趙海

［摘 要］以“小數(shù)的意義”的教學(xué)為例，立足新課程標(biāo)準(zhǔn)，提出促進學(xué)生深度理解知識的有效路徑，即立足經(jīng)驗，把握學(xué)習(xí)起點；豐富經(jīng)驗，理解小數(shù)本質(zhì)；拓展經(jīng)驗，深化學(xué)生理解，以使學(xué)生獲得深刻的數(shù)學(xué)理解，促進學(xué)生在思維和能力方面的進步和發(fā)展。

［關(guān)鍵詞］小數(shù)的意義；經(jīng)驗；過程；理解

［中圖分類號］ G623.5［文獻標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0057-03

課程標(biāo)準(zhǔn)提出，數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)， 讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時， 在思維能力、 情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，所有的知識都是在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上建構(gòu)起來的。因此，在教學(xué)中，教師要立足學(xué)生的已有經(jīng)驗，將學(xué)生的已有經(jīng)驗作為教學(xué)的起點，從而促進學(xué)生對知識的理解。

特級教師俞正強在《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的起點在哪里》一文中指出：“在學(xué)習(xí)目標(biāo)既定的情況下，起點的選擇決定著認(rèn)知發(fā)展過程的距離長短?！币獙崿F(xiàn)科學(xué)的“起點的選擇”，就需要教師基于學(xué)生的已有經(jīng)驗，使數(shù)學(xué)教學(xué)有效對接學(xué)生的已有經(jīng)驗，由此降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)坡度，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愉悅感。

一、立足經(jīng)驗，把握學(xué)習(xí)起點

美國教育心理學(xué)家奧蘇泊爾說 ：“影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么?！睂W(xué)生的學(xué)習(xí)起點是數(shù)學(xué)教學(xué)活動展開的基礎(chǔ)和前提。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識之前并非一張白紙，他們已經(jīng)具有一定的知識儲備和生活經(jīng)驗，這是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的現(xiàn)實基礎(chǔ)。教材將“小數(shù)的認(rèn)識”分為兩個階段：第一階段，主要是依托模型并結(jié)合具體情境來認(rèn)識小數(shù)；第二階段，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識了小數(shù)，因此這個階段主要是溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)的聯(lián)系，實現(xiàn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互相轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生脫離具體情境，從更高層次上認(rèn)識小數(shù)，從而對小數(shù)的認(rèn)識由“形式模仿”走向真正的“意義理解”。第二階段的學(xué)習(xí)是以第一階段為基礎(chǔ)的。因此，在“小數(shù)的意義”一課中，教師要注意立足學(xué)生已有的知識儲備和生活經(jīng)驗，從而精準(zhǔn)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。

【教學(xué)片段1】

師：星期天，淘氣到商店去買東西，他看到某種商品的價格為1.11元/千克。那么，1.11元是多少錢呢？

生₁：我們已經(jīng)學(xué)過了，0.1元是1角，0.01元是1分，所以1.11元是1元1角1分。

師：我們現(xiàn)在已經(jīng)初步認(rèn)識了分?jǐn)?shù)，你能用分?jǐn)?shù)來說一說1.11元的含義嗎？

生₂： 1角是1元的1/10，也可以寫成0.1元；1分是1元的1/100，也可以寫成0.01元。

師：1/10元 = 0.1元，1/100元 = 0.01元。1/10與0.1之間，以及1/100與0.01之間是什么關(guān)系？

生₃：相等。1/10?= 0.1，1/100?= 0.01。

師：你能用相同的思路解釋1.11米的含義嗎？

生₄：我知道1.11米等于1米1分米1厘米。1分米是1米的1/10，也可以寫成0.1米；1厘米是1米的1/100，也可以寫成0.01米。

生₅：同樣可以得出1/10?= 0.1，1/100?= 0.01。

教育家杜威認(rèn)為，一盎司經(jīng)驗勝過一噸理論。教學(xué)中，教師借助人民幣和長度單位的生活模型，引導(dǎo)學(xué)生解釋1.11元和1.11米的含義，這就充分激活了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，喚醒了學(xué)生對“1角= 0.1元，1分 = 0.01元；1分米 = 0.1米，1厘米 = 0.01米”的知識記憶，還幫助學(xué)生理解了“1角是1元的1/10，1分是1元的1/100；1分米是1米的1/10，1厘米是1米的1/100”，進而使學(xué)生感知小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，初步理解小數(shù)本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。

