丁敬國， 宋夢雪， 張志鴻， 郝學(xué)斌， 任連波， 魏子超

（1. 東北大學(xué) 軋制技術(shù)及連軋自動化國家重點實驗室， 沈陽 110819； 2. 河鋼邯鋼邯寶熱軋廠， 河北 邯鄲 056003）

在熱連軋精軋過程中，精軋機(jī)組軋制規(guī)程的制定對帶鋼的板形質(zhì)量、組織結(jié)構(gòu)以及力學(xué)性能起著至關(guān)重要的作用，對生產(chǎn)能量損耗、機(jī)械設(shè)備損耗、參數(shù)調(diào)整難易程度、生產(chǎn)過程穩(wěn)定性、生產(chǎn)效率等方面均有直接的影響［1］.啟發(fā)式智能算法包括遺傳算法、蜂群算法、蛙跳算法、粒子群算法、人工魚群算法、蟻群算法等，這些算法都是以模仿生物活動的方式尋求問題最優(yōu)解.它們具有對數(shù)學(xué)模型的要求簡單、搜索快等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于以板形為目標(biāo)的負(fù)荷分配優(yōu)化［2-4］.賈樹晉等［5］開發(fā)了一種基于Maximin 適應(yīng)度函數(shù)的多目標(biāo)群智能算法，用于優(yōu)化熱軋生產(chǎn)計劃與負(fù)荷分配問題，解決了優(yōu)化目標(biāo)權(quán)重選擇困難的問題.金陽［6］利用多目標(biāo)蟻群算法對熱連軋負(fù)荷分配進(jìn)行優(yōu)化，并通過仿真實驗證明了該算法的有效性.

在非穩(wěn)態(tài)軋制過程中，基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立的板形控制系統(tǒng)已不能滿足板形精度的要求.因此，本文中以國內(nèi)某1 580 mm產(chǎn)線為研究對象，通過改進(jìn)快速非支配排序遺傳算法，優(yōu)化負(fù)荷分配手段和提高板形控制的預(yù)設(shè)精度，使軋制力、溫度等參數(shù)盡快進(jìn)入穩(wěn)態(tài)軋制水平，最終達(dá)到改善板形的目的.

1 改進(jìn)的快速非支配排序遺傳算法

1.1 快速非支配排序遺傳算法

1995 年，Srinivas 和Deb［7］提出了非支配排序遺 傳 算 法 （ Non?dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA），利用Pareto 支配關(guān)系對種群個體進(jìn)行非支配層分配，利用共享函數(shù)對非支配層賦予適應(yīng)值.非支配層的排列和共享策略可使非支配解以群體進(jìn)化的方式朝著Pareto 優(yōu)化區(qū)域?qū)?yōu)［8］，但對種群的個體進(jìn)行非支配排序會使計算量變大.同時，在進(jìn)化過程中，由于NSGA 不采用精英保存策略，會發(fā)生優(yōu)秀非支配流失的現(xiàn)象，導(dǎo)致搜索效率降低.此外，共享函數(shù)中的參數(shù)對種群多樣性的影響較大，這也在一定程度上降低了NSGA 的通用性［9-12］.

為了減少計算時間和優(yōu)化迭代方式，Deb等［13］又提出了快速非支配排序遺傳算法.該算法將上一代所有個體（種群Pi）和經(jīng)過遺傳操作得到的子代個體（種群Qi）進(jìn)行合并，得到規(guī)模為2N的種群Ri；對Ri中的個體進(jìn)行快速非劣排序賦值irank，并對處于同一非劣等級的個體按擁擠度排序賦值id；根據(jù)irank和id選出N個優(yōu)良的個體形成父代種群Pi＋1，并進(jìn)行選擇、交叉和變異，產(chǎn)生新的子代種群Qi＋1，如此循環(huán)操作，實現(xiàn)種群的遺傳進(jìn)化.這樣可增大Pareto 有效解的采樣空間，避免由意外原因或優(yōu)良個體大于種群規(guī)模導(dǎo)致優(yōu)良個體丟失的現(xiàn)象發(fā)生，同時保證在迭代過程中產(chǎn)生的所有最優(yōu)解都被保留到下一代中，種群也一直沿著最優(yōu)的方向進(jìn)化，提高了遺傳算法的收斂速度.

