劉燕

“新定義”問題主要是指先定義尚未學(xué)過的新概念、新運(yùn)算或新符號(hào)等，再結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解，最后遷移運(yùn)用相關(guān)知識(shí)的題型。因此，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要注意培養(yǎng)自己用新知識(shí)解決問題的能力。解決“新定義”問題的一般步驟是“閱讀→分析→理解→應(yīng)用”，最關(guān)鍵的是理解閱讀材料中的含義和用意。下面，以2020年浙江省寧波市的一道中考題為例加以說明。

例 定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角。

（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A=α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E。

（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，[AD]=[BD]，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角。

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE、AF，AC是⊙O的直徑。

①求∠AED的度數(shù);

②若AB=8，CD=5，求△DEF的面積。

【分析】（1）審題后不難發(fā)現(xiàn)，新定義的“遙望角”的本質(zhì)是我們所學(xué)的三角形的內(nèi)外角的平分線相交所成的銳角，因此很快得出∠E=[12]∠BAC。

（2）要證∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，從新定義可知，需滿足兩個(gè)條件：①BE平分∠ABC;②CE平分∠ACT（如圖4）。

（3）①結(jié)合（1）（2）易得∠BAC=2∠BEC，進(jìn)而證明∠BEC=∠FAD，根據(jù)△FDE≌△FDA得到DE=DA即可求解。②是難點(diǎn)題，需要通過作垂線構(gòu)造出相似三角形，這樣可以充分利用①中的45°角，再利用勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式得出答案。熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

解：（1）如圖1，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴∠E=∠ECD-∠EBD=[12]（∠ACD-∠ABC）=[12]∠BAC=[12]α。

（2）如圖4，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)T。

∵四邊形FBCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠FDC+∠FBC=180°。

又∵∠FDE+∠FDC=180°，

∴∠FDE=∠FBC。

∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE。

∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC。

∴BE是∠ABC的平分線。

∵[AD]=[BD]，∴∠ACD=∠BFD。

∵∠BFD+∠BCD=180°，

∠DCT+∠BCD=180°，

∴∠DCT=∠BFD，

∴∠ACD=∠DCT，

∴CE是△ABC的外角平分線，

∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角。

（3）①如圖5，連接CF。

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，

∴由（1）的結(jié)論可得∠BAC=2∠BEC。

∵∠BFC=∠BAC，∴∠BFC=2∠BEC。

∵∠BFC=∠BEC+∠FCE，

∴∠BEC=∠FCE。

∵∠FCE=∠FAD，∴∠BEC=∠FAD。

又∵∠FDE=∠FDA，F(xiàn)D=FD，

∴△FDE≌△FDA，

∴DE=DA，

∴∠AED=∠DAE。

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，

∴∠AED+∠DAE=90°，

∴∠AED=∠DAE=45°。

②同學(xué)們可根據(jù)分析里的提示，自己來完成這一小題，答案是[259]。

這是一道與幾何知識(shí)相結(jié)合的新定義問題。我們?cè)诮鉀Q這類問題時(shí)，不要有畏懼心理，比如此例題，雖然有新定義，但解題策略還是運(yùn)用基本知識(shí)和基本方法。因此，對(duì)于這類“新定義”問題，我們應(yīng)仔細(xì)閱讀材料，找出關(guān)鍵信息，正確理解定義，聯(lián)想依據(jù)，結(jié)合以前所學(xué)的知識(shí)，探索、歸納、推理，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。