于金龍，李 智，張雅聲，竇天恒

(1.航天工程大學(xué)宇航科學(xué)與技術(shù)系，北京 101400；2.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，文昌 571300)

0 引 言

航天器編隊飛行以其在對地觀測、在軌服務(wù)、深空成像和探測等方面的巨大潛力迅速成為航天領(lǐng)域研究的熱點。它將單個航天器的功能分散到一組較小的航天器中，從而降低了風(fēng)險和成本，提高了可靠性與適應(yīng)性。這些航天器能夠根據(jù)執(zhí)行空間任務(wù)的不同調(diào)整空間相對位置完成構(gòu)型重構(gòu)，極大地提高了編隊任務(wù)的靈活性。其中使用連續(xù)推力進(jìn)行編隊重構(gòu)的方法一般可分為兩類:全驅(qū)動和欠驅(qū)動。全驅(qū)動是指在徑向、跡向和法向均存在獨立的控制通道。針對全驅(qū)動編隊重構(gòu)任務(wù),學(xué)者們已提出滑?？刂啤⒆赃m應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等一系列控制方法。若某一方向的推力器發(fā)生故障，系統(tǒng)的獨立控制數(shù)目少于自由度時，變?yōu)榍夫?qū)動系統(tǒng)，無法完成重構(gòu)任務(wù)且上述控制策略已不再適用。雖然安裝備份推力器可以解決該問題，但考慮未來航天器輕型化、小型化的需求，設(shè)計欠驅(qū)動控制方案更為經(jīng)濟(jì)有效。

國內(nèi)外學(xué)者對編隊重構(gòu)控制方法這一編隊飛行的關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了廣泛的研究。Leonard等分析了僅采用跡向相對大氣阻力進(jìn)行編隊控制的可能性。Kumar等設(shè)計了適用于欠驅(qū)動編隊重構(gòu)的線性反饋控制器。對于跡向欠驅(qū)動情況，Godard等仿真驗證了圓軌道跡向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)的可行性，并基于滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了對應(yīng)的閉環(huán)控制器。此外，Yin等基于相對軌道要素法設(shè)計了橢圓軌道徑向欠驅(qū)動編隊重構(gòu)控制策略。鐘都都等解析推導(dǎo)了圓軌道欠驅(qū)動重構(gòu)所需的最少脈沖次數(shù)以及對應(yīng)的速度增量消耗，并采用偽譜法求解了連續(xù)推力作用下的橢圓軌道最優(yōu)欠驅(qū)動重構(gòu)控制軌跡。黃煦團(tuán)隊推導(dǎo)了圓軌道欠驅(qū)動編隊重構(gòu)最優(yōu)解析解和欠驅(qū)動避撞控制策略，并采用遺傳算法求解了脈沖推力作用的橢圓軌道最優(yōu)欠驅(qū)動重構(gòu)控制軌跡。

傳統(tǒng)的編隊重構(gòu)控制采用的動力學(xué)模型要求滿足參數(shù)線性化的假設(shè)，且忽略了外部攝動的擾動。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠以任意精度逼近緊集上的任意光滑函數(shù)，因而被廣泛用于估計系統(tǒng)動力學(xué)中的非線性不確定性。盡管具有高精度近似的能力，但近似誤差仍然存在。因此，在之前的大部分工作中，只能保證狀態(tài)誤差是一致最終有界的，或者在反饋增益足夠大的情況下狀態(tài)誤差是任意小的?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器為了滿足較高的精度，在應(yīng)用范圍增大時需要增加更多的節(jié)點，這樣就導(dǎo)致結(jié)構(gòu)復(fù)雜和計算量過大，不利于在軌實時計算。同時神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的不準(zhǔn)確估計也將影響整個控制器的性能，甚至造成系統(tǒng)的發(fā)散。為了解決這些問題，Xia等利用切換函數(shù)將自適應(yīng)方法同反步法相結(jié)合，設(shè)計了基于姿軌耦合動力學(xué)模型的航天器交會對接控制器。Sun等采用類似的思想完成了利用氣動力的衛(wèi)星編隊姿軌耦合控制。

