分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用研究

邵雪潔 白偉

摘要：本文以2018-2022年數(shù)學(xué)（理）全國Ⅰ卷為例，統(tǒng)計了歷年分類討論思想求解的試題題型與分?jǐn)?shù)占比，并逐一舉例說明.讓教師與學(xué)生充分認(rèn)識分類討論思想的重要性與深刻性，為高中的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供可信參考與啟發(fā).

關(guān)鍵詞：分類討論；思想；高考題；應(yīng)用

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0107-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：邵雪潔（1993-），女，河南省信陽人，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

白偉（1983-），男，寧夏中寧人，碩士，教授，從事計算機技術(shù)與計算數(shù)學(xué)研究.

基金項目：寧夏高等學(xué)校一流學(xué)科建設(shè)（教育學(xué)學(xué)科）資助項目（項目編號：NXYLXK2017B11）.

1 前言

數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)獨特的思想與方法.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思想與方法尤為重要.2022年高考，數(shù)學(xué)試卷的難度再次成為社會熱點，很多學(xué)生抱怨高考題太難.這背后暴露的問題是沒有正確掌握高中數(shù)學(xué)思想與方法，知識學(xué)習(xí)與掌握流于表面，導(dǎo)致基礎(chǔ)不扎實，所以，教師在教學(xué)中要注重對學(xué)生思想方法的滲透，學(xué)生在學(xué)習(xí)中也要關(guān)注知識背后的數(shù)學(xué)思想方法.分類討論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種基本且重要的思想方法，可以有效將問題進(jìn)行簡單化處理，大大降低解題的難度.近幾年高考中，分類討論思想涉及題目所占分?jǐn)?shù)比例居高不下.因此，本研究從高考題出發(fā)，研究分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用，希望能為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供一些啟發(fā).

2 相關(guān)理論

《數(shù)學(xué)辭?！返诹碇赋觯悍诸愑懻摲椒ㄊ且环N常用的研究方法，當(dāng)被研究的問題包含多種可能的情況，而人們不能對它一概而論的時候，就需要按照問題出現(xiàn)的所有可能情況進(jìn)行討論，綜合每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，從而使問題得以解決的方法.

分類討論思想的關(guān)鍵在于分類，分類是將研究對象的全體按照一定的邏輯分成不同的小集合.分類需要遵循同一性原則和合理性原則，保證分類結(jié)果的準(zhǔn)確性.同一性原則，即同一問題的分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能交叉使用不同標(biāo)準(zhǔn)，這樣才能避免分類結(jié)果的重疊或超出討論對象的整體范圍.從集合的角度來看，被分類的大集合可以由小集合合并組成，且小集合的交集是空集.合理性原則要求分類要有依據(jù)，根據(jù)研究對象和問題進(jìn)行分類，而且要有利于問題的解決.當(dāng)進(jìn)行分類討論時，一般可以遵循以下步驟：確定討論對象的全體、對問題進(jìn)行合理分類、對不同子類分別進(jìn)行討論、將所有子類的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納.

3 分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用統(tǒng)計

為了得到高考對于分類討論思想考查的一般規(guī)律，筆者選取了2018年到2022年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷（理科）的5套試題為例，對題目類型、分?jǐn)?shù)占比和考查知識點三個方面進(jìn)行分析，分析結(jié)論見表1.

3.1 題目類型

從表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，高考對于分類討論思想考查的題目類型涵蓋了所有高考試題類型.填空和選擇大概率會涉及兩道題目，分值約10分.解答題中的考查基本設(shè)置在最后兩道綜合性較強的題目中和兩道選考題中，每套題目都有涉及，分值在25分左右.由此不難發(fā)現(xiàn)，對于分類討論思想的考查較為集中地分布在綜合性較強的難題之中.

3.2 分?jǐn)?shù)占比分析

從表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，2018-2022年高考題中關(guān)于分類討論思想考查的分?jǐn)?shù)占比均在20%-30%之間，每年分?jǐn)?shù)占比相對穩(wěn)定.從占比數(shù)值上來看，分類討論思想的應(yīng)用在高考考查中占有較大的比重，且居高不下，所以分類討論思想的教學(xué)和學(xué)習(xí)應(yīng)該受到教師和學(xué)生的特別重視.

3.3 考查內(nèi)容分析

縱觀5套高考題，關(guān)于分類討論思想的考查涉及內(nèi)容很廣，幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部內(nèi)容，主要包括概率問題、代數(shù)問題、函數(shù)問題、絕對值問題、幾何問題、數(shù)列問題等.分類討論思想運用范圍的廣泛性也決定了它在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位.

4 具體案例分析

4.1 函數(shù)問題

函數(shù)問題是高考考查的難點問題，分類討論思想與函數(shù)問題的結(jié)合也是屢見不鮮，而且常常是壓軸題目.函數(shù)單調(diào)性的討論、含參數(shù)問題、不等式恒成立問題、交點問題等都是常見的考查形式.在函數(shù)問題中如何進(jìn)行分類討論，以2021年高考全國Ⅰ卷（理）第20題為例.

例1設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點.

（1）求a；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x+f（x）xf（x），證明：g（x）<1.

分析（1）第（1）問需要求出含參數(shù)a的函數(shù)y=xf（x）=xln（a-x）的導(dǎo)函數(shù)，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)中，可由極值點得到對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值為零，可求出a=1.注意接下來還要驗證當(dāng)a=1時，x=0是函數(shù)y的極值點.