擁擠度定義為目標(biāo)空間中某個給定點周圍分布點的密集程度.種群個體xi的擁擠度id為同一非支配層中周圍僅包含個體的局部擁擠距離.

擁擠距離的計算過程如下：種群中每個個體id＝0，經(jīng)非支配排序后，邊界兩端個體的擁擠度為id＝Nd＝0，即邊界上的兩個個體均可被選擇進(jìn)入下一代種群.

其他個體的擁擠度id計算公式如下：

種群中每個個體均含有非支配層級irank和擁擠度id兩個屬性參數(shù).采用二元錦標(biāo)賽比較兩個個體可發(fā)現(xiàn)，irank越小的個體越優(yōu)；irank相等時，id越大的個體越優(yōu).此外，采用擁擠距離解決了小生境參數(shù)和共享半徑不易確定的問題，從而減少了遺傳算法的主觀性.NSGA 的具體運(yùn)算步驟如下：

步驟1：在約束條件下和邏輯邊界內(nèi)，任意生成數(shù)量為N的初始種群P0，使用二元錦標(biāo)賽選擇對P0中個體進(jìn)行交叉和變異操作，產(chǎn)生的新個體形成規(guī)模為N的種群Q0.

步驟2：將P0，Q0合并成個體數(shù)量為2N的種群R0，對種群R0中個體進(jìn)行非支配排序并賦值irank，根據(jù)irank從小到大（個體最優(yōu)到劣）的順序依次將個體加入到P1中，直至種群P1數(shù)量達(dá)到N為止.具體操作過程如下：從層級F1開始向Fn逐層選擇個體放入P1中，如果某一層級之前放入的個體數(shù)量不夠N時，則選擇irank＋1 層級的個體放入；如果某一層級將其個體全部放入P1中，數(shù)量超過N，則需要對該層級內(nèi)的所有個體按擁擠度排序，優(yōu)先選擇該層級中個體id大的放置P1中，直至種群數(shù)量達(dá)到N.

步驟3：對新的父代種群P1中個體進(jìn)行非劣等級分類和擁擠度計算，使用二元錦標(biāo)賽選擇P1中的個體獲得可進(jìn)行交配的父代個體，經(jīng)一般遺傳算法的交叉與變異算子類似的遺傳操作后，再執(zhí)行精英保留選擇出P2；對P2中個體再進(jìn)行非劣等級分類和擁擠度計算，如此循環(huán)操作，直至超過設(shè)定遺傳代數(shù)n時，輸出Pn.

1.2 改進(jìn)的NSGA

改進(jìn)的NSGA（NSGA?Ⅱ）使用快速非支配排序和擁擠距離進(jìn)行計算，這樣每代產(chǎn)生的非支配最優(yōu)解都能通過精英保留被選擇到下一代種群中，非支配等級越低的個體越容易被選入下一代種群，且所有個體會快速向Pareto 前沿區(qū)域靠攏.但這也導(dǎo)致進(jìn)入下一代的個體質(zhì)量相同，降低了種群進(jìn)程中的多樣性，忽略了潛在最優(yōu)個體，會對問題的最優(yōu)解造成影響.為了在保留每代最優(yōu)個體的同時，也能在種群全區(qū)域內(nèi)尋找潛在的最優(yōu)解，在NSGA?Ⅱ的精英保留過程中加入了基于K近鄰的選擇策略.先利用快速非支配排序和擁擠距離挑選優(yōu)良個體，再利用K 近鄰策略選擇種群中稀疏區(qū)域的點.為了能夠動態(tài)地調(diào)整變異算子，隨著迭代次數(shù)增加，對變異算子進(jìn)行改進(jìn)，使變異率在前期優(yōu)良個體較少的情況下仍維持較高，保證種群的多樣性，也使后期聚集在Pareto 前沿不易變異或降低變異率的個體能順利找到最優(yōu)解.最后，通過實驗驗證改進(jìn)算法在提升解的多樣性和均勻性方面的效果.