基于此，本文針對欠驅(qū)動航天器編隊重構(gòu)問題設(shè)計切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)起主導(dǎo)作用的活躍區(qū)域內(nèi)采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器近似擾動項，在自適應(yīng)滑模起主導(dǎo)作用的活躍區(qū)域外采用自適應(yīng)滑?？刂破鹘茢_動項，該方法在減少實時計算量的同時，還能夠減少神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法在整個時間內(nèi)有效估計的不良影響。與現(xiàn)有的研究成果相比，本文的不同與改進(jìn)之處體現(xiàn)在：

1)與文獻(xiàn)[7]相比，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對欠驅(qū)動編隊重構(gòu)動力學(xué)模型中的非線性項、攝動項等進(jìn)行在線估計，控制精度更高。

2)與文獻(xiàn)[14]相比，基于李雅普諾夫方法推導(dǎo)出徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)律，不需要預(yù)先知道擾動上界，同時保證了算法的漸近穩(wěn)定性。

3)與文獻(xiàn)[17-18]相比，該控制方案能夠在徑向或跡向推力器故障的情況下完成重構(gòu)任務(wù)，提高了任務(wù)的可靠性。

本文結(jié)構(gòu)安排如下。第1節(jié)建立了圓軌道欠驅(qū)動航天器編隊動力學(xué)模型。第2節(jié)簡要介紹了開環(huán)最優(yōu)控制軌跡求解方法。第3節(jié)詳細(xì)介紹了閉環(huán)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方法，并且第4節(jié)給出了數(shù)值仿真以驗證開閉環(huán)控制器的性能。最后，第5節(jié)總結(jié)了全文。

1 欠驅(qū)動航天器編隊動力學(xué)模型

坐標(biāo)系定義如圖1所示。編隊構(gòu)型中的主航天器軌道為近圓軌道，即≈0，從航天器運行于其附近。為地心慣性坐標(biāo)系，為地心。為主航天器軌道坐標(biāo)系，為主航天器質(zhì)心，軸沿主航天器徑向，軸沿主航天器軌道面法向，軸與,軸構(gòu)成右手直角笛卡爾坐標(biāo)系，為主航天器地心距矢量。為從航天器質(zhì)心，為從航天器地心距矢量。

圖1 相對運動坐標(biāo)系Fig.1 Relative motion coordinate

(1)

(2)

(3)

其中，

2 開環(huán)控制器

欠驅(qū)動編隊重構(gòu)問題可歸結(jié)為軌跡優(yōu)化問題。選取燃料消耗作為性能指標(biāo)進(jìn)行軌跡優(yōu)化，即目標(biāo)函數(shù)選取為：

(4)

式中：=為控制加速度;為任務(wù)初始時刻;為任務(wù)結(jié)束時刻。其動力學(xué)約束為式(3)。邊界約束主要包括任務(wù)初始狀態(tài)約束與任務(wù)結(jié)束狀態(tài)約束，初始狀態(tài)約束表示為：

(5)

任務(wù)結(jié)束狀態(tài)約束表示為：

(6)

由于航天器的推力存在上限，所以對整個重構(gòu)任務(wù)中的控制輸入進(jìn)行約束，即：

||≤，=，，

(7)

采用直接優(yōu)化方法中的高斯偽譜法求解該問題。將無限維連續(xù)最優(yōu)問題轉(zhuǎn)換為離散的非線性規(guī)劃問題，利用非線性規(guī)劃求解器SNOPT求解最優(yōu)開環(huán)控制軌跡。高斯偽譜法求解軌跡優(yōu)化問題的原理與方法詳見文獻(xiàn)[19]。

3 閉環(huán)控制器

3.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能在一個緊集和任意精度下，逼近任何連續(xù)的非線性函數(shù)，并且能夠適應(yīng)和學(xué)習(xí)不確定性系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此廣泛應(yīng)用在控制系統(tǒng)設(shè)計當(dāng)中。

對于一個連續(xù)非線性函數(shù)()∈，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在一個緊集上近似表示為：

()=()+

(8)

3.2 徑向欠驅(qū)動滑?？刂破髟O(shè)計

考慮線性化誤差和攝動力擾動的受攝非線性航天器編隊寫成狀態(tài)空間方程的形式為：

(9)

(10)