二、豐富經(jīng)驗，理解小數(shù)本質(zhì)

學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念是一個循序漸進、逐漸深入的過程。認(rèn)知心理學(xué)研究結(jié)果證實，概念的形成其實可以分為兩個階段， 即從完整表象上升為抽象概念，實現(xiàn)抽象概念在思維過程中的具體再現(xiàn)。如果把抽象的概念看作種子的堅硬外殼，怎樣才能讓其變得柔軟呢？最好的辦法就是對接學(xué)生的已有經(jīng)驗，用直觀形象的表述，用有生命溫度的數(shù)學(xué)活動，像水一樣軟化種子的堅硬外殼，從而直抵概念的內(nèi)核。小數(shù)的概念是抽象的，在立足于學(xué)生的基本經(jīng)驗，引領(lǐng)學(xué)生借助生活情境和生活模型實現(xiàn)了對小數(shù)的初步認(rèn)識后，教師應(yīng)當(dāng)進一步豐富學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生從更深層次上理解小數(shù)的本質(zhì)。在教學(xué)片段1中，學(xué)生是在模型的框架內(nèi)認(rèn)識1.11元和1.11米的，接下來教師就需要引導(dǎo)學(xué)生脫離具體的情境去感悟小數(shù)的本質(zhì)，使學(xué)生更深刻地理解小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，感悟具有普遍適用性的小數(shù)的意義。

【教學(xué)片段2】

師：如果用1個正方形表示“1”，把它平均分成10份，其中的1份可以怎樣表示呢？

生₁：其中的1份是1/10，也可以用小數(shù)0.1來表示。（出示圖1）

師：如果我要表示其中的3份呢？

生₂：其中的3份是3/10，也可以用小數(shù)0.3來表示。（出示圖2）

師：0.7是怎樣得到的？你能想象出這個圖形嗎？

生₃：0.7就是7/10，也就是把“1”平均分成10份，取出其中的7份。因此只需要把正方形中的7份涂上顏色就可以表示0.7了。

師：觀察上面的數(shù)，說一說你的發(fā)現(xiàn)。

生₄：把“1”平均分成10份，其中的幾份就是十分之幾，用小數(shù)表示就是零點幾。

生₅：這些分?jǐn)?shù)的分母都是10。

生₆：分母是10的分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化成一位小數(shù)。

師：如果用1個正方形表示“1”，將它平均分成100份，其中的1份怎樣表示？

生7：其中的1份是1/100，也可以用小數(shù)0.01來表示。

師：如何表示其中的23份呢？

生₈：其中的23份是23/100，也可以用小數(shù)0.23來表示。

師：0.03是怎樣得到的，能在百格圖中畫出來嗎？

生₉：0.03就是3/100，也就是把“1”平均分成100份，表示其中的3份，所以只需要把正方形中的3份涂上顏色就可以表示0.03了。

師：觀察我們分析過的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生₁₀：這些分?jǐn)?shù)的分母都是100。

生₁₁：分母是100的分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化成兩位小數(shù)。

師：如果把“1”平均分成1000份，其中的1份是（? ? ? ?）/（? ? ? ?），也可以表示為（ ）；其中的59份是（? ? ? ?）/（? ? ? ?），也可以表示為（ ）；其中的123份是（? ? ? ?）/（? ? ? ?），也可以表示為（ ）。

（學(xué)生思考并交流）

師：現(xiàn)在，你能說一說小數(shù)和分母是1000的分?jǐn)?shù)間的關(guān)系嗎？

生₁₂：分母是1000的分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化成三位小數(shù)。

師：現(xiàn)在，如果把1.11元和1.11米的單位去掉，你能用圖形表示“1.11”嗎？

（學(xué)生探究后得出圖3）

教學(xué)中，教師巧用格子圖，簡明地溝通了分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，并將這種抽象的關(guān)系通過圖示具體、直觀地表示出來，從而使學(xué)生逐漸擺脫具體情境和生活模型，從本質(zhì)上理解小數(shù)的意義，使一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)的關(guān)系在學(xué)生頭腦中達成聯(lián)結(jié)和深化，將數(shù)的抽象性和幾何的直觀性有機結(jié)合起來。

