幾何體外接球半徑的幾種求法

張宇

幾何體的外接球是指一個幾何體的各個頂點都在一個球面上的球體．幾何體外接球的半徑問題在各類試題中經(jīng)常出現(xiàn)，側重于考查同學們的抽象思維能力、空間想象能力與運算能力，通常難度較大．下面，結合例題探討一下求解幾何體外接球半徑的幾種方法，

一、補形法

若問題中給出的幾何體不規(guī)則，則可采用補形法，將空間幾何體補成一個規(guī)則的空間幾何體，如圓錐、正三棱柱、正三棱錐等，便可以根據(jù)新幾何體的性質與特點，確定空間幾何體的中心位置，即球心的位置，然后根據(jù)正余弦定理、勾股定理、兩點間的距離公式來求得幾何體外接球的半徑．

若已知三個平面兩兩互相垂直，我們就可以運用補形法，將空間幾何體補為一個規(guī)則的、熟悉的長方體，這樣便可以根據(jù)長方體的對角線即為其外接球的直徑，來建立關于半徑的關系式，運用補形法解題較為簡便，不僅能簡化計算的過程，還能有效降低問題的難度，

二、定義法

球的半徑是指到球心的距離都相等的點的集合，那么外接球的球心到幾何體的所有頂點的距離都相等，故求幾何體外接球半徑，實質上就是要確定外接球球心的位置，即在空間中找到幾何體上的每一個頂點的距離都相等的點，求出該距離，即可解題，

根據(jù)題意難以確定正三棱錐P-ABC外接球的球心位置，于是采用定義法，根據(jù)球的半徑的定義，找到正三棱錐P-ABC上的部分頂點距離都相等的點的軌跡，再根據(jù)該點到三棱錐上其他點的距離都相等的關系，來建立數(shù)量關系式，就能順利確定出該點的位置，并求出外接球的半徑，

三、建系法

有時候，我們根據(jù)題意和幾何體的圖形難以確定球心的位置，此時就需要根據(jù)幾何體的特點和性質建立空間直角坐標系，采用建系法來求解空間幾何體外接球的半徑．首先建立合適的空間直角坐標系，然后設出球心的坐標，并求出空間中各個點和線段的坐標，這樣就可以順利用向量表示出球心到幾何體各個頂點的距離，建立相應的關系式，即可求出球心的坐標以及球的半徑．

運用此種方法解題，關鍵在于建立合適的空間直角坐標系．一般地，要盡量使更多的點在同一個平面或一條直線上，這樣可以有效地減少運算量．

總之，求幾何體外接球的半徑，關鍵在于要找到外接球的球心位置，同學們在解題時，可根據(jù)幾何體的結構特征和已知的信息，采用補形法、定義法、建系法來求解，一般來說，補形法較為簡單，定義法和建系法較為復雜，且解題過程中的運算量較大，但定義法的應用范圍更廣．

（作者單位：江蘇省大港中學）