式中：為利用偽譜法求出的最優(yōu)開環(huán)軌跡控制力。由式(9)和式(10)做差得到誤差動力學(xué)系統(tǒng)，即

(11)

缺失徑向控制時誤差動力學(xué)方程可重寫為：

(12)

式中：

(13)

(14)

式中：=∈。選取滑模面與趨近律為：

(15)

式中：>0,>0,>0為正常數(shù)。根據(jù)常規(guī)滑模設(shè)計，控制律設(shè)計為：

(16)

(17)

-sgn()

(18)

sgn()--sgn()

(19)

在活躍區(qū)域外利用自適應(yīng)滑?？刂品椒▉碜詣诱{(diào)整控制增益以補(bǔ)償上界的不確定性，設(shè)計控制律為：

(20)

(21)

其中，和滿足關(guān)系0<<。切換函數(shù)的輸入為從航天器實時軌跡與理想軌跡的相對位置誤差。結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制律和自適應(yīng)滑?？刂坡傻那袚Q控制律設(shè)計為：

1--sgn()

(22)

(23)

式中：>0,且,和為對角正定矩陣。欠驅(qū)動閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 徑向欠驅(qū)動閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of closed-loop control system without radial control

對該控制器進(jìn)行穩(wěn)定性分析，選取李雅普諾夫函數(shù)為：

(24)

(25)

(26)

3.3 跡向欠驅(qū)動滑?？刂破髟O(shè)計

缺失跡向控制時誤差動力學(xué)方程可改寫為：

(27)

其中，

(28)

(29)

式中：>0,>0,>0均為正常數(shù)。

結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制律和自適應(yīng)滑?？刂坡傻那袚Q控制律設(shè)計為：

(30)

(31)

4 仿真分析

4.1 開環(huán)控制器

(32)

重構(gòu)任務(wù)為在缺失徑向推力的情況下在末端時刻=15建立一新投影圓構(gòu)型，其半徑為0.5 km，且相位角為π rad，為主星的軌道周期，終端條件約束固定為：

(33)

選用60個配點，利用高斯偽譜法求解該軌跡優(yōu)化問題。徑向欠驅(qū)動和跡向欠驅(qū)動相對轉(zhuǎn)移軌道與最終編隊構(gòu)形如圖3所示，離散點為通過高斯偽譜法計算的結(jié)果，實線部分為將B樣條插值得到的控制輸入代入(10)式，采用4階龍格庫塔方法進(jìn)行數(shù)值積分得到的相對運動軌跡。偽譜法與數(shù)值積分方法計算的終端相對位置誤差為10m數(shù)量級，驗證了采用偽譜法計算開環(huán)最優(yōu)控制軌跡的正確性。同時從圖3可以看出從航天器在終端時刻完成了構(gòu)型重構(gòu)任務(wù)，驗證了開環(huán)控制器的有效性。

圖3 徑向/跡向欠驅(qū)動相對轉(zhuǎn)移軌道與編隊構(gòu)型軌跡Fig.3 Trajectories of relative transfer orbit and formation without radial control or in-track control

4.2 徑向欠驅(qū)動閉環(huán)控制器

4.1節(jié)中的開環(huán)控制器未考慮初始相對位置誤差、質(zhì)量不確定性及外部攝動。引入J2攝動作用下的非線性航天器相對運動模型，同時加入初始相對位置誤差及質(zhì)量不確定性來驗證閉環(huán)控制器在外部攝動與模型不確定性條件下的控制性能。

主航天器初始軌道根數(shù)見表1。初始時刻主從航天器構(gòu)成半徑=1.0 km且相位角為0 rad的投影圓構(gòu)型，控制目標(biāo)為在存在初始相對位置誤差、初始相對速度誤差、質(zhì)量不確定性及外部擾動等條件下在末端時刻建立半徑=05km的投影圓構(gòu)型。同時，引入現(xiàn)有的線性滑模控制器(Linear sliding mode controller，LSMC)進(jìn)行對比分析。對于缺失徑向推力的情況，LSMC設(shè)計為：

1=-(1+1)-(1+1)-

(1+1)-1-sig(1)

(34)

表2 缺失徑向控制情況控制器參數(shù)Table 2 Controller parameters without radial control

此外，RBFNN中矩陣∈選取為：

(35)

