李毅 劉凱峰 陳巧琳 胡春兵

摘要：基于Python與蒙特卡洛算法對(duì)圓周率進(jìn)行研究[1]，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)圓周率更加準(zhǔn)確的計(jì)算，需要進(jìn)行大量的實(shí)驗(yàn)及計(jì)算歸納，在實(shí)驗(yàn)中將計(jì)算機(jī)編程技術(shù)加以運(yùn)用，能夠有效降低重復(fù)運(yùn)算次數(shù)[2]。根據(jù)已有二維平面模型拓展為三維模型，使實(shí)驗(yàn)效果更加直觀、立體。

關(guān)鍵詞：Python;蒙特卡洛法;圓周率;三維模型

中圖分類(lèi)號(hào)：TP311? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）10-0110-03

1 圓周率的含義及歷史

圓周率Pi是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是普遍存在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中的數(shù)學(xué)常數(shù)（約等于3.1415926） ，也是一個(gè)無(wú)理數(shù)。它是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，也等于圓的面積與半徑平方之比，π在準(zhǔn)確計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積等問(wèn)題中扮演著極其重要的角色。

圓周率散發(fā)著經(jīng)久不衰的吸引力，以至于在人類(lèi)幾千年的歷史長(zhǎng)河中，許多數(shù)學(xué)家都在尋求π的值，甚至為之付出了畢生的心血。從古至今，能像圓周率一樣吸引眾多的學(xué)者的數(shù)字屈指可數(shù)，計(jì)算圓周率的值具有極其重要的含義，查閱歷史上對(duì)π的求值程度往往能反映出這個(gè)區(qū)域甚至這個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)發(fā)展的大致水平。

圓周率π在計(jì)算界占有重要的地位，縱觀古今中外歷史，我們可以將圓周率計(jì)算方法的發(fā)展史大略分為四個(gè)時(shí)期[3]：實(shí)驗(yàn)時(shí)期、幾何法時(shí)期、分析法時(shí)期、計(jì)算機(jī)時(shí)期。電子計(jì)算機(jī)的迅速普及使π值計(jì)算有了日新月異的進(jìn)展，計(jì)算圓周率π值的方法和求解速度都實(shí)現(xiàn)了前所未有的突破，使對(duì)π的求值運(yùn)算步入了一個(gè)嶄新的發(fā)展期，圓周率π的數(shù)值達(dá)到了難以想象的精度。

2 采用的工具

隨著近代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，蒙特卡洛方法也因自身的特性而得到廣泛應(yīng)用。蒙特卡洛方法現(xiàn)已成為人們處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)建模和更高維度問(wèn)題的主要工具，它在電子學(xué)、生物學(xué)、高分子化學(xué)，近似計(jì)算等學(xué)科與方法的研究中有著重要的應(yīng)用[4]。通過(guò)科學(xué)合理的統(tǒng)計(jì)建模，把較為復(fù)雜的研究對(duì)象，轉(zhuǎn)化成對(duì)隨機(jī)數(shù)及其數(shù)字特征的模型及運(yùn)算，從實(shí)質(zhì)上簡(jiǎn)化了研究問(wèn)題，減少了運(yùn)算的復(fù)雜性，從而獲得最佳的近似解[5]。

大數(shù)定理則是蒙特卡羅法最為關(guān)鍵的數(shù)理基石，如果要使用蒙特卡羅方法來(lái)求解問(wèn)題，則需要重復(fù)大量同樣的實(shí)驗(yàn)，只有實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多，所獲得的結(jié)論才會(huì)接近于真實(shí)值。蒙特卡洛法的本質(zhì)是構(gòu)造出一個(gè)具有隨機(jī)性的問(wèn)題，并使數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論正好是所求問(wèn)題的解，多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，求得問(wèn)題的多個(gè)解，即可獲得近似的結(jié)果[6]。

現(xiàn)在計(jì)算機(jī)技術(shù)飛速發(fā)展，編程語(yǔ)言早已是計(jì)算機(jī)應(yīng)用軟件開(kāi)發(fā)中不可或缺的一部分，Python編程語(yǔ)言擁有編寫(xiě)簡(jiǎn)潔快速、語(yǔ)法優(yōu)美易讀等優(yōu)勢(shì)，在各領(lǐng)域都能看得到它的身影[7]。本文將Python的諸多優(yōu)勢(shì)融入實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，既可以清晰明了地展現(xiàn)出實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，又能夠使學(xué)習(xí)者更加注重問(wèn)題的思想本質(zhì)，而不是煩瑣的代碼。除此之外，使用Python 語(yǔ)言還能輕松簡(jiǎn)潔地編寫(xiě)圖形界面程序[8]，大大降低了本次研究的難度。

3 二維模型建立

首先通過(guò)二維平面圖像來(lái)介紹實(shí)驗(yàn)過(guò)程，研究表明可以通過(guò)圓和正方形的面積計(jì)算公式得到圓面積=正方形的面積*（圓中的點(diǎn)/正方形中的點(diǎn)） 。實(shí)驗(yàn)中，本文選擇一個(gè)含有內(nèi)切圓且邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖1所示，向其中投射大量的針，每根針在正方形上形成一個(gè)“投點(diǎn)”，依靠投點(diǎn)在內(nèi)切圓的個(gè)數(shù)與正方形內(nèi)投點(diǎn)個(gè)數(shù)的比值等于Pi/4，再進(jìn)行簡(jiǎn)單地變換就得到Pi的值。為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度，投點(diǎn)總數(shù)通常較大，由于計(jì)算落在圓內(nèi)投點(diǎn)數(shù)顯得較為困難，故可以運(yùn)用Python及蒙特卡羅算法的來(lái)協(xié)助探究。

