(jìn)行劃分，此處將其離散為20段，得到飛行時(shí)長(zhǎng)集合為

=[5746,5936,…,9364,9554] s=[,,……,]

針對(duì)中每一個(gè)飛行時(shí)長(zhǎng)點(diǎn)，將性能指標(biāo)切換為航程，進(jìn)一步得到航程最大和航程最小分別對(duì)應(yīng)的攔截器可達(dá)最遠(yuǎn)和最近位置，在0°～360°范圍內(nèi)遍歷初始航向角，得到每個(gè)飛行時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的2000 km高度處可達(dá)環(huán)形區(qū)域=[,,…,]。

圖6給出了最小時(shí)長(zhǎng)、中間時(shí)長(zhǎng)、最大時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的攔截器可達(dá)范圍，可以看出，對(duì)于最大上升時(shí)長(zhǎng)955.4 s和最小上升時(shí)長(zhǎng)574.6 s，二者對(duì)應(yīng)的攔截范圍內(nèi)外邊界基本重合，這意味著攔截器軌跡末端無(wú)法到達(dá)最小上升時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓環(huán)的更外側(cè)或最大上升時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓環(huán)的更內(nèi)側(cè)的位置，也驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。

圖6 不同飛行時(shí)長(zhǎng)的攔截器環(huán)形可達(dá)范圍Fig.6 Reachable domain for different flight durations

最后，在窗口初篩的基礎(chǔ)上，考慮到實(shí)際飛行過(guò)程中受到的各種擾動(dòng)和參數(shù)的不確定性，對(duì)目標(biāo)星下點(diǎn)進(jìn)行間隔為5 s的劃分。對(duì)每一個(gè)上升時(shí)長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的可達(dá)子環(huán)區(qū)域與目標(biāo)航天器星下點(diǎn)位置關(guān)系進(jìn)行判定，得到精確發(fā)射窗口如圖7所示，其中，縱軸對(duì)應(yīng)所劃分的每一個(gè)飛行時(shí)長(zhǎng)點(diǎn)，每段發(fā)射窗口對(duì)應(yīng)的時(shí)刻如表3所示，每段準(zhǔn)窗口中目標(biāo)星下點(diǎn)能夠穿越的中子環(huán)區(qū)域編號(hào)范圍如表3中最后一列所示。

圖7 2000 km高度目標(biāo)精確發(fā)射窗口Fig.7 Accurate launch windows for targets at 2000 km altitude

由表3可以看出，8段精確發(fā)射窗口均位于8段準(zhǔn)窗口中，驗(yàn)證了規(guī)劃過(guò)程中窗口初篩過(guò)程的可靠性。由于攔截器星下點(diǎn)穿過(guò)可攔截區(qū)域的位置不同，3天內(nèi)每一段發(fā)射窗口時(shí)長(zhǎng)也有所差別。對(duì)于2000 km高度目標(biāo)攔截器，3天內(nèi)精確發(fā)射窗口時(shí)長(zhǎng)共74分50秒。

4.4 計(jì)算效率分析

對(duì)本文提出的發(fā)射窗口計(jì)算方法的計(jì)算效率進(jìn)行分析。根據(jù)工程需求，分兩種情況進(jìn)行分析：(1)任務(wù)前期的準(zhǔn)發(fā)射窗口計(jì)算；(2)任務(wù)執(zhí)行中精確發(fā)射窗口計(jì)算。

表3 2000 km高度目標(biāo)發(fā)射窗口時(shí)刻Table 3 Launch windows for targets at 2000 km altitude

第一種情況對(duì)應(yīng)4.3節(jié)前半部分準(zhǔn)發(fā)射窗口計(jì)算過(guò)程，第二部分對(duì)應(yīng)4.3節(jié)后半部分精確發(fā)射窗口計(jì)算過(guò)程，其中，特定高度攔截器各環(huán)形可達(dá)范圍集合的計(jì)算只與目標(biāo)飛行器的高度信息相關(guān)，所以在攔截器推進(jìn)系統(tǒng)和物理參數(shù)確定之后隨時(shí)可以進(jìn)行計(jì)算，在任務(wù)即將執(zhí)行時(shí)根據(jù)目標(biāo)即時(shí)相位信息確定精確發(fā)射窗口。

在Intel i7-6700 CPU @3.40GHz處理器的MATLAB-R2018b計(jì)算環(huán)境下，針對(duì)2000 km高度目標(biāo)攔截的發(fā)射窗口計(jì)算過(guò)程中，準(zhǔn)發(fā)射窗口計(jì)算耗時(shí)16.8 s，精確發(fā)射窗口計(jì)算中，可達(dá)范圍集合計(jì)算耗時(shí)181.2 s，精確窗口計(jì)算耗時(shí)0.92 s。

可以看到，在任務(wù)初期對(duì)窗口精度要求不高時(shí)，準(zhǔn)窗口計(jì)算只需16.8 s左右，可以得到比精確發(fā)射窗口范圍稍大的準(zhǔn)窗口；精確窗口計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)需約3分鐘，但可達(dá)范圍計(jì)算部分可以預(yù)先根據(jù)發(fā)射位置和攔截器參數(shù)計(jì)算，并存儲(chǔ)為數(shù)據(jù)庫(kù)。針對(duì)不同高度和相位的具體目標(biāo)，可達(dá)范圍可通過(guò)查找數(shù)據(jù)庫(kù)得到。在這種情況下，針對(duì)具體相位目標(biāo)計(jì)算精確發(fā)射窗口計(jì)算時(shí)長(zhǎng)為0.92 s。因此，針對(duì)特定情形，如攔截同軌道高度不同軌道面、不同相位的星座目標(biāo)時(shí)，可快速得到針對(duì)每顆單星的精確發(fā)射窗口。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)地面起飛的攔截器對(duì)低軌目標(biāo)快速攔截的發(fā)射窗口規(guī)劃問(wèn)題，提出了基于上升軌跡可達(dá)范圍分析的發(fā)射窗口初篩和精確求解算法。相對(duì)于傳統(tǒng)方法，本文所提算法具有適用多種場(chǎng)景、計(jì)算準(zhǔn)確簡(jiǎn)便的特點(diǎn)。本文研究可得到如下結(jié)論：

(1)所提基于上升軌跡可達(dá)范圍的發(fā)射窗口初篩方法可快速給出準(zhǔn)發(fā)射窗口，既提供了發(fā)射窗口的時(shí)間區(qū)間，也為后續(xù)精確窗口計(jì)算框定了范圍。

(2)基于上升軌跡可達(dá)范圍的發(fā)射窗口精確評(píng)估中，耗時(shí)較長(zhǎng)的可達(dá)范圍計(jì)算部分只根據(jù)目標(biāo)的高度信息可離線進(jìn)行。精確窗口計(jì)算根據(jù)目標(biāo)相位信息在線實(shí)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)仿真，在普通個(gè)人計(jì)算機(jī)上，精確窗口計(jì)算時(shí)間僅需0.92 s。