式中：

(36)

缺失徑向控制情況下，SNN和LSMC的相對位置誤差對比如圖4所示，從圖中可以看出兩類控制器的穩(wěn)態(tài)相對位置誤差為10m數(shù)量級，與LSMC控制器相比，采用SNN控制器的穩(wěn)態(tài)誤差更小，控制精度更高。

圖4 相對位置誤差軌跡Fig.4 Time histories of relative position errors

徑向欠驅(qū)動SNN控制器的控制輸入如圖5所示，量級為10m/s，約0.5個周期到達(dá)穩(wěn)態(tài)。從航天器在徑向欠驅(qū)動SNN控制器作用下的重構(gòu)軌跡如圖6所示，可見SNN控制器能夠完成構(gòu)形重構(gòu)任務(wù)，驗證了在缺失徑向推力情況下進(jìn)行編隊重構(gòu)的可行性。

圖5 控制輸入軌跡Fig.5 Time histories of control inputs

圖6 相對轉(zhuǎn)移軌道與編隊構(gòu)型軌跡Fig.6 Trajectories of relative transfer orbit and formation

(37)

控制器性能指標(biāo)對比見表3，在消耗同樣控制能量的情況下，相比LSMC控制器，SNN控制器的收斂速度更快且穩(wěn)態(tài)誤差下降了43.2%，具有更高的控制精度。

表3 缺失徑向控制情況控制器性能指標(biāo)Table 3 Performance indexes of the controllers without radial control

4.3 跡向欠驅(qū)動閉環(huán)控制器

對于缺失跡向推力情況，LSMC設(shè)計為：

(38)

表4 缺失跡向控制情況控制器參數(shù)Table 4 Controller parameters without in-track control

缺失跡向控制情況下，SNN和LSMC的相對位置誤差對比如圖7所示，控制輸入軌跡如圖5所示。其中相對位置誤差與控制輸入軌跡穩(wěn)態(tài)時分別為10m和10m/s量級。與LSMC控制器相比，采用SNN控制器的穩(wěn)態(tài)誤差更小，控制精度更高。從航天器在跡向欠驅(qū)動SNN控制器作用下的重構(gòu)軌跡如圖6所示，可見SNN控制器能夠完成構(gòu)形重構(gòu)任務(wù)，驗證了在缺失跡向推力情況下進(jìn)行構(gòu)形重構(gòu)的可行性。

圖7 相對位置誤差軌跡Fig.7 Time histories of relative position errors

跡向欠驅(qū)動控制器性能指標(biāo)對比見表5。與徑向欠驅(qū)動類似，在消耗同樣控制能量的情況下，相比LSMC控制器，SNN控制器收斂速度快且穩(wěn)態(tài)誤差下降了約51.1%，具有更高的控制精度。

表5 缺失跡向控制情況控制器性能指標(biāo)Table 5 Performance indexes of the controllers without in-track control

5 結(jié) 論

本文設(shè)計了一種欠驅(qū)動航天器編隊構(gòu)形重構(gòu)的切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，用以跟蹤由偽譜法求解得到的航天器編隊重構(gòu)的最優(yōu)開環(huán)控制軌跡。切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器由在活躍區(qū)域內(nèi)工作的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器和在活躍區(qū)域外工作的自適應(yīng)滑?？刂破鹘M成。采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似動力學(xué)系統(tǒng)中不確定項，并采用基于李雅普諾夫方法推導(dǎo)的自適應(yīng)律來估計近似誤差上界，這樣既避免了對近似誤差上界的先驗知識的要求，又保證了算法的漸近穩(wěn)定性。各控制器協(xié)同工作，不僅提高了控制精度，降低了控制器的實時計算負(fù)擔(dān)，還能防止神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不準(zhǔn)確估計對系統(tǒng)的不良影響。通過仿真驗證了切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的有效性，并與線性滑?？刂破鬟M(jìn)行了對比研究，選擇控制能耗、調(diào)節(jié)時間、穩(wěn)態(tài)控制精度等指標(biāo)來評估控制性能，仿真表明所提出的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的切換控制器具有更好的跟蹤性能，并且該控制器能夠直接應(yīng)用于如航天器懸停及交會等其他欠驅(qū)動相對軌道控制問題。