讓類比聯(lián)想成為數(shù)學解題的催化劑

【摘 要】 本文以一道清華大學中學生標準學術(shù)能力測試題為例，從5個視角運用類比聯(lián)想，用9種突破方法解答問題，進而體會在解決一些數(shù)學問題時，合理地運用“類比聯(lián)想”可成為問題解決的“催化劑”.【關鍵詞】 類比聯(lián)想;數(shù)學解題;催化劑

類比聯(lián)想法是指由某一事物的觸發(fā)而引起和該事物在性質(zhì)上或形態(tài)上相似事物的聯(lián)想.在數(shù)學學習中，類比聯(lián)想是一種重要的思維活動，它不僅能夠幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，而且能為我們提供解題思路和方向.這正象著名數(shù)學家歐拉所說“類比是偉大的引路人”.在數(shù)學解題教學中，以類比聯(lián)想進行組織教學，不僅可以復習已有的知識，而且還在獲得新知的過程中加深對已有知識的理解，引起聯(lián)想，促進記憶，啟發(fā)思維，有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和探索發(fā)現(xiàn)能力.因此，在數(shù)學解題教學中，應重視類比聯(lián)想的教學，讓類比聯(lián)想成為數(shù)學解題的催化劑.本文以清華大學中學生標準學術(shù)能力（THUSSAT） 2021年11月新高考診斷性測試第8題的解法為例來說明類比聯(lián)想在數(shù)學解題中的“催化劑”作用.

1 試題呈現(xiàn)

已知x，y滿足x2+y2=4y-3，則3x+yx2+y2的最大值為（? ）.

A.1? B.2? C.3 ??D.5

2 試題簡析

該題看似無從著手，難以找到解答的思路和方向，但若仔細分析已知條件或所求結(jié)論中式子的結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想有關的數(shù)學定義、公式、模型等，可幫助我們迅速找到解決問題的突破口.

3 解法探究

類比聯(lián)想1 將目標式平方（3x+y）2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2，由結(jié)構(gòu)特征類比聯(lián)想“齊二次分式”Ax2+Bxy+Cy2Dx2+Exy+Fy2，分子、分母同時除以x2，轉(zhuǎn)化為關于λ=yx的一元函數(shù)問題求解.

解析 設z=3x+yx2+y2，

當x=0時，z=1;

當x≠0時，則z2=（3x+y）2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2=3+23yx+yx21+yx2.

令λ=yx，則z2=3+23λ+λ21+λ2.

下面首先求λ的范圍，可有幾何法和判別式法兩種;然后用導數(shù)法和函數(shù)單調(diào)性法兩種求z2的最值.這樣求λ范圍的方法與求z2最值的方法兩兩搭配，可有下面四種突破方法.

解法1 由x2+y2=4y-3，得x2+（y-2）2=1，其圖形是以（0，2）為圓心，1為半徑的圓，而λ=yx表示圓上的點與坐標原點連線的斜率.

設過原點的直線方程為y=λx，即λx-y=0，若直線與圓相切，則|-2|λ2+1=1，解得λ=±3.故λ≤-3或λ≥3.

由z2=3+23λ+λ21+λ2，構(gòu)造函數(shù)f（λ）=

3+23λ+λ21+λ2=1+2+23λ1+λ2（λ≤-3或λ≥3）.

所以f′（λ）=23（1+λ2）-（2+23λ）·2λ（1+λ2）2=-23λ2-4λ+23（1+λ2）2=-2（3λ-1）（λ+3）（1+λ2）2，

當λ≤-3時，f′（λ）≤0，當λ≥3時，f′（λ）<0，所以f（λ）在（-∞，-3]和[3，+∞）上均為減函數(shù).

又f（-3）=0，f（3）=3，且λ→-∞時，f（λ）→1，λ→+∞時，f（λ）→1，故當λ=3時，f（λ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

解法2 聯(lián)立方程，得y=λx，x2+y2=4y-3，消去y整理得（1+λ2）x2-4λx+3=0.由Δ=（-4λ）2-4（1+λ2）×3≥0，解得λ≤-3或λ≥3.

以下同解法1.

解法3 由解法1，得λ≤-3或λ≥3.