（2）由題意可得xf（x）≠0，所以自變量范圍是x<1且x≠0，將自變量分為0xf（x），為了方便求導(dǎo)函數(shù)，令1-x=t，可構(gòu)造新的函數(shù)求極值，同樣需要討論新函數(shù)單調(diào)性，可以得出新函數(shù)滿足q（t）>q（1）=0，即可證明g（x）<1.

4.2 去絕對值問題

絕對值問題經(jīng)常在高考選考題的不等式選講部分進(jìn)行考查，考查的方式多是用絕對值定義函數(shù)問題.絕對值由于其自身的定義，在進(jìn)行去絕對值時要進(jìn)行分類討論.如果學(xué)生能夠進(jìn)行正確的分類并將絕對值去掉，那么由絕對值定義的函數(shù)將會轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行作答即可.下面以2020年高考全國Ⅰ卷（理）第23題為例進(jìn)行分析.

例2已知函數(shù)f（x）=3x+1-2x-1.

（1）畫出y=f（x）的圖象；

（2）求不等式f（x）>f（x+1）的解集；

分析（1）要畫出函數(shù)f（x）的圖象，需要判斷絕對值內(nèi)的正負(fù)，將絕對值去掉.可將自變量的取值分成三類進(jìn)行討論，即（-，-13］，（-13，1］和

（1，+）.函數(shù)表達(dá)式就可以變成無絕對值的分段函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)解析式，畫出函數(shù)f（x）圖象即可.

（2）將不等式進(jìn)行移項后，用函數(shù)h（x）表示出f（x）-f（x+1），即h（x）=3x+1-3x+4+2x-2x-1，然后仿照第（1）問進(jìn)行分類討論去絕對值后，在每一類情況下令hx>0求出解集，最后將所有結(jié)果進(jìn)行歸納綜合，即可得出f（x）>f（x+1）解集.

4.3 解析幾何問題

幾何問題也是高中階段的重難點問題，是高考中的重要考查內(nèi)容，常常以解答題的形式出現(xiàn).直線斜率的存在問題、參數(shù)問題、圖形的位置關(guān)系等都是比較復(fù)雜的問題.這類問題通常需要應(yīng)用分類討論思想將復(fù)雜的問題簡單化.下面以2022年高考全國Ⅰ卷（理）第20題進(jìn)行舉例分析.

例3已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，-2），B（32，-1）兩點.

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點P（1，-2）的直線交E于M，N兩點，過點M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點；

分析（1）第（1）問只需設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1，然后將A，B兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出a2和b2的值即可.

（2）第（2）問的問題比較復(fù)雜，但是涉及直線方程，首先要對直線斜率是否存在進(jìn)行討論.先討論直線l斜率不存的情況，則過點P的直線方程是x=1，聯(lián)立橢圓方程，可以得到點M，N的坐標(biāo)，易求直線AB方程為y=23x-2，可求出點T坐標(biāo)，根據(jù)MT=TH求出點H坐標(biāo)，那么就可以求出直線HN的方程：y=（2+263）x-2，過點（0，-2）.

第二步討論直線斜率存的情況，可以設(shè)直線方程

為y+2=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程求交點M（x1，y1）和N（x2，y2），可得x1+x2=6k（2+k）3k2+4，x1x2=3k（4+k）3k2+4，且T（3y12+3，y1），H（3y1+6-x1，y1），從而可求得直線HN的直線解析式，將（0，-2）代入驗證成立，最終得出結(jié)論：直線HN過定點（0，-2）.

4.4 概率問題

概率問題在高考中屬于必考題，很多題目的求解需要學(xué)生對問題進(jìn)行分類，例如在排列組合、比賽問題、涂色問題中，都需要學(xué)生能夠把握特殊元素或者特殊位置進(jìn)行分類討論.一般來說難度不大，偶爾也會有相對復(fù)雜的問題，但是無論何種難度的概率問題，學(xué)生能夠把握問題的本質(zhì)進(jìn)行分類是正確解決問題的前提和關(guān)鍵.下面以2018年高考全國Ⅰ卷（理）第15題為例進(jìn)行闡述.

例4從2位女生，4位男生中選3個人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.

分析本題考查實際情境中組合問題的概率求解，設(shè)置生活中的問題情景，考查學(xué)生的實際問題求解能力.學(xué)生只需將題目中的問題分成兩類進(jìn)行討論，即一位女生參加和兩位女生參加，然后分別求出概率，將兩種情況的概率相加即可.

5 總結(jié)

本文通過對高考題的研究，發(fā)現(xiàn)高考特別重視對學(xué)生分類討論思想的考查.這其實不難理解，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點是內(nèi)容多、難度大，而分類討論思想能夠簡化研究對象，幫助發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，所以有關(guān)分類討論思想的命題在高考中長期占有著重要地位.因此，分類討論思想方法的掌握無疑是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的關(guān)鍵.教師在平時的教學(xué)中要以知識為載體，注重分類討論思想方法的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生問題解決的能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］《數(shù)學(xué)辭?！肪庉嬑瘑T會.數(shù)學(xué)辭海（第六卷）[M].上海：上海教育出版社，1998.

[2] 葉立軍.數(shù)學(xué)方法論[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.