1.2.1 K 近鄰的選擇策略

在精英保留選擇過程中，為增加種群的多樣性，除考慮Pareto 前沿上的個體外，還應(yīng)當(dāng)考慮位于種群內(nèi)部稀疏區(qū)域的個體，而K 近鄰方式正好可以找出位于稀疏區(qū)域的個體［14-15］.K 近鄰的邏輯是：在特定空間中，若距離待定對象最鄰近的k個樣本在某一屬性上大部分為同一類，那么將該對象歸為同一類.本文中采用某個體相近的k個樣本（通過實驗驗證k取5 效果較好）平方和的平方根來衡量個體的稀疏性.一般認(rèn)為，樣本平方和的平方根值越大的個體，其周邊的個體距離它也越遠(yuǎn)，則該個體在空間中越稀疏.如圖1 所示，二維空間中b點所在區(qū)域比a點的稀疏.

圖1 K 近鄰分散點Fig.1 K nearest neighbor scatter

基于上述的K 近鄰策略，給出新的精英保留步驟：

步驟1：對Rt中的所有個體按照快速非支配排序，劃分為等級F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n.

步驟2：將F1中所有個體放到下一代種群Pi＋1中，判斷Pt＋1的規(guī)模是否達(dá)到N.如果超過N，則轉(zhuǎn)步驟3；如果未達(dá)到N，則轉(zhuǎn)步驟4.

步驟3：對F1中所有個體按擁擠度排序，優(yōu)先選擇該層級中個體id大的放置Pt＋1中，直至種群數(shù)量達(dá)到N.

步驟4：將F1中所有個體放到下一代種群Pt＋1中，同時將它們從Rt中刪除，形成種群St，對種群St中的所有個體求出它們之間的歐氏距離.對于任意一個個體i，找出與i距離最近的其他5個體，并計算與k個體歐氏距離的總和，記作iSUM.根據(jù)個體iSUM的值，從大到小選擇個體放入Pt＋1中，直至種群數(shù)量達(dá)到N.

1.2.2 變異算子

在遺傳算法迭代過程中，初始階段的種群整體較差，必須廣泛地產(chǎn)生新個體以快速搜索最優(yōu)解，增加種群多樣性.隨著迭代次數(shù)的增加，種群個體越來越向Pareto 前沿移動，導(dǎo)致個體在較小范圍內(nèi)變異.基于這樣的性質(zhì)，本文中對變異算子進(jìn)行如下改進(jìn)：

式中：t為算法目前迭代次數(shù)；T為總的迭代次數(shù)；N（μ，σ）為正態(tài)分布.由式（2）可知，變異后的值由兩部分決定，一部分的比重隨著迭代次數(shù)的增加而減小，而另一部分的比重隨之增大.初始階段最優(yōu)解相對較少，需從全局出發(fā)搜索，增加個體突變量，但由于熱連軋過程中壓下量會隨著機(jī)架號的增大逐漸減小，故加入了動態(tài)系數(shù)；中后期階段種群則需要較強(qiáng)的局部搜索能力，在最優(yōu)區(qū)域周圍搜索，發(fā)現(xiàn)更優(yōu)解.

2 板形優(yōu)化建立的目標(biāo)函數(shù)和約束條件

2.1 目標(biāo)函數(shù)

在智能算法中，目標(biāo)函數(shù)常作為適應(yīng)度函數(shù)來決定向量解的優(yōu)化方向.本文中通過軋制力、溫度、凸度等數(shù)學(xué)模型表示熱連軋過程中各參數(shù)變量之間的關(guān)系，并以這些模型為基礎(chǔ)建立目標(biāo)函數(shù).

對前2 個機(jī)架進(jìn)行均衡分配時，需要考慮第1 機(jī)架帶鋼咬入，且要為厚度波動調(diào)節(jié)留有余量，使軋制力稍小.因此，前2 個機(jī)架的目標(biāo)函數(shù)如下：

對于第4～6 機(jī)架，需保證帶鋼在機(jī)架之間的相對凸度差滿足Shohet 評判準(zhǔn)則公式，使目標(biāo)函數(shù)的出口相對凸度接近實際需要，即

當(dāng)決策變量為每個機(jī)架出口厚度h1-h5時，可求解出5 個未知數(shù)和5 個目標(biāo)函數(shù).

