摘要：函數(shù)和不等式是歷年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文介紹了在不等式恒成立或方程的問題中含參數(shù)問題的幾種求參數(shù)取值范圍的方法.

關(guān)鍵詞：函數(shù)的性質(zhì)；參數(shù)的取值范圍；不等式

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0050-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：田素偉，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

函數(shù)和不等式是歷年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，近年來，數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)了一些重視基礎(chǔ)、考查能力的新型試題，特別是在不等式恒成立或方程的問題中含參數(shù)的問題更是精彩紛呈，如何求這類問題中參數(shù)的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說明.

1 構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的取值范圍

例1如果x∈2，3時(shí)，不等式2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析由2021x+a-2021ax2+1≥2022-x-a-2022-ax2-1，可得

2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=2021x-2022-x，

由此可知f（x）=2021x-2022-x在（-，+）是增函數(shù).

所以f（x+a）=2021x+a-2022-x-a，

f（ax2+1）=2021ax2+1-2022-ax2-1.

由2021x+a-2022-x-a≥2021ax2+1-2022-ax2-1可得

f（x+a）≥f（ax2+1）.

所以x+a≥ax2+1.

所以原題可化為：當(dāng)x∈2，3時(shí)，不等式x+a≥ax2+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

當(dāng)x∈2，3時(shí)，不等式ax2-x+1-a≤0恒成立，只需a≤x-1x2-1成立.

只需a≤1x+1成立.

只需a≤1x+1min即可.

又函數(shù)y=1x+1在x∈2，3上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=3時(shí)，ymin=14.

所以a≤14.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤14.

2 雙變量問題先確定主變量求參數(shù)的取值范圍

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x2021+x，x∈R，若當(dāng)θ∈0，π2時(shí)，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，求m的取值范圍.

分析本題中有兩個(gè)變量m和θ，題目中含有符號(hào)f，如何去掉f，利用函數(shù)的單調(diào)性即可.

解析由f（x）=x2021+x，顯然f（x）為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，

所以f（msinθ）>f（m-1）恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

由于θ∈0，π2，則sinθ∈0，1 ，

設(shè)t=sinθ，t∈0，1，

所以msinθ>m-1，

可化為mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

這里有兩個(gè)變量m和t，因?yàn)閠的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，設(shè)f（t）=mt-m+1，

（1）當(dāng)m=0時(shí)，此時(shí)f（t）=1>0符合題意;

（2）當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f（t）=mt-m+1是關(guān)于t的一次函數(shù)，

所以f（0）=-m+1>0，f（1）=m-m+1>0.

解得m<1且m≠0.

由（1）（2）可知：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-，1）.

評(píng)析本題利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩個(gè)變量m和t的不等式，因?yàn)閠的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，一般情況下含兩個(gè)變量m和t的不等式，如果其中一個(gè)變量的取值范圍能確定，那么就以這個(gè)變量為主變量，另外一個(gè)變量作為參數(shù).

3 在任意和存在性問題中求參數(shù)的取值范圍

例3已知函數(shù)f（x）=x+9x，g（x）=2x+m，若對(duì)任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）≤g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析若對(duì)任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）≤g（x2）.

等價(jià)于若對(duì)任意x1∈1，2，存在x2∈2，3，使得f（x1）max≤g（x2）max.由函數(shù)f（x）=x+9x的圖象可知，在x∈1，2上函數(shù)f（x）單調(diào)遞減（證明略）

所以函數(shù)f（x）max=f（1）=10.

因?yàn)間（x）=2x+m在區(qū)間2，3上單調(diào)遞增，

所以g（x）max=23+m=8+m.

所以10≤8+m.

所以m≥2.

例4已知f（x）=x2，g（x）=（12）x-m，若對(duì)任意x1∈［-1，3］，存在x2∈［0，2］，f（x1）≥g（x2），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析因?yàn)閷?duì)x1∈［-1，3］，x2∈［0，2］，f（x1）≥g（x2），

所以只需f（x）min≥g（x）min即可.