三、拓展經(jīng)驗，深化學(xué)生理解

從知識的產(chǎn)生和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來看，學(xué)生需要借助大量的現(xiàn)實情境做依托來理解小數(shù)的意義，但是如果學(xué)生的理解僅僅局限于具體的情境和模型，這樣的理解是淺顯的。因此，教師運用格子圖使學(xué)生擺脫具體情境，進而從本質(zhì)上理解小數(shù)的意義是極為必要的。然而，在筆者看來，教學(xué)還不能止步于此。因為小數(shù)的意義經(jīng)常被運用在單位的轉(zhuǎn)化中，而這又是學(xué)生容易出錯的地方。因此，教師應(yīng)該拓展人民幣單位和長度單位模型，將小數(shù)的意義延伸到時間單位、面積單位和質(zhì)量單位之中，只有這樣才能讓學(xué)生更有效地理解小數(shù)的意義，并能正確地運用小數(shù)的意義解決實際問題。

【教學(xué)片段3】

師：0.7時等于多少分呢？

生₁：根據(jù)0.7米 = 7分米，0.7元 = 7角，所以0.7時 = 7分鐘。

生₂：不對?！?.7”的含義是把“1”平均分成10份，其中的7份是7/10，也可以用0.7來表示。把1米平均分成10份，其中的7份是7/10米，還可以用0.7米來表示，也就是7分米。把1元平均分成10份，其中的7份是7/10元，還可以用0.7元來表示，也就是7角。但是，如果是0.7時，那就是把1小時平均分成10份，每份是6分鐘，表示其中的7份，也就是6×7 = 42（分鐘）。

生₃：我還是不能理解為什么0.7時≠7分鐘。

生₄：這是因為米、分米之間的進率和元、角之間的進率都是10，而小時和分鐘之間的進率是60。

師：對，帶有單位的分?jǐn)?shù)和小數(shù)進行轉(zhuǎn)化時，厘清它們之間的進率是非常重要的。

師：在計算0.3平方米=（ ）平方分米時，淘氣和笑笑發(fā)生了分歧。淘氣認(rèn)為，0.3米 = 3分米，所以0.3平方米 = 3平方分米。而笑笑則認(rèn)為，0.3平方米=30平方分米，她的理由是：因為3平方米 = 300平方分米，所以0.3平方米 = 30平方分米。你認(rèn)為誰說得對？

生₅：笑笑的結(jié)論是正確的。我們剛才已經(jīng)達成了共識，帶有單位的分?jǐn)?shù)和小數(shù)的轉(zhuǎn)化，要注意它們之間的進率。平方米和平方分米之間的進率是100，0.3平方米的含義是把1平方米平均分成10份，每份是10平方分米，表示其中的3份，那就是10×3=30（平方分米）。

師：我們在認(rèn)識小數(shù)的意義時，是結(jié)合人民幣單位和長度單位模型進行思考的，這是因為元、角、分和米、分米、厘米相鄰單位之間的進率都是10，這和小數(shù)中“10個0.1等于1，10個0.01等于0.1”有相通之處。但是，延伸到時間單位、面積單位之中，由于相鄰單位的進率不是10，這個時候我們需要根據(jù)小數(shù)的意義并結(jié)合單位之間的進率進行轉(zhuǎn)化。

師：現(xiàn)在，同學(xué)們能夠自主計算12克=（ ）千克嗎？（填小數(shù)）

生₆：1千克=1000克，1克= 1/1000千克= 0.001千克，12克 = 12/1000?= 0.012千克。

師：對，克與千克之間的進率是1000，同學(xué)們在進行單位轉(zhuǎn)化時要注意這一點。

教學(xué)中，在學(xué)生能夠從人民幣單位和長度單位模型以及格子圖的視角理解小數(shù)意義的基礎(chǔ)上，教師結(jié)合學(xué)生已有的知識儲備，進一步提升學(xué)生的認(rèn)識高度，將小數(shù)的意義拓展到時間單位、面積單位等。這不但使學(xué)生更好地理解了小數(shù)的意義，還引導(dǎo)學(xué)生對帶單位的分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化進行了辨析，可謂一舉兩得。

課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上?！币虼耍處熞獜膶W(xué)生已有的知識儲備和生活經(jīng)驗出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過激活、對接、豐富、拓展學(xué)生的經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生的思維緩慢爬坡、拾級而上，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識產(chǎn)生和發(fā)展的真實過程，獲得深刻的數(shù)學(xué)理解，促進學(xué)生在思維和能力方面的進步和發(fā)展。

（責(zé)編 金 鈴）