2.2 約束函數(shù)

在實際生產(chǎn)過程中，為保證負(fù)荷分配在合理的范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化，需要對精軋機(jī)組的工藝參數(shù)和機(jī)架設(shè)備載荷參數(shù)進(jìn)行一定程度的限制.因此，本文中做出以下約束條件.

（1）為保證帶鋼能被順利咬入且在機(jī)架間正常穿帶，第1 機(jī)架工作輥壓下量的表達(dá)式為

式中：α為咬入角，rad；μ為熱軋摩擦系數(shù).

（2）為保證長期生產(chǎn)的穩(wěn)定性，避免輥型被破壞或工作輥斷裂，對各機(jī)架的軋制力和軋制力矩進(jìn)行限制，即

3 實際應(yīng)用

3.1 設(shè)備及工藝參數(shù)

本文采用的機(jī)架設(shè)備參數(shù)如表1 和表2 所列，坯料原始數(shù)據(jù)和產(chǎn)品目標(biāo)尺寸如表3 所列.

表1 軋機(jī)設(shè)備參數(shù)Table 1 Rolling mill equipment parameters

表2 橫向剛度系數(shù)KpTable 2 Lateral stiffness coefficient Kp

表3 坯料輸入?yún)?shù)和產(chǎn)品目標(biāo)參數(shù)Table 3 Slab primary and target parameters

3.2 應(yīng)用結(jié)果和分析

利用GA 和改進(jìn)的NSGA?Ⅱ，分別以式（7）和（8）為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行負(fù)荷分配測試.在GA 實驗中，設(shè)置種群大小M＝100，最大的遺傳代數(shù)T＝100；在NSGA?Ⅱ算法中，設(shè)置算法種群大小M＝100，最大的遺傳代T＝30.GA 測試耗時194 s，迭代曲線如圖2 所示，運(yùn)算結(jié)果見表4；NSGA?Ⅱ測試耗時135 s，Pareto 最優(yōu)前沿分布如圖3 所示，運(yùn)算結(jié)果見表5；板形最優(yōu)結(jié)果和經(jīng)驗法的運(yùn)算結(jié)果分別見表6 和表7.

圖2 迭代收斂性曲線Fig.2 Iterative convergence curve

圖3 Pareto 最優(yōu)前沿分布Fig.3 Pareto’s best frontier

表4 GA 的優(yōu)化負(fù)荷分配結(jié)果Table 4 Load distribution optimization results of GA

表5 NSGA?Ⅱ的優(yōu)化負(fù)荷分配結(jié)果Table 5 Load distribution optimization results of NSGA?Ⅱ

表6 基于NSGA?Ⅱ的板形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Table 6 Optimization results of shape parameters based on NSGA?Ⅱ

表7 經(jīng)驗法負(fù)荷分配的結(jié)果Table 7 Results of empirical load distribution

基于表4、表6 和表7 中的負(fù)荷分配數(shù)據(jù)，分別采用經(jīng)驗法、GA 和NSGA?Ⅱ計算得到了各機(jī)架的出口厚度、軋制力、相對凸度以及相對凸度差，結(jié)果如圖4～7 所示.