由z2=3+23λ+λ21+λ2，構(gòu)造函數(shù)f（λ）=3+23λ+λ21+λ2=1+211+λ2+3λ1+λ2=1+211+λ2+31λ+λ（λ≤-3或λ≥3）.

易知當λ≥3時，1+λ2和1λ+λ均單調(diào)遞增，所以11+λ2和3λ1+λ2均單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（λ）在[3，+∞）上單調(diào)遞減.當λ≤-3時，由于f（-3）=0，且λ→-∞時，f（λ）→1.

故當λ=3時，f（λ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

解法4 由解法2，得λ≤-3或λ≥3.

以下同解法3.類比聯(lián)想2 由已知方程的變形x2+（y-2）2=1和目標式中x2+y2的結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想同角三角函數(shù)的平方關系sin2θ+cos2θ=1，可以分別利用三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

首先從已知條件中的方程出發(fā)進行三角換元來突破.

解法5 由x2+y2=4y-3，得x2+（y-2）2=1.

令x=cosθ，y-2=sinθ，即x=cosθ，y=sinθ+2，θ∈[0，2π]，所以z=3x+yx2+y2=3cosθ+sinθ+2cos2θ+sinθ+22=3cosθ+sinθ+24sinθ+5，所以z2=（3cosθ+sinθ+2）24sinθ+5.

令f（θ）=（3cosθ+sinθ+2）24sinθ+5，θ∈[0，2π]，

所以f′（θ）=2（3cosθ+sinθ+2）（-3sinθ+cosθ）（4sinθ+5）-（3cosθ+sinθ+2）2·4cosθ（4sinθ+5）2=

23cosθ+sinθ+2（-43sin2θ+4sinθcosθ-53sinθ+5cosθ-23cos2θ-2sinθcosθ-4cosθ）（4sinθ+5）2=23cosθ+sinθ+2（-23sin2θ+2sinθcosθ-53sinθ+cosθ-23）（4sinθ+5）2=23cosθ+sinθ+2[-32sin2θ+5sinθ+2+cosθ2sinθ+1]（4sinθ+5）2=-23cosθ+sinθ+22sinθ+1（3sinθ-cosθ+23）（4sinθ+5）2.

因為3cosθ+sinθ+2≥0，3sinθ-cosθ+23>0，所以若2sinθ+1≥0，即sinθ≥-12，此時θ∈0，7π6∪11π6，2π，f′（θ）<0，所以f（θ）在0，7π6和11π6，2π上單調(diào)遞減.

當2sinθ+1<0，即sinθ<-12，此時θ∈7π6，11π6，f′（θ）>0，所以f（θ）在7π6，11π6上單調(diào)遞增;

所以當θ=7π6時，f（θ）有極小值為f7π6=0，當θ=11π6時，f（θ）有極大值為f11π6=3.

又f0=f2π=（3+2）25=7+435∈（0，3）.

故當θ=11π6時，f（θ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

解法5思路清晰，但運用導數(shù)，求導和整理過程運算量較大.下面再從目標式出發(fā)進行三角換元來突破.

解法6 設x2+y2=r（r>0），則令x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0，2π].

所以z=3x+yx2+y2=3rcosθ+rsinθr=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

將x=rcosθ，y=rsinθ代入已知條件中的方程x2+y2=4y-3，得（rcosθ）2+（rsinθ）2=4（rsinθ）-3，即r2-4rsinθ+3=0，所以sinθ=r2+34r=14r+3r.

由二元均值不等式，得r+3r≥23，當且僅當r=3r，即r=3時取等號，所以sinθ≥234=32.

因為θ∈[0，2π]，所以π3≤θ≤2π3，所以2π3≤θ+π3≤π，所以0≤sinθ+π3≤32，即0≤2sinθ+π3≤3.

所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想3 將目標式變形3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2，由結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想正弦函數(shù)的定義sinθ=yx2+y2和余弦函數(shù)的定義cosθ=xx2+y2，從而挖掘問題所隱含的三角特征，利用三角函數(shù)知識突破.