使用Python代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程，如圖2所示，需要定義N代表投點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，n代表投射在內(nèi)切圓中小點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，用兩個(gè)從-1到1之間的隨機(jī)值來(lái)代表投點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，并創(chuàng)立兩個(gè)列表分別來(lái)記錄橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的值，然后利用公式求得Pi值并用列表記錄。調(diào)用畫(huà)圖工具將實(shí)驗(yàn)過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，得到如圖3所示。

接著通過(guò)調(diào)用數(shù)學(xué)函數(shù)將列表之中大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果所求Pi值取平均值、方差及標(biāo)準(zhǔn)差，將所有Pi值放進(jìn)圖中形成散點(diǎn)圖，同時(shí)將Pi的平均值畫(huà)成一條紅線與Pi的原值（3.1415926） 畫(huà)出的黑線相對(duì)比就可以發(fā)現(xiàn)紅線和黑線幾乎重疊，如圖5所示，證明所用的方法是比較合理的。如果做一個(gè)領(lǐng)域半徑r來(lái)剔除出實(shí)驗(yàn)所求Pi的異常值，即可使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更加精確，方差和標(biāo)準(zhǔn)差都會(huì)縮小，所求的值離Pi的真實(shí)值更接近，如圖6所示。

4 三維模型建立

根據(jù)二維的平面模型可以延伸到三維的立體模型，三維模型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)將比二維模型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更加合理。與二維模型相比，三維模型具有更多優(yōu)勢(shì)，三維模型的空間信息呈現(xiàn)更直接，三維模型給空間信息提供了更為豐富展示空間，而且三維模型在可視化方面有著巨大的優(yōu)勢(shì)[9]。實(shí)驗(yàn)中二維模型轉(zhuǎn)化為三維模型即是將邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)切圓轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)切球，如圖8所示，投射針將要從正方體的多個(gè)方向發(fā)射，確?！巴饵c(diǎn)”在三維的坐標(biāo)系下分布均勻。同理，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)變化，使用內(nèi)切球和正方體的體積公式與投點(diǎn)在球內(nèi)和正方體內(nèi)的比值等于Pi/6，最后就能得到Pi的值，如圖7中公式所示。

使用Python代碼來(lái)實(shí)現(xiàn)三維模型的圖像，同樣需要定義N代表投射點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，n則代表投射在內(nèi)切球體之中小點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，用三個(gè)從-1到1之間的隨機(jī)值來(lái)代表投點(diǎn)所在的坐標(biāo)（即x軸，y軸和z軸） 就能近似地認(rèn)為投射在一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)，并創(chuàng)立三個(gè)列表來(lái)分別記錄這些坐標(biāo)，然后利用公式求得Pi值并用列記錄。最后利用畫(huà)圖工具將整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程呈現(xiàn)出來(lái)，如圖10所示。

將二維模型求出Pi近似值的方法略做修改即可等價(jià)地將三維模型Pi的近似值求出，如圖7中公式所示，利用數(shù)學(xué)函數(shù)將三維模型實(shí)驗(yàn)所求大量Pi值取平均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，將實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的大量Pi值都放進(jìn)圖中形成散點(diǎn)圖，并將這些值的平均值畫(huà)成一條紅線與Pi的真實(shí)值（3.1415926） 畫(huà)出的黑線相對(duì)比，如圖11所示。使用相同的坐標(biāo)刻度，可以清晰地對(duì)比二維圖形和三維模型的精確程度。同理，對(duì)三維模型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大量Pi值做一個(gè)領(lǐng)域半徑r，來(lái)剔除異常實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)值Pi，可以讓數(shù)據(jù)更加精確，方差和標(biāo)準(zhǔn)差都會(huì)縮小，所求的平均值離Pi的真實(shí)值更接近，如圖12所示。

5 總結(jié)

即使近現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展，然而對(duì)圓周率π的求值并沒(méi)有停止，計(jì)算仍在繼續(xù)，但它已經(jīng)不再被用在日常生活之中，研究的π意義已經(jīng)不再局限于簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算，一方面基于個(gè)人的興趣愛(ài)好，另一方面被用來(lái)檢測(cè)計(jì)算機(jī)性能的好壞以及公式的優(yōu)劣?，F(xiàn)如今，圓周率往往不再是一種被檢驗(yàn)的對(duì)象，而是同最大素?cái)?shù)相類(lèi)似地被當(dāng)作檢測(cè)工具，兩者皆用于檢測(cè)設(shè)備的先進(jìn)程度和算法的優(yōu)劣。

在本次研究中，使二維平面模型轉(zhuǎn)化為三維立體的模型，是秉持逐步向高緯度空間探索的精神。想要探索四維甚至更高維空間，就需要先投影到三維世界來(lái)看，將二維模型拓展到三維模型是不可或缺的一部分。人類(lèi)向高維度的探求是科學(xué)發(fā)展以來(lái)的永恒目標(biāo)，假設(shè)擁有足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)，從眾多三維模型中得到啟發(fā)，極有可能帶動(dòng)科學(xué)研究邁出一大步。

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【通聯(lián)編輯：梁書(shū)】

收稿日期：2021-11-28

基金項(xiàng)目：四川民族學(xué)院瀘定校區(qū)校園網(wǎng)建設(shè)關(guān)鍵技術(shù)研究（XYZB2009ZB） ;四川民族學(xué)院基于微信小程序的食堂在線預(yù)約系統(tǒng)研究（XYZB2008ZB）

作者簡(jiǎn)介：李毅（1990—） ，男，四川巴中人，碩士研究生，助教，研究方向?yàn)樽顑?yōu)化算法。