因?yàn)閒（x）=x2，g（x）=（12）x-m，

所以f（x）min=f0=0，g（x）min=g2=14-m.

由0≥14-m，解得m≥14.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍m≥14.

4 利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍

例5已知函數(shù)f（x）=-x2-2x，x≥0，log2x，x<0，若方程［f（x）］2+bf（x）+c=0恰有7個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析首先通過函數(shù)圖象變換作出f（x）的圖象（如圖1），因?yàn)殛P(guān)于f（x）的一元二次方程［f（x）］2+bf（x）+c=0最多只能解出2個(gè)f（x），若方程要恰有七個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，設(shè)［f（x）］2+bf（x）+c=0的兩個(gè)根分別是f1（x），f2（x），所以兩個(gè)函數(shù)值f1（x），f2（x）共對(duì)應(yīng)7個(gè)不同的x，假設(shè)函數(shù)值f1（x）對(duì)應(yīng)3個(gè)不同的x，f2（x）函數(shù)值共對(duì)應(yīng)4個(gè)不同的x，

設(shè)t=f（x），所以函數(shù)y=t與y=f1（x）圖象的交點(diǎn)是3個(gè)，函數(shù)y=t和y=f2（x）的圖象的交點(diǎn)是4個(gè)，由圖象可知t=1或t=0時(shí)，即f1（x）=1，函數(shù)y=t與y=f1（x）圖象的交點(diǎn)是3個(gè)，由圖象可知0

所以f1（x）=1或0，0

解析首先通過函數(shù)圖象變換作出f（x）的圖象（如圖1）.

因?yàn)殛P(guān)于f（x）的方程［f（x）］2+bf（x）+c=0最多只能解出2個(gè)f（x），若方程要恰有七個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，設(shè)［f（x）］2+bf（x）+c=0的兩個(gè)根分別是f1（x），f2（x），

（1）設(shè)當(dāng)f1（x）=1，0

方程的兩個(gè)根分別是t1，t2，

所以t1=1，t2∈（0，1）.

所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1+t2=-b.

所以t2=-t1-b，即t2=-1-b∈（0，1）.

所以0<-1-b<1.

所以-2

（2）設(shè)當(dāng)f1（x）=0，0

因?yàn)椋踗（x）］2+bf（x）+c=0，所以t2+bt+c=0.

方程的兩個(gè)根分別是t1，t2，所以t1=0，t2∈（0，1）.

所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得t1+t2=-b.

所以t2=-b.

所以0<-b<1，即-1

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是-2

5 利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的取值范圍

例6已知函數(shù)f（x）=log3（x+x2+1）-23x+1，若f2a-1+fa2-2≤-2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析根據(jù)條件先分析fx+f-x的結(jié)果，由此確定出gx=fx+1的奇偶性和單調(diào)性，再將問題轉(zhuǎn)化為“已知g2a-1≤g2-a2，求解a的取值范圍”，根據(jù)單調(diào)性列出關(guān)于a的不等式并求解出結(jié)果.

解析由題可知x∈R且

f-x=log3-x+x2+1-23-x+1，

所以fx+f-x=log3x+x2+1-23x+1+log3-x+x2+1-23-x+1

=log3-x2+x2+1-23x+1-2·3x3x+1=-2.

所以fx+1=-f-x+1.

設(shè)gx=fx+1，所以g-x=f-x+1.

即g-x=-gx.

又函數(shù)gx的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以gx是奇函數(shù).

由函數(shù)的性質(zhì)可知：

y=log3x+x2+1與y=-23x+1在0，+上單調(diào)遞增，

所以fx在0，+上單調(diào)遞增.

即gx在0，+上也單調(diào)遞增且g0=0.

又因?yàn)間x為奇函數(shù)，

所以gx在R上單調(diào)遞增.

不等式f2a-1+fa2-2≤-2

f2a-1+1≤-fa2-2+1，

所以g2a-1≤-ga2-2=g2-a2.

所以2a-1≤2-a2.

解得-3≤a≤1.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 許萬成.破解含參不等式恒成立問題的常見策略［J］.數(shù)理化解題研究，2021（25）：25-26.