解法7 設A（x，y）為圓x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1上任一點，O是坐標原點，記∠xOA=θ，則由正弦、余弦的三角函數(shù)定義得cosθ=xx2+y2，sinθ=yx2+y2，所以3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

易知，當OA與圓x2+y2=4y-3相切時，θ分別取得最小值為π3，最大值為2π3，所以π3≤θ≤2π3，所以2π3≤θ+π3≤π，所以0≤sinθ+π3≤32，所以0≤2sinθ+π3≤3.

所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想4 由目標式的變形3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2的結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想兩向量夾角的坐標公式：cosθ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22，構(gòu)造向量，利用向量的數(shù)量積運算并數(shù)形結(jié)合突破.

解法8 由3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2，設OA=（x，y），OB=（3，1），則3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2=OA·OBOA=|OA|OB|cos∠AOBOA=|OB|cos∠AOB=2cos∠AOB.

如圖1，A（x，y）為圓x2+y2=4y-3上的點，當OA與圓在右側(cè)相切時，∠AOB=π6，A32，32，

此時cos∠AOB取得最大值，所以3x+yx2+y2≤2cosπ6=3.

所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想5 由目標式的變形|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2的結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想兩點間的距離公式和點到直線的距離公式，從而挖掘問題中所隱含的幾何特征，利用幾何法突破.

解法9 由|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2，設A（x，y）為圓x2+y2=4y-3上的點，則x2+y2表示點A與原點O（0，0）之間的距離，|3x+y|（3）2+12表示點A到直線3x+y=0的距離.

如圖2，易知直線3x+y=0與圓x2+y2=4y-3相切，過點A作直線3x+y=0的垂線，垂足為H，則|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2=2·AHOA=2sin∠AOH，顯然當OA在右側(cè)與圓x2+y2=4y-3相切時，sin∠AOH最大，此時易求得∠AOH=π3，所以sin∠AOH的最大值為sinπ3=32，所以3x+yx2+y2的最大值為2×32=3.故選C.4 結(jié)語4.1 有些數(shù)學問題，貌似無從著手，難以找到解答的思路和方向，但若仔細分析已知條件或所求結(jié)論中式子的結(jié)構(gòu)特征，類比聯(lián)想相關的數(shù)學定義、公式、模型等，挖掘問題所蘊含的數(shù)學本質(zhì)，可幫助我們迅速找到解決問題的突破口，從而快捷地解決問題.上面這道清華大學中學生標準學術(shù)能力測試題，就是從5個視角運用類比聯(lián)想、9種突破方法解答的.從中我們可以體會到，在解決許多數(shù)學問題時，若能合理地運用“類比聯(lián)想”，可成為問題解決的“催化劑”.

4.2 若想更好地運用類比聯(lián)想解決問題，既要有一雙善于觀察、分析的慧眼，能夠從問題的結(jié)構(gòu)特征中類比聯(lián)想相關知識對象和模型，又需要從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在聯(lián)系，同時，平時還要注意多儲存、多積累數(shù)學知識模型和解題經(jīng)驗.英國數(shù)學家懷特·海德說過：“數(shù)學是從模式化的個體作抽象的過程中對模式的研究.”[1]羅增儒教授也說過：“學習數(shù)學的過程中，所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要題型——模式，將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已解決問題以此索引，在記憶存儲中抽取相應的方法來解決，這就是模式識別的解題策略.”[1]如果對平時的問題善于總結(jié)、積累，那么在以后解題時，就可以迅速將新問題通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化為已掌握的類型.如上面解答測試題的每一種方法都是建立在以前已有的解題模式、經(jīng)驗基礎上，產(chǎn)生聯(lián)系，運用類比聯(lián)想，問題得以突破的.

參考文獻

[1] 尹承利.滲透“直觀想象”素養(yǎng) 求解函數(shù)熱點問題＼[J＼].數(shù)學通訊（上半月），2019（07），41-43.

作者簡介 張鳳麗（1977—），女，山東泰安人，中學高級教師，現(xiàn)任泰安市岱岳區(qū)高中數(shù)學教研員;教學教研成績突出，被評為“泰山教壇英才”“泰安市學科帶頭人”，多次獲得市優(yōu)秀教師、市級優(yōu)質(zhì)課一等獎等;主要從事高中數(shù)學教育教學等方面的研究;發(fā)表多篇論文.