圖4 出口厚度對比柱狀圖Fig.4 Histogram of outlet thickness comparison

從圖4 可以看出， GA 和NSGA?Ⅱ優(yōu)化得到的機(jī)架F3～F6 出口厚度均比經(jīng)驗法的厚度要小，這為后面機(jī)架的軋制力和彎輥力留足了調(diào)節(jié)空間，也為板形控制奠定了良好的基礎(chǔ).從圖5 中機(jī)架F1～F3 軋制力的分布可知，相比于經(jīng)驗法的分配，GA 和NSGA?Ⅱ基本實現(xiàn)了前3 個機(jī)架軋制負(fù)荷的均衡分配，其中機(jī)架F3 的軋制能力得到了更充分地發(fā)揮，且機(jī)架F3 的軋制力大小與機(jī)架F2的基本相等，這為后續(xù)機(jī)架的軋制力和彎輥力留有調(diào)整的余地，從而可以更好地控制板形.由圖6可知，經(jīng)驗法中機(jī)架F2 的相對凸度較大，機(jī)架F3～F6的負(fù)荷分配不合理，使得后續(xù)機(jī)架的相對凸度波動較大，而GA 和NSGA?Ⅱ中機(jī)架F4 ～F6的相對凸度波動較小.由圖7 可知，經(jīng)驗法中機(jī)架F4 和F5 的相對凸度差不在板形良好的區(qū)域內(nèi)，而NSGA?Ⅱ和GA 的負(fù)荷分配方案能使帶鋼更快地進(jìn)入板形良好區(qū)域，且后3 個機(jī)架相對凸度的差值與經(jīng)驗法的相比波動較小，從而保證了帶鋼的良好板形.對比圖6 和圖7 還可以發(fā)現(xiàn)，GA 和NSGA?Ⅱ的優(yōu)化結(jié)果將F5 和F6 相對凸度誤差從4.63%分別降低到了1.06%和0.79%.

圖5 軋制力對比曲線Fig.5 Comparison curve of rolling force

圖6 相對凸度對比曲線Fig.6 Comparison curve of relative crown

圖7 相對凸度差曲線Fig.7 Curves of relative crown difference

結(jié)合圖4 ～7 可以看出，經(jīng)NSGA?Ⅱ優(yōu)化后，各機(jī)架出口厚度、軋制力以及相對凸度與GA 優(yōu)化結(jié)果大致相同，GA 和NSGA?Ⅱ優(yōu)化的相對凸度差均在板形良好范圍內(nèi).為了更準(zhǔn)確地判斷兩者的差異，將GA 和NSGA?Ⅱ優(yōu)化的機(jī)架F4 ～F6 相對凸度差做成柱狀圖進(jìn)行比較，結(jié)果如圖8 所示.

圖8 NSGA?Ⅱ和GA 相對凸度差柱狀對比圖Fig.8 Histogram of relative crown difference of NSGA?Ⅱand GA

從圖8 中可看出，NSGA?Ⅱ中機(jī)架F4 ～F6 的相對凸度差比GA 的小， NSGA?Ⅱ中機(jī)架F6 相對凸度差為-0.000 009 88，GA 為-0.000 050 47.另外，NSGA?Ⅱ的迭代次數(shù)相對較少，耗時短，在軋制帶鋼前可以進(jìn)行多次設(shè)定以獲得更精確的預(yù)設(shè)定值.這一方面可以提高帶鋼在開始非穩(wěn)態(tài)軋制時的板形質(zhì)量，另一方面在帶鋼進(jìn)入穩(wěn)態(tài)軋制階段時，可以給閉環(huán)控制系統(tǒng)提供良好的初始點，使閉環(huán)系統(tǒng)快速完成對板形的調(diào)節(jié)，縮短非穩(wěn)態(tài)軋制過程時間，從而減少損失.

綜上所述，從熱連軋負(fù)荷分配的整體上看，NSGA?Ⅱ和GA 的負(fù)荷分配大致相同并且優(yōu)于經(jīng)驗法；在板形的控制方面，NSGA?Ⅱ優(yōu)于GA.

4 結(jié) 論

（1）提出了改進(jìn)的快速非支配排序遺傳算法（NSGA?Ⅱ），在NSGA?Ⅱ的選擇操作中引入了K近鄰的選擇策略，并根據(jù)軋制工藝對NSGA?Ⅱ的變異操作進(jìn)行了優(yōu)化.

（2）為降低非穩(wěn)態(tài)軋制過程負(fù)荷分配對板形的影響，通過智能算法GA 和改進(jìn)后的NSGA?Ⅱ進(jìn)行負(fù)荷分配優(yōu)化.實驗結(jié)果顯示兩種算法的優(yōu)化結(jié)果均比經(jīng)驗法合理.GA 和NSGA?Ⅱ的優(yōu)化結(jié)果將F5 和F6 相對凸度誤差從4.63%分別降低到了1.06%和0.79%，且NSGA?Ⅱ在末機(jī)架的相對 凸 度 差 為- 0.000 009 88， 小 于 GA 的-0.000 050 47，板形方面的優(yōu)化結(jié)果更優(yōu)于GA.